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Potenciação
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Dentro do mesmo princípio adotado no post Passe de Mágica, em que muitas pessoas conhecem o fato, e o assumem como verdadeiro com uma naturalidade surpreendente, mas não o porquê do fato, dissertarei sobre conceitos e principais propriedades da potenciação visando demonstrar que a0 = 1, para a diferente de zero, muito embora não tenha significado como operação, em vista da definição de potenciação dada abaixo. Como se verá trata-se, como no caso do post mencionado acima, de uma demonstração muito simples (ou trivial no linguajar matemático).
I. DEFINIÇÕES
Vamos começar do começo – eita que frase arretada! – definindo, de maneira simples e direta, que potenciação de um número relativo a nada mais é do que a multiplicação reiterada de a por ele mesmo um número n de vezes, n inteiro e positivo. Ou seja:
onde se estabeleceu a notação (ou representação simbólica) an para indicar de forma resumida e simplificada (e, diga-se, criativa) esse produto, denominando-se a a base da potência e n o expoente ou grau da potência. Se lê a representação simbólica an como “potência n de a” ou “potência enésima de a” ou “a elevado a n“.
Potência de grau n de a é o produto de n fatores iguais a a. Assim:
- a0 é a potência de grau zero de a ou potência de expoente zero, a um número real diferente de zero;
- a1 é a potência de grau 1 de a, sendo igual ao próprio a. Neste caso é dispensável escrever o expoente;
- a2 é a potência de grau 2 de a, conhecida como quadrado de a ou a ao quadrado;
- a3 é a potência de grau 3 de a, conhecida como o cubo de a ou a ao cubo.
II. PROPRIEDADES DA POTENCIAÇÃO
a) A potência de grau n de um produto é igual ao produto das potências de grau n dos fatores deste produto. Ou seja:
[1] (abc)n = an.bn.cn [2]
A recíproca também é verdadeira.
Antes de apresentar a demonstração vale explicitar o que significa recíproca. Tomando a igualdade acima, a justificação da propriedade deve ser feita partindo-se de [1] para obter [2]. A recíproca (como o próprio nome diz) é feita partindo-se de [2] para obter [1].
Demonstração:[1] -> [2]
Por definição:
Como a ordem dos fatores de um produto não altera o produto, temos:
Reciprocamente ([2] -> [1]):
b) O produto de potências de uma mesma base é igual à potência desta base, cujo expoente é a soma dos expoentes dos fatores:
am.an = am+n
Em outras palavras, em um produto de potências com a mesma base, conserva-se a base e soma-se os expoentes. A recíproca é verdadeira.
Demonstração:
A recíproca deixo por conta do leitor.
c) O quociente de potências de um mesma base é igual à potência desta base, cujo expoente é a diferença entre os expoentes do dividendo e do divisor; isto é:
Em outras palavras, em um quociente de potências com a mesma base, conserva-se a base e subtrai-se os expoentes. A recíproca é verdadeira.
Demonstração:
Suponhamos que m > n. Então:
Eliminando o fator comum ao dividendo e divisor [(a.a ... a) n vezes], obtemos:
A demonstração da recíproca é fácil, como o de resto, e fica para o leitor se exercitar.
d) A potência n da potência m de um número relativo a é igual a potência de a cujo expoente é o produto dos expoentes m e n, ou seja:
A recíproca é verdadeira.
Se você chegou até aqui, obrigado pelo interesse. Em vez da demonstração aproveito para colocar algumas considerações:Matemática se aprende com o entendimento dos seus conceitos, de saber interpretar as questões, dos porquês da verdade de cada assertiva (as demonstrações) e, principalmente, muita transpiração. Por isso pratique e pratique, pois sómente assim você desenvolve melhor sua capacidade de raciocínio para solucionar problemas e fixar os conceitos.
É com este espírito que deixo como exercício a demonstração desta propriedade. Caso tenha dificuldades entre em contato ou deixe seu comentário. Estarei por aqui pronto para atendê-lo.
e) Potência de expoente negativo de um número relativo a diferente de 0:
A recíproca é verdadeira.
Demonstração:
Antes de demonstrar esta propriedade, farei a demonstração do fato que originou este artigo, i.é, a0 = 1, a diferente de zero. Vamos lá.
Por um lado temos que am/am = 1. E por outro, pela propriedade c) que am/am = am-m = a0 => a0 = 1. Trivial, não.
Agora, fica mais fácil demonstar a propriedade. Primeiro:
a-m = a0-m
Pela propriedade c:
a-m = a0/am = 1/am c.q.d. (como queríamos demonstrar).
A recíproca, mais uma vez deixo como exercício.
E, finalmente, sem entrar no mérito, apresento algumas regras de como proceder com o cálculo de potências em que a base é um número negativo.
- Se o expoente é par, o resultado é positivo;
- Se o expoente é ímpar, o resultado é negativo.
Faça seus comentários. Apresente sugestões e na medida do possível procurarei lhe atender.
[ATUALIZAÇÃO] 26/03/2006: Veja o artigo publicado sobre radiciação.
[ATUALIZAÇÃO] 24/04/2006: Veja o artigo publicado sobre Equações Exponenciais.
Referência: Abecedário de Álgebra de Darcy Leal de Menezes.
Recomendo fortemente a leitura do artigo Dificuldades para aprender Matemática, publicado no site Tecnociência por Domingos Verena.
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AMIGO, GOSTARIA DE SABER SE -1 AO QUADRADO É IGUAL A (-1) AO QUADRADO, SE NÃO FOR PESSO AO AMIGO DE DE O VALOR DE CADA UMA DESSAS RESPOSTAS SEPARADAMENTE. VALEU!!
pow eu ja quebrei a cabeça e gostaria de saber como eu resouvo esta conta.2elevado a101vezes 5elevado a 97.veleu obrigado
eu amo potenciação poderia me vdar algumas emformações?
Pow, eu queria saber, onde eu acho a potenciação, nas seguintes propriedades:quocientes de potencias de bases iguais,potencia de potencia,potencia de um produto e potencia de um quociente.
Alguém sabe me dizer??
o que eé Potência de expoente racional e relação entre potência e raiz?
como calculo (3x²)²
Estou acessando pela primeira vez e achei otimo!!!!!!!!!!!!!!!!
Gostaria de saber qual e o inverso de zero?
oi! achei esse site pq estou fazendo um trabalho e preciso tirar uma duvida….quanto é o resultado de zero elevado a zero?
se puder me responder ficarei agradecida…
Tem um exercício onde:
3²+3³ como resolvo isso??
NÃO GOSTEI ESTA FALTANDO MUITA COISA NÃO MOSTRA CONNTA
gente por favor me ajudem eu não sei nada sobre produtos de potencias de mesmo expoente .. eu tirei 0,2 na minha prova de matematica to quase reprovada no começo do ano
eu sou muito esforçado quando o professor explica eu entendo quando eu vou fazer eu tenho o dobro de dificuldade que ja tenho quando ele explica socorro eu estou na oitava série e até agora me sinto a cara mais burro do mumdo
eu to começando a achar o prof: arogante pq eu estou tão cansado de fracassar que eu estou a beira de desistir vlw .
desculpa o imcomodo do burro aki
ahhh i seu site esta uma blz consegui entender só ñ sei se consigu fazer vlw
Eu fiz uma conta de 0 elevado a 0, só não sei se está certa, se estiver existe algum prêmio?
não consigo fazer contas com expoente negativo,onde posso saber mais a respeito
porque todo número elevado a expoente 0=1
por favor gostaria de saber até as 21:00hs
n~ sou muito chegado a materia de matemática pois todos os professores
de matemática n~ passa confiança e nem vontade de ajudar o aluno em sua dificuldade.
gostaria de saber: por que que todo numero elevado ao expoente 0 é igual á 1?
Olá, Gostaria de saber se há um propriedade que determine o número de algarismos resultantes de um número elevado a outro.
EX:
9^9^9
Quantos algarismos terá o número resultante?
Obrigado!
eu gostaria de saber como que se faz conts com expoente zero?
Podem me ajudar com essa questão 3 e o expoente -2 podem dizer o resultado?
Queria saber o significado desse ^ é raiz do número q vem antes ou q vem depois?
Parabéns ao site… continuem com seu trabalho
beijosss
odeio esse site nao tras informaçao
Meu querido chato professor passou um trabalho pra mim falar sobre as 11 propriedades da potência e só achei 6 em todos os lugares onde procurei ,queria saber se você pode me dizer ,de uma forma descomplicada ,por favoooor!
desde já,
Muiiiiiiiiiiiiiiito agradecida !
beijos
gostei muito das explicações madaram bem
Ola gostaria de saber resolver essa questão 7elevado a 5y = 243
eu não entendi toda essa explicação esse jeito que esta escrito pois eu aprendo de outra maneira na escola essa linguagem esta dificil pra mim não da para o senhor explicar mais claramente a materia dada muito obrigada aguardo a sua resposta beijos e ate mais ver
COMO RESOLVER: (-8) ELEVADO A – 3/2
ACHEI OTIMO O SITE. MAIS POR FAVOR COMO RESOLVO ESSE PROBLEMA:(-8)ELEVADO A -3/2
oi nao gosto de matematica!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
gostei muito….por favor coloquem tudo sobre potencia de base simples=como se resolvem,a forma mais fácil é claro.
beijosssssssssss
OBRIGADO
queria saber alguns problemas de potenciação
queria saber o que é
notação científica e raiz enésima
eu adorei as perguntas e eu to na oitava série
… gostaria de saber como se resolve uma potenciaçao onde a base é negativa e o expoente idem , estou com duvida se invertendo a potencia p/ ficar uma fraçao com expoente positivo a base tambem vai ficar positiva.
ex. (-2)-³
gostaria muito de uma resposta
obrigada.
ha e a pg ta muito interessante, gostei mt =}
Gostaria de tirar uma duvida tenho um exerc. q pede metade de 4 elevado a 22 q seria 4 elevado a 21 , mas a respota do gabarito da 2 elevado a 43 !! nao entendi nda?
pode me responder?
ola,
to fazendo cursinho pre vestibular e me surgiu uma duvida, como vou ter aula com meu professor de matematica 1 so na segunda feira que vem tentei achar um site que tirasse essa duvida minha, foi ai que encontrei vcs, o site é otimo, mais ainda não tirei a minha duvida…QUANTO É (1+1,03)*36
essa duvida surgiu da questão:
M=50.000(1+1,03)*36, juros compostos……capital=50.00 / taxa de juros=1,03 / tempo=36 mese
o q eu faço?
sinto certa dificuldade em resolver certos problemas tipo potenciaçao com fraçao é muito complicado tipo este problema 2/5 multicado pela potenciaçao 25 e as vazes me confundo com estes problemas
essa materia e muito facil eu amooooo matematica ….
matematica corre em minhas veias…. matematica eu te amo oooooooooooooooooooooooo
como saber a ordem crescente de 2^1oo, 3^75 e 5^60?
Obrigada
eu queria saber mas sobre potenciacao e a conta de 3.1*3.1*3.1
Queria saber porque todo número elevado a 0 é 1 e também porque 0 elevado a 0 não tem resposta?
Por favor gostaria de saber sobre isso !
Obrigada!
gostaria de saber por que todo número não nulo elevado a zero tem como resultado 1?
Olá…
eu preciso saber se tem algumas aulas de matemática sobre potenciação ao vivo…
Obrigada!
gostaria de saber como se faz a multiplicacao de potencias de bases e expoentes diferente e como calcular o numero de algarismos. obrigada pela atencão
Qual a utilização prática, do logaritmo na rotina diária das pessoas?
Se tiver vontade, pode me chamar de ignorante.
O logaritmo acabou com a pobreza?
Acabou com fome?
Acabou com o aquecimento global?
Acabou com a corrupção?
Inviabilizou uma guerra?
Voce pode ate provar matematicamente que eu estou errado.
por favor coloquem no site
queria saber como chegar ao resultado dessas contas:
1/4+0,19:(4-0,8:0,5-1/2)
2-¹ +6 . (2/3) -² – (-1/3) -¹
eu achei um massimo!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! pena que eu não achei o que eu QUERIA!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
(169) elevado a 1/2.Qual a resposta
Olá, acabei de encontrar o site, pois estou a procura de entender um pouco pontencia. Farei um concurso público no domingo e queria entender um pouco, pode me dizer como faço pra ter mais expçicações a respeito. Abraços
Eu sou um aluno da 8ª série e fiquei de recuperação em matematica
as materias são as seguinets:
Potenciação
Radicais
Equação do 2º Grau
Juros
Teorema de pitagoras
Area-Retangulo
Triangulo
losango
queria que vcs me ajudassem
enviando algum conteudo sobre essas materias para o meu email
Grato