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Frações – Parte I

junho 9th, 2007

FraçõesPara que a apresentação do assunto em um único artigo não fique demasiadamente extenso, ele será dividido em duas ou mais partes. A primeira aborda um pouco de história das frações, cujo texto foi extraído da Wikipédia, sua definição e alguns conceitos e propriedades básicas. Nas próximas trataremos da redução, da simplificação e das operações com frações.

Um pouco de História

“No antigo Egito, por volta do ano 3000 a.C., o faraó Sesóstris distribuiu algumas terras às margens do rio Nilo para alguns agricultores privilegiados. O privilégio em possuir essas terras era porque todo ano, no mês de julho, as águas do rio inundavam essa região ao longo de suas margens e fertilizava os campos. Essas terras, portanto, eram bastante valorizadas.

Porém, era necessário remarcar os terrenos de cada agricultor em setembro, quando as águas baixavam. Os responsáveis por essa marcação eram os agrimensores, que também eram chamados de estiradores de corda, pois mediam os terrenos com cordas nas quais uma unidade de medida estava marcada.

Essas cordas eram esticadas e se verificava quantas vezes a tal unidade de medida cabia no terreno, mas é só parar para pensar um pouquinho para descobrir que nem sempre essa medida cabia inteira nos lados do terreno.

Esse problema só foi resolvido quando os egípcios criaram um novo número: o número fracionário. Ele era representado com o uso de frações, porém os egípcios só entendiam a fração como uma unidade (ou seja, frações cujo numerador é igual a 1).

Eles escreviam essas frações com uma espécie de sinal oval escrito em cima do denominador. Mas os cálculos eram complicados, pois no sistema de numeração que usavam no Egito nessa época os símbolos se repetiam muitas vezes.

Só ficou mais fácil trabalhar com as frações quando os hindus criaram o Sistema de Numeração Decimal, quando elas passaram a ser representadas pela razão de dois números naturais.

Desde então, as frações foram usadas para a resolução de diversos tipos de problemas matemáticos. Uma das formas mais correntes de se trabalhar com frações é a porcentagem, em que se expressa uma proporção ou uma relação a partir de uma fração cujo denominador é 100. O uso de frações também é de valia extrema para a resolução de problemas que envolvem regra de três.”

Definição

Fração é um número que designa uma ou mais partes iguais de uma unidade e sua representação genérica é:

\LARGE \frac {a}{b} \text{ ou }a/b

onde a é o numerador e b o denominador e indicam os termos da fração.

O denominador (b) de uma fração estabelece em quantas partes iguais foi dividida a unidade e o numerador (a) quantas destas partes contém a fração.

Assim, se dividirmos a unidade em 5 partes iguais e tomarmos 1, 2, 3 ou 7 partes teremos as frações a seguir representadas:

\LARGE \frac15, \frac25, \frac35, \frac75

Observe que, ainda considerando esse exemplo, se tomarmos 5 partes obtemos como resultado a própria unidade.

Leitura das Frações

Para se ler uma fração, enuncia-se primeiro seu numerador e depois o denominador de acordo com as seguintes regras:

  • Quando o denominador é igual a 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ou 9 lêem-se meio, terço, quarto, quinto, sexto, sétimo, oitavo ou nono, respectivamente. Exemplo \frac 23: lê-se dois terços;
  • Quando o denominador é maior do que 9 acrescenta-se a terminação avos. Por exemplo, \frac {5}{11}, lê-se cinco onze avos;
  • Os denominadores múltiplos ou potências de 10 podem ser lidos, por exemplo, como décimo – ou dez avos -, vigésimo, centésimo, milésimo. Exemplo \frac {2}{10}: lê-se dois décimos. As frações cujos denominadores é uma potência de 10 – isto é, a unidade seguida de um ou mais zeros – são denominadas decimais: \frac {7}{10} (sete décimos), \frac {78}{100} (setenta e oito centésimos), \frac {232}{1000} (duzentos e trinta e dois milésimos);
  • Costuma-se também, na leitura, intercalar a palavra sobre, depois de enunciar o numerador. A fração \frac {232}{5477} pode ser lida como duzentos e trinta e dois sobre cinco mil, quatrocentos e setenta e sete.

Comparação das frações com a unidade

Uma fração é inferior à unidade – menor do que 1 – quando seu numerador é menor do que seu denominador. Nestes casos as frações são denominadas próprias. Exemplos: \frac {5}{6}, \frac {3}{8} e \frac {4}{7}.

Uma fração é superior à unidade – maior do que 1 – quando seu numerador é maior do que seu denominador. Nestes casos as frações são denominadas impróprias. Exemplo: \frac {7}{5}, \frac {8}{3} e \frac {9}{7}. Um caso particular de fração imprópria, denominada de aparente, ocorre quando o numerador é múltiplo do denominador. Exemplo: \frac {12}{4} = 3.

Comparação das frações entre si

Da definição de fração resulta:

  • De duas frações de mesmo denominador a maior é a que tem o numerador maior. Exemplo: \frac 89 > \frac 59. Porque tendo as frações o mesmo denominador significa que a unidade foi dividida no mesmo número de partes iguais. Como a primeira tem o numerador maior – 8 – significa que ela tem mais partes do que a segunda, cujo numerador é 5.
  • De duas frações de mesmo numerador a maior é a que tem o denominador menor. Exemplo: \frac 59 > \frac {5}{13}. Nesse caso – e de forma geral -, como as frações têm o mesmo numerador (5), elas possuem o mesmo número de partes da unidade, e como o nono da unidade é maior do que o treze avos segue-se que a primeira fração é maior do que a segunda.
  • De duas frações próprias entre cujos termos existe a mesma diferença, a maior é aquela cujos termos são maiores. Exemplo: \frac 79 > \frac 57. Observe que na primeira fração faltam 2/9 para igualar a unidade e na segunda, 2/7. Pela regra anterior 2/9 é menor do que 2/7, logo 7/9 é a fração maior pois lhe falta menos para completar a unidade.

Propriedades das Frações

Propriedade 1. Uma fração representa o quociente da divisão do numerador pelo denominador.

Utilizaremos um exemplo prático para demonstrar a propriedade. Seja a fração 2/5, que segundo a propriedade deve representar o quociente de 2 por 5.

Observe inicialmente que 1/5 somado 5 vezes reproduz a unidade – decorrência da definição de fração. Logo, 2/5 somado 5 vezes darão 2 unidades, e, portanto a fração 2/5 representa o quociente de 2 por 5, pois multiplicada por 5 tem como resultado 2.

Propriedade 2. Quando uma divisão deixa um resto, pode-se completar o quociente por uma fração que tem por numerador o resto da divisão e por denominador o divisor.

Seja dividir 37 por 4 (= 37/4). Essa divisão tem como quociente 9 e resto 1. Assim podemos escrever:

37 = (9×4) + 1 = 36 + 1

Logo:

\frac {37}{4} = \frac{36+1}{4} = \frac{36}{4}+\frac{1}{4}=9+\frac14=\fbox{9\frac14}

Observações:

  • Na expressão acima na passagem da segunda igualdade foi utilizada a propriedade distributiva da divisão;
  • A representação assinalada dentro do retângulo é denominada de número misto ou fração mista e lê-se nove inteiros e um quarto e, como o próprio nome sugere, é composta de uma parte inteira e outra fracionária;
  • Uma fração mista é uma outra forma de representar uma fração imprópria;
  • A operação inversa – transformar uma fração mista em uma fração imprópria – é feita multiplicando-se o número inteiro (9) pelo denominador (4) e somando o resultado ao numerador (1) para obter o numerador da fração imprópria (37) e o seu denominador é o mesmo da parte fracionária do número misto (4).

Propriedade 3. O valor de uma fração é o quociente da divisão do numerador pelo denominador.

Na definição geral de fração o numerador a e o denominador b podem ter qualquer valor. Assim, as expressões a seguir são consideradas como frações:

\frac{2/5}{3/8};\hspace{5} \frac{7 \times 3}{8 \times 5}

e são designadas geralmente como frações compostas. E o valor de uma fração composta é a fração simples que lhe é igual. Nos exemplos acima as frações compostas tem como valor 16/15 e 21/40, respectivamente.

Propriedade 4. Multiplicando-se ou dividindo o numerador de uma fração por um número, a fração é multiplicada ou dividida por esse número

Propriedade 5. Multiplicando-se ou dividindo-se o denominador de uma fração por um número, a fração e dividida ou multiplicada pelo número.

Propriedade 6. Multiplicando-se ou dividindo-se os dois termos – numerador e denominador – por um mesmo número a fração não se altera.

De fato, multiplicando o numerador de uma fração qualquer pelo número c, a fração é multiplicada por c pela propriedade 4, e, multiplicando-se o denominador por c a fração é dividida por c pela propriedade 5. Logo a fração não muda ou não se altera uma vez que é multiplicada e dividida pelo mesmo número c.

Por raciocínio analógo demonstra-se a propriedade para o caso da divisão. Esta propriedade é bastante utilizada na solução de problemas, em especial na racionalização de denominadores de frações irracionais.

Referências:

Elementos de Aritmética, Curso Superior – Para o curso colegial e admissão às escolas superiores, do Irmão Isidoro Dumont, Coleção de Livros Didáticos F. T. D, publicado em 26/10/1945

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Categorias: Matemática,Técnico

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67 Comentários Adicione o seu

  • 1. Antonio Carlos A Souza&hellip  |  junho 13th, 2007 at 15:25:45

    Boa tarde!

    gostaria de saber por que e valida a divisão de fração.

    Grato.

    Carlos

  • 2. Edson&hellip  |  junho 27th, 2007 at 16:22:54

    Esse professor é mestre mesmo hein ?

    to só dando uma olhada de leve no site

    hehe

    abraço!

  • 3. corsaria&hellip  |  julho 13th, 2007 at 04:24:37

    ¡Estupenda la reseña histórica!! Saludos Newton. :-)

  • 4. Naílson&hellip  |  agosto 1st, 2007 at 18:29:13

    Esse é meu patrão!!!…

  • 5. Polyana&hellip  |  agosto 15th, 2007 at 20:09:23

    Vocês tem q falar sobre números mistos e frações improprias

  • 6. LÍVIA&hellip  |  agosto 23rd, 2007 at 22:41:40

    Olá!
    Gostaria de saber a leitura correta da fração 15/200.
    É quinze ducentésimos ou quinze duzentos avos?
    Agradeço a atenção e aguardo resposta.

  • 7. Edson&hellip  |  setembro 2nd, 2007 at 23:23:23

    Gostaria de saber de onde vem a palavra avos usada em frações com denominadores maiores que 10.

    Procurei na net e não consegui encontrar essa história.

    Obrigado.

  • 8. DANNY&hellip  |  setembro 10th, 2007 at 20:37:39

    QUERIA SABER MAIS SOBRE FRAÇÕES IMPROPRIAS E PRÓPRIAS

  • 9. Isa&hellip  |  setembro 11th, 2007 at 16:45:57

    oie!!
    gostei muito da explicação…mas queria muito saber o pq da palavra AVOS, e não para q ela significa!! ex: pq eh usado avos se poderia ser arte, frac (de fração), etc???

    me respondam!!
    pleaseee

  • 10. felipe henrique&hellip  |  setembro 14th, 2007 at 08:21:23

    Como é feita a representaçõa geométrica das frações impróprias?

  • 11. raissa&hellip  |  outubro 18th, 2007 at 12:03:51

    gostaria de saber como simplioficar um fracão

  • 12. flavia&hellip  |  outubro 24th, 2007 at 22:41:32

    oie eu gostaria de saber responder esta fração

    2x – 5x = 1+x
    3 6 4
    ghostaria mto de aprender fazer esta coisa mto dificil tah
    me ajuda eu estou mto ruim na matemarica
    brigado e aguardo a resposta

  • 13. kely gristina faria&hellip  |  novembro 5th, 2007 at 07:48:33

    não consigo ensimar meu filho que esta na 4 serie a transformar farção em porcentagem como eu explico para ele?obrigada

  • 14. Salvine&hellip  |  novembro 27th, 2007 at 14:36:34

    Preciso saber com urgência como se lê o no. misto com a seguinte unidade
    32 2/5 libras/força por plegada quadrada

    Se puderem, me respondam, com urgência.

  • 15. TAIANE&hellip  |  dezembro 12th, 2007 at 22:37:59

    POR QUE NAO RESPONDE AS PERGUNTAS NA HORA ESTAVA PRESISANDO NA HORA E NAO ACHEI RESPOSTA

  • 16. dianasilva&hellip  |  janeiro 24th, 2008 at 12:56:34

    axo ke e muito fixe

  • 17. Jéssica&hellip  |  fevereiro 11th, 2008 at 17:25:07

    Olá!!!
    Meu nome é jessica rodrigues martins tenho 14 anos faço 15 em setembro bom, vou para o 1* colegia,l eu não so muito fã dos estudos mas para a minha infelicidade é preciso,intão estou correndo atras de alguns prejuisos.
    Mas,agora estou me dedicando bem mais de uns tempinhos pra cá. Então eu comprei um livro no submarino seu nome é”MINIMANUAL COMPACTO DE MATEMÁTICA ENSINO FUNDAMENTAL”
    BOM NA VERDADE FOI O MEU PADRINHO QUEM COMPROU,MAS DE QUALQUER FORMA FOI PARA EU O ESTUADA-LO:
    -”Este livro é muito bom mas há umas partes que já fiz de tudo para intendelo mas não consigo”.Então peço uma ajudinhA!
    …OBRIGADO

  • 18. shirley muniz&hellip  |  fevereiro 12th, 2008 at 21:50:19

    Boa noite!.
    Meu nome é Shirley De Sousa Muniz, tenho 14 anos, e estou completando a 8a série do Ensino Fundamental.
    Gostaria de agradecer a vcs, pelos conteúdos bem sucedidos neste site, pois é através dele, que posso fazer várias pesquisas, responder dúvidas, e aprender mais..
    Obrigada à todos por tudo…
    E continuem exercendo este papel tão importante, que pode ajudar muitas pessoas assim como eu…
    Beijos..
    Até mais!!

  • 19. Shelyson&hellip  |  fevereiro 15th, 2008 at 08:19:43

    Gostaria de saber a etimologia da palavra avos.
    Alguém pode me ajudar?

  • 20. bruna&hellip  |  fevereiro 19th, 2008 at 20:16:38

    esse ssite eh mto dificil de entender… mas obrigada

  • 21. Moises Santos da Silva&hellip  |  fevereiro 20th, 2008 at 14:47:01

    Caro Prof, não consigo resolver o seguinte problema :
    QUESTÃO DE MATEMÁTICA DA FCC
    Dos 50 funcionários que participaram de um curso sobre a utilização de sistemas aplicativos das atividades meio e fim do Tribunal de Contas do Estado de São Paulo, sabe-se que:
    - todos eram formados em ciência da computação ou Engenharia de Software, mas apenas em um dos cursos:
    - 1/5 do número de mulheres eram formados em Engenharia da de Software e 7/8 do número de homens eram formados em ciência de computação.
    Assim sendo, nesse curso, o total de participantes formados em Engenharia de Software era :

    a) 23
    b) 17
    C) 13
    d) 9
    e) 7

    Poderia dar-me uma luz… Obrigado.

  • 22. fernanda&hellip  |  março 1st, 2008 at 21:38:43

    pq existe a palavra avos nas fracoes?

  • 23. Sérgio Faustino da Silva&hellip  |  março 5th, 2008 at 23:56:15

    gostaria de receber mais informações sobre contas de fração

  • 24. rodrigo&hellip  |  março 7th, 2008 at 18:43:56

    Olá, fiquei com uma dúvida. Num problema disseram que ao comparar duas frações o resultado era 5/7, e pedriram para desnhar a figura correspondente… Como ficaria afigura?

  • 25. andressa&hellip  |  março 19th, 2008 at 11:23:47

    eu queria saber tirar tres quartos de 20
    tenho 9 anos alguem pode me ajudar?

  • 26. Thais Peres&hellip  |  março 31st, 2008 at 15:17:42

    porque voceis não coloca frações em quadrados magicos nas paginas de explicações???

  • 27. ELIEMERSON&hellip  |  abril 3rd, 2008 at 15:05:46

    estou adorando e não me canso de estudar.
    Aprendi muito e recordei velhos asuntos dos quais estavão me fazendo muita falta já q não completei o encino fundametal .Mas voltei a estudar e quero concluir meus estudos.Ser alguem na vida e ter minha diguinidide.Fico muito grato ,parabens

  • 28. ELIEMERSON&hellip  |  abril 3rd, 2008 at 15:10:27

    Se vcs poderem me mandar um emil com alguns trabalhos de terceira e quarta série para o meu email eu serei eternamente grato muito obrigado meu email e eliemerson.bahia@hotmail.com

  • 29. matheus fernandes marcone&hellip  |  abril 16th, 2008 at 16:44:01

    eu queria saber como se faz equações com frações?

  • 30. osvaldo&hellip  |  maio 11th, 2008 at 01:45:55

    Gostaria de saber de onde vem a palavra avos usada em frações com denominadores maiores que 10.

  • 31. vanessa&hellip  |  maio 19th, 2008 at 12:10:01

    esse site e ppouco esclarecedor,ao menos na minha opiniao.acho q deveria melhorar,p ter mais acessos.

  • 32. Carla&hellip  |  junho 3rd, 2008 at 17:47:11

    eu fiz uma prova que dizia:qual q forma mais simplificada da fração 15/30.
    as opções eram: 5/3 – 3/5 – 7/8 – 10/15 – 1/2
    eu marquei a última opção e recebi errado.

    qual seria a resposta verdadeira??

    OBS.: era de um concurso público

  • 33. adriane hepfner alves&hellip  |  junho 25th, 2008 at 15:57:33

    Porque algumas frações apresentam a palavra avos.

  • 34. Lidiane&hellip  |  junho 28th, 2008 at 13:40:19

    Não entendo nada ;(

  • 35. kevin&hellip  |  julho 30th, 2008 at 18:12:07

    Ae to aki na escola qrendo saber sobre fraçoes equivalente
    qm sabe de coisas ai sobre issu manda pro meu email kevingatinho_@hotmail.com jae vlw

  • 36. Roberta&hellip  |  agosto 19th, 2008 at 23:28:10

    Quero exercicios corrigidos de frações impropias e mistas, e transformando ambas.

  • 37. FILIPE&hellip  |  agosto 24th, 2008 at 10:53:41

    QUANTO É 2-7 ?

  • 38. Sávia de Paula de Araúj&hellip  |  setembro 1st, 2008 at 22:07:12

    acho que vocês deveriam criar um site pra si mesmo sem depender de outros sites ou mesmo do google!!!

  • 39. Leticia Tavares Lourenço&hellip  |  setembro 13th, 2008 at 10:29:38

    esse saite é ótimo para a aprendizagem

  • 40. fabio andrey&hellip  |  setembro 23rd, 2008 at 10:50:04

    ha !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ate que me foi util valeu ,,, valeu !!!!!!!!!

  • 41. JOELMA&hellip  |  setembro 25th, 2008 at 10:12:55

    Eu tiro mias duvidas acho ótimo 10 bj bj bj

  • 42. Matheus&hellip  |  setembro 28th, 2008 at 18:28:48

    show muinto show

  • 43. Breno&hellip  |  outubro 2nd, 2008 at 12:44:56

    voce devia fazer jogos de perguntas sobre fração e não dizer oque é fração!
    se eu não me agradar desse site ele vai perde porque a felisidade do cliente é a melhora do seu site
    hoje de tarde espero ver os jogos com perguntas sobre fração!
    e tudo da 4serie

  • 44. giovanna&hellip  |  outubro 13th, 2008 at 18:45:41

    esse site e mto bom

  • 45. Julio&hellip  |  outubro 27th, 2008 at 16:22:31

    Eu tenho 15 anos e eu quero saber equações com fraçôes e deuta alguem pode me ajudar pelo amor de deus(!)(?)

  • 46. fabiane&hellip  |  novembro 4th, 2008 at 10:31:10

    eu tenho 11 anos e queri saber sobre Divisão com frações e inversa de uma fracao porfavor me ajude

  • 47. thalynne&hellip  |  novembro 19th, 2008 at 12:44:27

    ixO me ajudou xo um pouqinho na prova!!!!!!!!!!!!!!!!!

  • 48. rebecca&hellip  |  novembro 24th, 2008 at 22:04:08

    eu quero saber quanto que é 1/5

  • 49. osvaldo luiz&hellip  |  novembro 26th, 2008 at 08:30:49

    eu gostaria de saber, por que, numa razão de números fracionários, para se achar números diretamente proporcionais a 1/3, 1/4 e 1/5, devo tirar o m.m.c, que é igual a 60, portanto 20/60, 15/60 e 12/60. Pois então, por que, logo no passo a seguir eu elimino os denominadores. Isto, é que eu não entendo e não consigo explicar a minha aluna. Muito obrigado, desde já, por me auxiliarem.

    Abraços.

    Observem o problema abaixo:

    1) Dividir o número 1090 em partes inversamente proporcionais a 2/3, 4/5 e 7/8. Diga-me, por que eu elimino os denominadores, depois de tirado o m.m.c.?

    Obrigado, de novo.

    Abraços.

    Osvaldo.

    Osvaldo.

  • 50. moara neves conceição&hellip  |  dezembro 1st, 2008 at 18:04:46

    vocês me achudarão muito eu tirei um notão na porva 10
    obrigada pela achuda,que bom que fizerão um site concertesa achudou muitas pessoas com essa mão que bom que vocês pensão no nosso futuro abrigada………………..

  • 51. Ricardo&hellip  |  dezembro 15th, 2008 at 14:06:06

    NÂO APRENDI NADA

  • 52. Fique por dentro Numerado&hellip  |  janeiro 17th, 2009 at 13:08:31

    [...] o treze avos segue-se que a primeira fração é maior do que a segunda. … fique por dentro clique aqui. Fonte: [...]

  • 53. Renata Herwing&hellip  |  fevereiro 3rd, 2009 at 20:34:38

    Olá, este tipo de site é muito legal, pois por meio dele posso tirar as dúvidas de minha filha sobre o conteúdo de matemática.
    Obrigada, Kisses!!!!

  • 54. camila oliveira da silva&hellip  |  março 4th, 2009 at 18:25:48

    olha vc precisa coloca .+ informaçoes tipo de onde veio a fração

  • 55. luana&hellip  |  abril 1st, 2009 at 15:47:41

    falta informações queridos..

  • 56. leidy&hellip  |  abril 21st, 2009 at 14:39:27

    deveira constar jogos q facilitem o ensino das fraçoes

  • 57. paulo cesar teixeira&hellip  |  abril 24th, 2009 at 21:23:51

    otimo.o conteudo é esclarecedor e de facil entendimento. gostei!

  • 58. fabiane delgado frnça&hellip  |  abril 27th, 2009 at 09:58:10

    [red]eu quero saber como se transforma
    uma fração propria

  • 59. good evining&hellip  |  junho 13th, 2009 at 19:23:27

    Não entendi nada!!!!!

  • 60. danyele aguilar&hellip  |  julho 18th, 2009 at 11:27:09

    maravilhoso aprendy tudoooooooooooooooooooooo

  • 61. Wanuska Vasconcelos&hellip  |  julho 29th, 2009 at 19:16:52

    Oi!
    Também gostaria de saber a leitura correta da fração 15/200.
    É quinze ducentésimos ou quinze duzentos avos?
    Obrigada!

  • 62. Lucas&hellip  |  setembro 1st, 2009 at 19:31:02

    eu costaria de Saber mais sobre frações

  • 63. Evanete&hellip  |  setembro 2nd, 2009 at 14:37:46

    Quero saber como faz o calculo de ângulos em graus para fração.Ex calcular a medida de 60° em forma de fração.

  • 64. gian&hellip  |  setembro 17th, 2009 at 10:00:58

    como eu frções com decimais

  • 65. sanara&hellip  |  outubro 6th, 2009 at 23:03:51

    Gostei !!! Obrigada,, BeijO

  • 66. bernas&hellip  |  outubro 22nd, 2009 at 16:59:29

    bigada tive um excelente no teste

  • 67. rodrigo de andrade&hellip  |  julho 13th, 2010 at 21:52:37

    Por favor me ajuda a faser um calculo de 30 mesês em um sexto e dois terços

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