Questionarious #2 – Conjuntos

Determinar o conjunto X tal que:

• {a,b}
• {a,c,e}
• {b,d,e)
• {c,d,e}
• {a,b,c,d}
• 
• 
  

  De {b,c,d} ∩ X = {c} tiramos da definição de interseção de conjuntos que:

  c ε X e que b e d não pertencem a X

  Da igualdade {c,d} U X = {a,c,d,e} e da definição de união de conjuntos pode-se concluir que:

  a, c, d e e são possíveis elementos de X

  Mas como d não pode pertencer a X em decorrência da primeira igualdade acima, temos, até aqui, que X = {a,c,e}

  E finalmente, de {a,b,c,d} U X = {a,b,c,d,e}, concluímos de forma análoga à colocada para a segunda igualdade que:

  a, b, c, d e e são possíveis elementos de X

  E, como b e d não pertencem a X, concluímos então que X = {a,c,e}.

  Para comprovar verifique que as três igualdades dadas são verdadeiras para X = {a,c,e}

• 384 e 52
• 332 e 31
• 332 e 83
• 384 e 83
• Nenhuma das respostas anteriores
• 
• 
  

  Sejam:

  U = {alunos da escola}

  E = {alunos que estudam inglês}

  F = {alunos que estudam francês}

  Dados da questão:

  n(U) = 415, onde n(U) representa o número de elementos de U

  n(E) = 221

  n(F) = 163 

  n(E ∩ F) = 52

  Logo para determinar quantos alunos estudam inglês ou francês - n(E U F) - basta utilizar a seguinte propriedade dos conjuntos, cuja demonstração não será feita aqui. No entanto você pode verificar, intuitivamente, a sua veracidade através de um diagrama de Euler-Venn:

  n(E U F) = n(E) + n(F) - n(E ∩ F) = 221 + 163 - 52 = 332

  Como 332 são os alunos que estudam uma língua, vem que o número de alunos que não estudam nenhuma das duas é:

  n(U) - n(E U F) = 415 - 332 = 83

Sejam A, B e C três conjuntos finitos. Sabendo-se que:

n(X U Y) = n(X) + n(Y) - n(X ∩ Y) [1]

é verdadeira para quaisquer conjuntos finitos X e Y, onde a notação n(Z) representa a quantidade de elementos do conjunto Z, então n(A U B U C) é igual a:

• n(A) + n(B) + n(C) - n(A ∩ B ∩ C)
• n(A) + n(B) + n(C) - n(A ∩ B) - n(B ∩ C) - n(C ∩ A) - n(A ∩ B ∩ C)
• n(A) + n(B) + n(C) + n(A ∩ B ∩ C)
• n(A) + n(B) + n(C) - n(A ∩ B) - n(B ∩ C) - n(C ∩ A) + n(A ∩ B ∩ C)
• Nenhuma das respostas anteriores
• 
• 
  

  Fazendo Z = A U B, obtemos:

  n(A U B U C) = n(Z U C)

  De [1] - dado da questão - e em seguida substituindo o valor de Z vem:

  n(Z U C) = n(Z) + n(C) - n(Z ∩ C) = n(A U B) + n(C) - n((A U B) ∩ C)

  Usando [1] novamente para n(A U B):

  n(Z U C) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B) + n(C) - n((A U B) ∩ C) [2]

  Observe que o último termo de [2] pode ser escrito como indicado abaixo utilizando-se da propriedade distributiva da intersecção em relação à união:

  (A U B) ∩ C = (A ∩ C) U (B ∩ C)

  Logo:

  n((A U B) ∩ C) = n((A ∩ C) U (B ∩ C)) = n(A ∩ C) + n(B ∩ C) - n(A ∩ B ∩ C) [3]

  Substituindo [3] em [2], trocando o sinal:

  n(Z U C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A ∩ B) - n(A ∩ C) - n(B ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C)

• A ∩ B tem no máximo 1 elemento
• A U C tem no máximo 5 elementos
• (A ∩ B) ∩ C tem no máximo 2 elementos
• (A U B) ∩ C tem no máximo 2 elementos
• A ∩ Ø tem pelo menos dois elementos
• 
• 
  

  Analisando cada resposta:

  A ∩ B tem no máximo 1 elemento: é falsa pois A tem 2 elementos e se ambos também pertencerem a B a interseção terá 2 elementos.

  A U C tem no máximo 5 elementos: também é falsa, uma vez que se os elementos de A são diferentes dos elementos de C, a união terá 6 elementos.

  (A ∩ B) ∩ C tem no máximo 2 elementos: é verdadeira pois A ∩ B pode ter no máximo 2 elementos e ocorrerá quando A estiver contido em B. Por raciocínio análogo se A ∩ B estiver contido em C, a expressão dada poderá ter no máximo 2 elementos.

  (A U B) ∩ C tem no máximo 2 elementos: é falsa pois A U B pode ter 3, 4 ou 5 elementos e se pelo menos três deles estiver em C, o resultado terá 3  elementos.

  A ∩ Ø tem pelo menos dois elementos: Esta é obviamente falsa, não é?

(CESGRANRIO-77) A interseção dos três conjuntos

R ∩ C, (N ∩ Z) U Q e N U (Z ∩ Q)

é:

• N
• Ø
• Q
• R
• Z
• 
• 
  

  Observe que:

  R ∩ C = R

  pois R - o conjunto dos números reais - está contido em C - o conjunto dos números complexos.

  De modo semelhante podemos concluir que: 

  (N ∩ Z) U Q = N U Q = Q

  N U (Z ∩ Q) = N U Z = Z

  Logo a intersecção dos três conjuntos é:

  R ∩ Q ∩ Z = Z

(CESCEA-69) Dados os conjuntos A = {a,b,c}, B = {b,c,d} e C = {a,c,d,e}, o conjunto

(A - C) U (C - B) U (A ∩ B ∩ C)

é:

• {a,b,c,e}
• {a,c,e}
• A
• {b,d,e}
• {b,c,d,e}
• 
• 
  

  Primeiro vamos determinar o resultado de cada operação entre colchetes. Assim:

  A - C = {b} - conjunto dos elementos que estão em A mas não estão em C.

  C - B = {a,e} - conjunto dos elementos que estão em C mas não estão em B.

  A ∩ B ∩ C = {a,b,c}∩ {b,c,d}∩ {a,c,d,e} = {c} - o único elemento comum aos três conjuntos.

  Logo a união dos três conjuntos é igual a:

  {a,b,c,e} 

• A U B = {2,4,0,-1}
• A ∩ (B - A) = Ø
• A ∩ B = {-1,4,2,0,5,7,3}
• (A U B) ∩ A = {-1,0}
• Nenhuma das respostas anteriores
• 
• 
  

  Para obter a resposta correta do exercício é necessário analisar cada uma das opções:

  A U B = {2,4,0,-1}: Falsa já que A U B = {1,2,-1,0,4,3,5,7).

  A ∩ (B - A) = Ø: Verdadeira, pois B - A = {7} e o elemento 7 não pertence a A.

  A ∩ B = {-1,4,2,0,5,7,3}: Falsa. A ∩ B = {2,-1,0,4,5}

  (A U B) ∩ A = {-1,0}: Falsa. Como A está contido em A U B, a intersecção desse resultado com A é o próprio A.