Eis ela:

Partindo da parte que chegamos em 99(a-c), podemos conlcuir que esse número é múltiplo de 9 e de 11. Como vamos chegar num número de 3 algarismos, seja na diferença ou no “invertido”, e ao chamarmos ele de XYZ, temos das regras de divisibilidade que:

9k => x + y + z = 9k
11k => x + z = y
Logo,
2y = 9k

Sendo X, Y e Z ALGARISMOS, o único algarismo que multiplicado por 9 dará um múliplo de 9, só pode ser o próprio 9… O mais baixo da base 10 é 0, e o mais alto é o 9…
E se y for 0, K também tem que ser 0, o que implicaria em numeros cheios de 0 ou algarismos negativos, o que não rola… hehe.

y = 9 e K = 2

Pode-se conferir que a soma dos algarismos do 1º resultado sempre é 18. =P

daí pra frente, a conta é a mesma, só que achei muito forçada essa forma de pensar no algarismo do meio… hehe.

Eu estava dando uma olhada aqui no site e não pude deixar de colocar aqui que realmente, como já disseram, este site está muito bom! Estou cursando matemática bacharelado e tem muitos conceitos que para mim, ainda iniciante, foram muito úteis!

Aproveitando a oportunidade, Jéssica, o erro na sequência lógica acima está no ”cancelar” os termos (abc) de ambos os lados da equação, uma vez que não definimos no início do exercício que a, b ou c não são nulos. Na verdade, o ”cancelamento” que utilizamos para agilizar nossos cálculos nada mais é do que multiplicar ambos os lados da equação pelo inverso do número que queremos excluir da equação. Assim, na demonstração acima você multiplicou ambos os lados por (1/(abc)), mas se (abc) é um número nulo, isso vai dar uma indeterminação, na qual recorremos pelo conceito dos limites, que já é outro assunto!

Espero ter ajudado. Até mais!
Evandro