Proporção é a sentença matemática que exprime a igualdade entre duas razões (veja definição e propriedades na parte I) e é representada por:

onde b e d são diferentes de zero.

Na expressão acima, b e c são chamados de meios e a e d de extremos; a e c chamam-se, também, de antecedentes da proporção e b e d de consequentes.

Formas comuns de leitura de uma proporção: a esta para b assim como (::) c está para d ou simplesmente, a sobre b iguala (é igual a) c sobre d.

Quarta proporcional de três números dados é um quarto número que forma uma proporção com os números dados.

Proporção contínua é uma proporção que tem os meios iguais. Exemplos:

Terceira proporcional de dois números a e b é um terceiro número c que esteja em proporção contínua com os dois primeiros, de modo que se tenha:

Propriedades

P1. Em toda proporção, o produto dos extremos é igual ao produto dos meios. Ou seja, dada a proporção:

teremos que .

Certamente a grande maioria dos alunos que já tiveram oportunidade de conhecer o assunto, sabe de “cor e salteado” essa propriedade e que os cálculos devem ser efetuados com o uso do famoso “x”, ligando os meios e os extremos da proporção. Mais porque isso é verdadeiro, talvez, muito poucos. A seguir vamos mostrar o porque da propriedade.

Antes, abrimos um parêntesis para recapitular as propriedades de uma igualdade, que você deve ter visto nos primórdios de seu aprendizado matemático e que são utilizadas em várias situações, como por exemplo, na solução de equações do primeiro grau – os famosos passa para o outro lado e troca de sinal ou o termo constante antes da incógnita x vai para o outro lado dividindo. Eis as tais propriedades:

1. Se a = b então a + c = b + c (ou seja, somando-se o mesmo valor c aos dois lados da igualdade esta não se altera);
2. Se a = b então a – c = b - c (explicação semelhante);
3. Se a = b então a/c = b/c, c diferente de zero (ou seja, dividindo-se os dois lados de uma igualdade pelo mesmo número ela não se altera);
4. Se a = b então a.c = b.c (ou seja, multiplicando-se os dois lados de uma igualdade pelo mesmo número ela não se altera).

Demonstração da propriedade P1: Com efeito, multiplicando-se as duas razões (na igualdade) pelo produto dos consequentes b e d a igualdade não se altera (pela propriedade 4 de uma igualdade) e obtemos que:

e simplificando (dividindo) no primeiro membro b no numerador e b no denominador e no segundo d, da mesma forma, obtemos que ad = cb.

P2. Reciprocamente, se quatro números são tais que o produto de dois deles seja igual ao produto dos outros dois, esses quatro números formam uma proporção. Ou seja, dados a, b, c e d, com b e d diferentes de zero, e se ad = bc [1] então:

Demonstração: Simples, basta utilizar a propriedade 3 de uma igualdade dividindo ambos os termos da igualdade [1] por bd. Faça as contas e você verá que se obtém o resultado esperado.

Como consequência das propriedades P1 e P2 podemos dizer que a condição necessária e sufiente para que quatro números estejam em proporção é que o produto dos extermos seja igual ao dos meios. Além do mais, temos que:

1. Ao alternarmos os meios de uma proporção, ainda teremos uma proporção, uma vez que as propriedades P1 e P2 permanecem válidas;
2. Ao alternarmos os extremos de uma proporção o mesmo se aplica;
3. Ao invertemos as duas razões.

P3. Quando duas proporções têm uma razão em comum, as duas outras razões dessas proporções também se acham em proporção. Ou seja, se:

então:

P4. Em toda proporção, a soma ou a diferença dos dois primeiros termos está para o primeiro ou para o segundo como a soma ou a diferença dos dois últimos está para o terceiro ou o quarto. Isto é, dada a proporção:

então:

P5. Em toda proporção, a soma ou a diferença dos dois primeiros termos está para a soma ou a diferença dos dois últimos como o primeiro termo esta para o terceiro ou como o segundo está para o quarto. Isto é, dada a proporção:

então:

P6. Em toda proporção, a soma dos dois primeiros termos está para a sua diferença assim como a soma dos dois últimos está para a sua diferença. Isto é, dada a proporção:

então:

P7. Em toda proporção, a soma dos dois primeiros termos está para a sua diferença como a soma dos dois últimos está para a sua diferença. Ou seja, dada a proporção:

então:

P8. Quando se multiplicam, membro a membro, várias proporções, os produtos forma uma proporção. Em outras palavras, sejam as proporções:

então:

P9. Quando quatro números se acham em proporção, suas potências do mesmo grau também se acham em proporção. Em outras palavras, sejam a proporção abaixo e m um inteiro positivo maior do que 1:

então:

Observe que as propriedades P8 e P9 podem ser adaptadas para a divisão e raízes de mesmo índice respectivamente. Fica como exercício o estabelecimento dessas novas propriedades.

Referência:

Elementos de Aritmética, Curso Superior – Para o curso colegial e admissão às escolas superiores, do Irmão Isidoro Dumont, Coleção de Livros Didáticos F. T. D, publicado em 26/10/1945

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Definições

A Razão entre dois números é o quociente ou a divisão do primeiro pelo segundo.

Em outras palavras, dados dois números a e b, b diferente de zero, a razão entre eles é definida pela expressão:

onde a, o primeiro número, ou numerador, é denominado o antecedente da razão e b, o segundo, ou denominador, o consequente da razão.

Formas comuns de leitura de uma razão a/b: “Razão de a para b”, “a está para b” ou “a para b”.

Exemplos:

1. A razão entre 28 e 4 é igual a 7 porque: . Note que o resultado dessa razão exprime que o antecedente contém sete vezes o consequente;

2. A razão entre 10 e 20 é igual a 1/2 porque: .

3. Em uma prova de 10 questões, você acertou 8. Nessas condições:

a) Qual a razão do número de seus acertos para o número total de questões do teste?

, ou seja, de cada 5 questões você acertou 4.

b) Qual a razão do número de erros para o número total de questões do teste?

, ou seja, de cada 5 questões você errou 1.

Razões Inversas: Duas razões são inversas quando o numerador da primeira é igual ao denominador da segunda e o denominador da primeira é igual ao numerador da segunda. De outra maneira, quando o antecedente de uma é igual ao consequente da outra e vice-versa.

Observe, no entanto, que uma razão cujo antecedente é igual a zero não possui inversa. Você sabe dizer por quê?

Exemplo: e

Como consequência dessa definição podemos concluir, facilmente, que o produto de duas razões inversas é igual a unidade. De fato multiplicando-se duas razões (frações) inversas quaisquer (a/b e b/a) obtemos utilizando-se das propriedades de multiplicação de frações que:

Observação: Até agora lidamos com exemplos onde está implícito que as grandezas são da mesma espécie e avaliadas na mesma unidade.

Antes de prosseguir e mostrar aonde queremos chegar com essa observação vamos primeiro estabelecer o conceito de grandeza.

Grandeza, nada mais é que uma relação numérica estabelecida com um objeto. Assim, a altura e o peso de uma pessoa, a área de um terreno, a quantidade de blogs, entre outros, são grandezas. Ou, em outras palavras, grandeza é tudo que você pode contar, medir, pesar, enfim, enumerar.

Bom! E para que isso tudo? Para chamar a atenção de que o cálculo de uma razão entre duas grandezas de mesma espécie (comprimento, por exemplo) não pode ser efetuado com unidades distintas (centímetro e metro). Exemplificando: para determinar a razão entre a minha altura 1,87 metros e a de Maria com 165 centímetros é necessário, antes, converter ambas para metro ou centímetro. A partir dessas considerações podemos, também, estabelecer a propriedade P1 a seguir.

Propriedades

P1. A razão de duas grandezas da mesma espécie, avaliadas com a mesma unidade, é igual à razão dos números que exprimem essas grandezas.

Nota: Chama-se valor de uma razão a fração irredutível que lhe é igual. Se q designar o valor de uma razão a/b, teremos:

P2. Uma razão não se altera quando seus dois têrmos são multiplicados por um mesmo número.

Demonstração: Seja a/b uma razão. Precisamos demonstrar que, se multiplicarmos os seus dois termos por um número m, devemos obter:

De fato, seja q o valor da razão. Pela definição vem que:

Multiplicando os dois membro da igualdade por m:

donde se tira, dividindo os dois membros por bm:

P3. O produto de duas razões é igual ao produto dos seus antecedentes dividido pelo produto de seus consequentes.

P4. O quociente de duas razões é igual ao produto da razão dividendo pela razão divisor invertida.

P5. Numa série de razões iguais, a soma dos antecedentes dividida pela soma dos consequentes dá uma razão igual a cada uma das razões dadas.

Referências:

Elementos de Aritmética, Curso Superior – Para o curso colegial e admissão às escolas superiores, do Irmão Isidoro Dumont, Coleção de Livros Didáticos F. T. D, publicado em 26/10/1945

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Uma criança que honra e respeita os outros é o reflexo do exemplo dos pais, naturalmente tornar-se-á um adulto comprometido em todos os aspectos, inclusive respeitar o planeta onde vive…

A Evolução da Educação.

Antigamente se ensinava e cobrava tabuada, caligrafia, redação, datilografia… Havia aulas de Educação Física, Moral e Cívica, Práticas Agrícolas, Práticas Industriais e cantava-se o Hino Nacional, hasteando a Bandeira Nacional antes de iniciar as aulas.

Leiam o relato de uma Professora de Matemática:

Semana passada, comprei um produto que custou R$ 15,80. Dei à balconista R$ 20,00 e peguei na minha bolsa 80 centavos, para evitar receber ainda mais moedas. A balconista pegou o dinheiro e ficou olhando para a máquina registradora, aparentemente sem saber o que fazer. Tentei explicar que ela tinha que me dar 5,00 reais de troco, mas ela não se convenceu e chamou o gerente para ajudá-la. Ficou com lágrimas nos olhos enquanto o gerente tentava explicar e ela aparentemente continuava sem entender. Por que estou contando isso?

Porque me dei conta da evolução do ensino de matemática desde 1950, que foi assim:

1. Ensino de matemática em 1950:

Um lenhador vende um carro de lenha por R$ 100,00. O custo de produção é igual a 4/5 do preço de venda. Qual é o lucro?

2. Ensino de matemática em 1970:

Um lenhador vende um carro de lenha por R$ 100,00. O custo de produção é igual a 4/5 do preço de venda ou R$ 80,00. Qual é o lucro?

3. Ensino de matemática em 1980:

Um lenhador vende um carro de lenha por R$ 100,00. O custo de produção é R$ 80,00. Qual é o lucro?

4. Ensino de matemática em 1990:

Um lenhador vende um carro de lenha por R$ 100,00. O custo de produção é R$ 80,00. Escolha a resposta certa, que indica o lucro:

• ( )R$ 20,00
• ( )R$ 40,00
• ( )R$ 60,00
• ( )R$ 80,00
• ( )R$ 100,00

5. Ensino de matemática em 2000:

Um lenhador vende um carro de lenha por R$ 100,00. O custo de produção é R$ 80,00. O lucro é de R$ 20,00.

Está certo?

• ( )SIM
• ( ) NÃO

6. Ensino de matemática em 2009:

Um lenhador vende um carro de lenha por R$ 100,00. O custo de produção é R$ 80,00. Se você souber ler coloque um X no R$ 20,00.

• ( )R$ 20,00
• ( )R$ 40,00
• ( )R$ 60,00
• ( )R$ 80,00
• ( )R$ 100,00

7. Em 2010 vai ser assim:

Um lenhador vende um carro de lenha por R$ 100,00. O custo de produção é R$ 80,00. Se você souber ler coloque um X no R$ 20,00. (Se você é afro descendente, especial, indígena ou de qualquer outra minoria social não precisa responder)

• ( )R$ 20,00
• ( )R$ 40,00
• ( )R$ 60,00
• ( )R$ 80,00
• ( )R$ 100,00

E se um moleque resolve pichar a sala de aula e a professora faz com que ele pinte a sala novamente, os pais ficam enfurecidos, pois a professora provocou traumas na criança.

Essa pergunta foi vencedora em um congresso sobre vida sustentável.

Todo mundo ‘pensando’ em deixar um planeta melhor para nossos filhos… Quando é que ‘pensarão’ em deixar filhos melhores para o nosso planeta?”

Passe adiante!

Precisamos começar JÁ!

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Adaptado do livro O Homem Que Calculava, de Malba Tahan.

Escrever, com quatro quatros e sinais matemáticos, uma expressão que seja igual a um número inteiro dado. Na expressão não pode aparecer (além dos quatro quatros) nenhum algarismo ou letra ou símbolo algébrico que envolva letras, tais como: log , lim , etc. Podem entretanto ser utilizados os símbolos de fatorial e raiz quadrada.

Afirmam os pacientes calculistas que é possível escrever, com quatro quatros, todos os números naturais de 0 a 100.

Vi o desafio aqui.

Na tabela a seguir escrevi, obedecendo as regras estabelecidas, os números naturais de 0 a 25. Foi utilizado o fatorial de 4 em algumas das expressões, cuja notação é 4! e cujo valor é igual a 4 x 3 x 2 x 1 = 24.

Não sei se os pacientes calculistas estão com razão, mas se você quiser tentar escrever um ou mais número acima de 25 faça-o nos comentários e quem sabe possamos confirmar o que dizem os calculistas.

Número	Expressão
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
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19
20
19
20
21
22
23
24
25

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O principal recurso do plugin, como indicado no seu nome de batismo, é agrupar posts já publicados ou não. Um exemplo de sua funcionalidade é mostrado a seguir com o agrupamento de quatro artigos sobre Progressões. No entanto, foi desenvolvido, até o momento, apenas o seu “motor”, faltando ainda, pode-se dizer, a parte mais trabalhosa, sua interface de administração.

A continuidade do desenvolvimento e sua disponibilização dependerá do interesse demonstrado pelos leitores do blog, que pode ser manifestado através dos comentários.

• Progressões – Parte I
• Progressões – Parte II
• Exercícios Resolvidos #2 – PA e PG
• Questionarious #3 – Progressões

Progressões – Parte I

junho 15, 2006 | 13:04:37

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Esta matéria aborda o conceito e propriedades de sequência ou sucessão, com ênfase nas que possui uma fórmula bem definida que permite calcular qualquer um de seus termos. Ou seja, das sequências que possuem uma lei de formação que estabelece uma relação entre o valor de seus termos e sua posição.

Especificamente, das duas mais conhecidas: a Progressão Aritmética (PA) e a Progressão Geométrica (PG), dividido em três partes (a primeira este artigo e as demais serão publicadas oportunamente):

• Parte I - teoria sobre PA;
• Parte II - teoria sobre PG;
• Parte III - exercícios resolvidos sobre PA e PG.

Mas antes precisamos conhecer a definição do que seja uma sequência ou sucessão.

Sequências ou Sucessões

Uma sequência ou sucessão é um conjunto ordenado (finito ou infinito) de elementos de qualquer natureza, em que cada elemento fica naturalmente seqüenciado.

Um conjunto ordenado é um conjunto que possui ...

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Progressões – Parte II

junho 17, 2006 | 10:30:37

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Em continuidade ao artigo Progressões - Parte I que trata dos conceitos e propriedades de sequência e da Progressão Aritmética (PA), vamos, agora, fazer a abordagem teórica sobre as Progressões Geométricas (PG).

Progressões Geométricas (PG)

Definição

Uma progressão geométrica (PG) é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao antecessor multiplicado por uma constante q denominada a razão da PG. Ou seja:

a_n = a_n-1.q (n >= 2)

Observe que se a₁ e q são diferentes de zero podemos escrever q = a_n/a_n-1, uma vez que, nessas condições, todos os termos da PG são também diferentes de zero.

Exemplos:

1. (1; 2; 4; 8; 16; ...) onde a₁ = 1 e q = 2;
2. (-2; -6; -18; -54; ...) onde a₁ = -2 e q = 3;
3. (9; 9; 9; 9; ...) onde a₁ = 9 e q = 1;
4. (1; -3; 9; -27; ...) onde a₁ = 1 e q = -3;
5. (20; 0; 0; 0; ...) onde a₁ = 20 e q = 0.

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Exercícios Resolvidos #2 – PA e PG

junho 22, 2006 | 10:19:45

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Com este artigo, a Parte III, estamos concluindo o tema Progressões. As Partes I e II se referem à teoria sobre Sequência e PA e PG, respectivamente, que podem ser consultadas, caso seja necessário, para um melhor entendimento das soluções dos exercícios a seguir.

Os sete primeiros exercícios foram extraídos do sítio Vestibulando Web e suas respostas estão indicadas em negrito. Na mesma página você encontra outros exercícios interessantes, não resolvidos aqui e nem lá, para que você teste seus conhecimentos.

Exercício 1: (FUVEST/01) Uma progressão aritmética e uma progressão geométrica têm, ambas, o primeiro termo igual a 4, sendo que os seus terceiros termos são estritamente positivos e coincidem. Sabe-se ainda que o segundo termo da progressão aritmética excede o segundo termo da progressão geométrica em 2. Então, o terceiro termo das progressões é:

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Questionarious #3 – Progressões

julho 9, 2009 | 00:45:30

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Exercícios de Progressões

• Este questionário é composto de dez exercícios, sendo cinco de PA e cinco de PG, extraídos dos quase 300 comentários feitos pelos leitores do Viche no post Exercícios Resolvidos #2 – PA e PG.

  Os exercícios foram selecionados de modo a representar a grande maioria dos questionamentos feitos nos comentários do post mencionado acima.

  As soluções dos exercícios podem ser vistas clicando no ícone em forma de uma lâmpada exibida no final de cada um deles. Tente resolvê-los antes de recorrer a essa funcionalidade de modo a avaliar seus conhecimentos. Marque as respostas que você encontrou para cada um dos exercícios e clique no botão "Enviar" localizado no final do formulário para obter, ao vivo e a cores, o seu resultado.

• Calcule a soma dos 8 primeiros termos da P.G. (4⁰, 4¹, 4², 4³, ...):
  • 21849
  • 20845
  • 21845
  • 22845
  • Nenhuma das respostas anteriores
  • 
  • 
    

    Temos como condição inicial a PG (4⁰, 4¹, 4², 4³, ...), ou seja, (1, 4, 16, 64, ...) que se obtem calculando-se as potências e o número de termos n = 8.

    E o que se quer é a soma desses termos.

    Portanto, para solucionar a questão será necessário, inicialmente, determinar a razão q, e em seguida, aplicar a fórmula da soma de uma PG finita para n = 8. 

    

    A razão q é facilmente obtida dividindo-se o segunto termo pelo primeiro como decorrência da definição de uma PG:

    q = a_2/a₁ = 4/1 = 4

    Logo, da fórmula da soma, substituindo-se a₁ = 1, n = 8 e q = 4, vem que:

    s₈ = 1.(4⁸- 1)/(4 -1) = (65536 - 1)/3 = 65535/3 = 21845

• Quantos termos tem a P.A (4, 7, 10, …, 157)
  • 53
  • 52
  • 60
  • 55
  • 58
  • 
  • 
    

    Condições iniciais:

    • A PA (4, 7, 10, …, 157);
    • O primeiro termo a₁ = 4;
    • O último termo a_n = 157.

    E o que se quer determinar é o valor de n - a quantidade de termos da PA.

    Para tanto é suficiente calcular a razão r e utilizar a fórmula do termo geral de uma PA:

    a_n = a₁ + (n – 1)r

    Pela definição de PA a razão é obtida subtraindo-se qualquer termo, a partir do segundo, pelo seu antecessor. Assim:

    r = 7 - 4 = 3

    Logo, da fórmula e das condições iniciais vem:

    a_n = a₁ + (n – 1)r  => 157 = 4 + (n - 1)3 => 157 = 4 + 3n - 3 => 157 = 1 + 3n

    => 157 - 1 = 3n => 3n = 156 => n = 156/3 => n = 52

• Qual é o 10° termo da PG (20,10,5…):
  • 5/128
  • 5/256
  • 5/512
  • 5/64
  • Nenhuma das respostas anteriores
  • 
  • 
    

    Dados do problema: n = 10 e a PG (20, 10, 5, ...).

    E o que se quer determinar é o valor de a₁₀ - o décimo termo da PG.

    Assim, nada mais natural do que usar a fórmula do termo geral de uma PG para solucionar a questão:

    a_n = a₁.q^n-1

    Observe que temos das condições iniciais a₁ = 20 e n = 10, restando, portanto, a se obter a razão q.

    Mas, para isso, basta utilizar a definição de uma PG, em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao antecessor multiplicado por uma constante q. Logo, por exemplo:

    a₂ = a₁.q => q = a₂/a₁ = 10/20 = 1/2

    E, finalmente, substituindo-se os valores na fórmula geral:

    a_n = a₁.q^n-1 => a₁₀ = 20.(1/2)^10-1 = 20.(1/2)⁹ = 20.(1/512) = 20/512 = 5/128

• Determine o valor da razão de uma PA sabendo-se que:

  a₁ + a₃ + a₅ = 21

  a₂ + a₄ + a₆ = 42

  • -7
  • 8
  • 9
  • 7
  • -9
  • 
  • 
    

    Como nos exercícios anteriores, mais uma vez, faremos uso do termo geral de uma PA para aplicarmos nas equações dadas na questão e transformá-las em um sistema de equações em função de a₁ e r. Assim sendo:

    a₃ = a₁ + (3 - 1)r => a₃ = a₁ + 2r

    a₅ = a₁ + (5 - 1)r => a₅ = a₁ + 4r

    a₂ = a₁ + (2 - 1)r => a₂ = a₁ + r

    a₄ = a₁ + (4 - 1)r => a₄ = a₁ + 3r

    a₆ = a₁ + (6 - 1)r => a₆ = a₁ + 5r

    Substituindo esses valores nas equações dadas:

    a₁ + a₃ + a₅ = 21 => a₁ + a₁ + 2r + a₁ + 4r = 21 => 3a₁ + 6r = 21    [1]

    a₂ + a₄ + a₆ = 42 => a₁ + r + a₁ + 3r + a₁ + 5r = 42 => 3a₁ + 9r = 42   [2]

    De [1] isolando o valor de a₁:

    3a₁ = 21 - 6r => a₁ = (21 - 6r)/3   [3]

    Substituindo o valor de a₁ obtido em [3] na equação [2]:

    3a₁ + 9r = 42 => 3[(21 - 6r)/3] + 9r = 42 => 21 - 6r + 9r = 42 => 3r = 21 => r = 21/3 = 7

• Sabendo-se que (x, x+9, x+45), x diferente de zero, formam uma PG, determine o valor de x:
  • 5
  • 4
  • 3
  • 2
  • 1
  • 
  • 
    

    Utilizando a definição de PG, em que a₁ = x, a₂ = x + 9 e a₃ = x + 45 temos:

    a₂ = a₁.q => x + 9 = x.q   [1]

    a₃ = a₂.q => x + 45 = (x + 9)q   [2]

    Isolando o valor de q em [1]:

    q = (x + 9)/x

    Substituindo q em [2]

    x + 45 = (x + 9)[(x + 9)/x] => x(x + 45) = (x+ 9)²

    => x² + 45x = x² + 18x + 81 => x² + 45x - x² - 18x = 81 => 27x = 81 => x = 81/27 = 3

• O décimo termo da PA (a, 3a/2, …) é igual a:
  • 11a/2
  • 9a/2
  • 7a/2
  • 13a/2
  • 15a/2
  • 
  • 
    

    Condições iniciais: PA (a, 3a/2, ...), onde a₁ = a e a₂ = 3a/2.

    O que se quer determinar é obtido da fórmula do termo geral de uma PA:

    a₁₀ = a₁ + (10 -1)r = a + 9r    [1]

    Restando, portanto, para concluir a solução do exercício determinar o valor de r. Isto é feito a partir da definição de uma PA:

    a₂ = a₁ + r => 3a/2 = a + r => r = (3a/2) - a = (3a - 2a)/2 = a/2 

    Substituindo em [1] vem:

    a₁₀ = a + 9(a/2) = (2a + 9a)/2 = 11a/2

• A soma dos três primeiros termos de uma PG é igual a 39 e o produto entre eles é 729. Calcule os três numeros:
  • 3, 9 e 27
  • 4, 8 e 16
  • 5, 10, 20
  • Nenhuma das respostas anteriores
  • 
  • 
    

    Condições iniciais da questão:

    a₁ + a₂ + a₃ = 39

    a₁.a₂.a₃ = 729

    Para calcular os três termos da PG é suficiente determinar a razão q e o primeiro termo a₁. A partir da fórmula do termo geral da PG obtemos para as duas equações acima:

    a₁ + a₁q + a₁q² = 39 => a₁ + a₁q +a₁q.q = 39  [1]

    a₁.a₁q.a₁q² = 729 => a₁³q³ = 729 = 3⁶ => (a₁q)³ = 3⁶ => a₁q = 3² = 9   [2]

    Substituindo o valor de a₁q em [1]:

    a₁ + 9 + 9q = 39 => a₁ = 39 - 9 - 9q = 30 - 9q

    E, agora, substituindo o valor de a₁ em [2]:

    (30 - 9q)q = 9 => 30q - 9q² = 9 => 9q² -30q + 9 = 0

    Calculando as raízes da equação do segundo grau obtemos q₁ = 3 e q₂ = 1/3, e de [2] vem que:

    a₁ = 9/3 = 3 para q = 3 => PG (3. 9, 27)

    a₁ = 9/(1/3) = 27 para q = 1/3 => PG (27, 9, 3)

    E, portanto, os três termos das PG's são 3, 9 e 27. Observe que as PG's satisfazem as condições iniciais com relação a soma e ao produto.

    Observe que a fatoração de 729 = 3⁶ = 3.3².3³ e que desse fato poderíamos concluir a resposta.

• Calcule a soma dos numeros inteiros positivos inferiores a 501 e que não sejam divisíveis por 7:
  • 106358
  • 120655
  • 156897
  • 129654
  • 107358
  • 
  • 
    

    Condições inciais: PA (1,2,3,...,500) de razão igual 1 e que na soma de seus termos deve ser subtraída a soma dos termos múltiplos de 7 (7, 14, 21, ..., b_n), que formam outra PA de razão 7 cujo primeiro termo é b₁ = 7.

    Para determinar b_n, o último termo da segunda PA, observe que a divisão de 500 por 7 tem resto 3 e desse fato concluímos que b_n = 500 - 3 = 497, ou seja, o maior múltiplo de 7 menor que 500. Resta ainda calcular o número de termos dessa PA, necessário, como veremos, para calcular a soma da PA, o qual  é obtido pelo uso da fórmula do termo geral:

    b_n = b₁ + (n - 1)r => 497 = 7 + (n - 1).7 => 497 = 7 + 7n - 7 => n = 497/7 = 71

    Agora, vamos calcular a soma conforme solicitado na questão. Para isso deveremos calcular a soma dos números inteiros positivos inferiores a 500 (S₁) e subtrair da soma da PA composta dos múltiplos de 7 (S₂).

    Primeiro calculemos S_{1 usando a fórmula da soma de uma PA}:

    S₁ = [(a₁ + a_n)n]/2 = [(1 + 500)500]/2 = 125250

    e, em seguida, calcular S2:

    S₂ = [(b₁ + b_n)n]/2 = [(7 + 497)71]/2 = (504.71)/2 = 17892

    para finalmente obtermos o resultado pedido:

    S = S₁ - S₂ = 125250 - 17892 = 107358

• Encontre a razão positiva em que os termos de uma PG satisfaça as igualdades a₁ + a₄ = 27 e a₃ + a₆ = 108:
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 2
  • 
  • 
    

    Condições iniciais: q > 0 e

    a₁ + a₄ = 27   [1]

    a₃ + a₆ = 108  [2]

    Para se obter a razão q vamos, primeiramente, reescrever as equações [1] e [2] utilizando a fórmula do termo geral de uma PG:

    [1] => a₁ + a₁q³ = 27 => a₁(1 + q³) = 27 => 1 + q³ = 27/a₁

    [2] => a₁q² + a₁q⁵ = 108 => a₁q²(1 + q³) = 108 => 1 + q³ = 108/a₁q²

    Igualando os resultados, vem que:

    27/a₁ = 108/a₁q² => 27a₁q² = 108a₁ => 27q² = 108 => q² = 108/27 = 4

    e, portanto:

    q = ±2

    Como a razão solicitada é maior que 0, concluí-se que q = 2.

• Determine a PA em que o primeiro termo é o dobro da razão e o trigésimo termo é igual a 93:
  • (3, 6, 9, 12, ..., 93)
  • (9, 12, 15, 18, ..., 93)
  • (6, 9, 12, 15, ..., 93)
  • Nenhuma das respostas anteriores
  • 
  • 
    

    Condições iniciais:

    a₁ = 2r   [1]

    a₃₀ = 93   [2]

    Para solucionar o exercício é suficiente determinar o primeiro termo e a razão da PA. 

    Da igualdade [2] vem, utilizando-se a fórmula do termo geral da PA, que:

    a₃₀ = a₁ + (30 - 1)r  => 93 = a₁ + 29r   [3]

    Substituindo o valor de a1 (igualdade [1]) em [3]:

    93 = 2r + 29r => 31r = 93 => r = 93/31 = 3

    Daqui e de [1] segue que:

    a₁ = 2r = 6

    Logo a PA é:

    (6, 9, 12, 15, ..., 93)

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Se você somar 1 ao produto de quatro números inteiros consecutivos, o resultado sempre será um quadrado perfeito.

Em outros termos, o que devemos demonstrar é:

Dado um número x inteiro qualquer o resultado da operação R = x(x + 1)(x + 2)(x + 3) + 1 será sempre um quadrado perfeito, isto é, um número inteiro elevado ao quadrado.

Então, vamos começar, como não poderia deixar de ser, realizando umas “continhas” utilizando-se da propriedade distributiva da multiplicação, para reescrever R:

R = (x² + x)(x + 2)(x + 3) + 1 = (x³ + 2x² + x² + 2x)(x + 3) + 1    =>

R = (x³ + 3x² + 2x)(x + 3) + 1 = x⁴ + 3x³ + 3x³ + 9x² + 2x² + 6x + 1

Agrupando os termos de R, na expressão acima, obtemos:

R = (x⁴ + 6x³ + 9x²) + 2(x² + 3x) + 1

Agora, repare bem, bem mesmo, na primeira expressão entre parêntesis, lembre-se do velho e conhecido Produtos Notáveis e conclua comigo que:

R = (x² + 3x)² + 2(x² + 3x) + 1  [1]

Para facilitar o entendimento final da demonstração, vamos definir y como:

y = (x² + 3x)   [2]

e substituir em [1] para concluir que:

R = y² + 2y + 1 = (y + 1)² [3]

é um quadrado perfeito, onde em [3], mais uma vez, utilizamos a propriedade dos produtos notáveis: Quadrado da soma de dois números. Tem dúvidas, consulte o artigo indicado no link acima sobre o tema.

Para finalizar, vamos a um exemplo: dado x = 4 vem que R = (4×5×6×7) + 1 = 841. Tudo bem, até aí está fácil. Mas como saber se 841 ou um número bem maior é um quadrado perfeito sem muito esforço – extração da raiz quadrada.

Tranquilo. Utilize a expressão [2] para determinar y = (16 + 12) = 28 e substitua em [3] para concluir que R = 29² = 841.

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Exercícios de Progressões

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Como você pode verificar acessando a página indicada no link acima, o Mind Reader, sugerido pelo Thiago, consiste em selecionar um número de dois dígitos em um tabela, subtrair do número selecionado a soma dos dois dígitos que o compõe, localizar na mesma tabela o símbolo correspondente ao resultado assim obtido, clicar em uma bola de cristal e bingo, surge como um passe de mágica o símbolo “pensado”.

À primeira vista parece algo sobrenatural, demoníaco, mágico! Exageros a parte, na verdade, trata-se de algo bastante simples como você verá a seguir.

Inicialmente, vamos abordar de forma genérica a operação aritmética utilizada no Mind Reader, ou seja, dado um número de dois dígitos – representaremos por [xy] -, x diferente de zero, subtraia desse número o resultado da soma x + y:

MR = [xy] – (x + y)

Já sabemos de tempos idos que todo número de dois dígitos pode ser escrito na forma:

[xy] = 10x + y

Substituindo o valor de [xy] na expressão anterior:

MR = 10x + y – (x + y) = 10x + y – x – y = 9x

obtemos que o resultado da operação aritmética utilizada pelo Mind Reader é sempre um múltiplo de 9.

Logo os valores possíveis para o resultado da operação são 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72 ou 81 para x = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 respectivamente. Em outras palavras, ao selecionarmos um número entre 10 e 19, em que x = 1, teremos como resultado 9, entre 20 e 29, em que x = 2, teremos como resultado 18, e, assim sucessivamente até x = 9, para os números entre 90 e 99, em que teremos como resultado 81.

Agora, para finalizar, observe que a cada vez que a tabela é exibida na página indicada inicialmente, àqueles valores (9, 18, …) corresponde sempre o mesmo símbolo.

E, portanto, o Mind Reader acerta sempre e o mistério está desvendado por Mister N!

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Para não haver dúvidas quanto à questão colocada, vamos a um exemplo prático:

Seja 564 o número escolhido. Repetindo o número na frente do número dado obtemos o número 564564.

Dividindo esse número por 13:

564564/13 = 43428

Dividindo o resultado da divisão anterior por 11:

43428/11 = 3948

E, finalmente, dividindo esse resultado por 7, obtemos o número inicialmente escolhido:

3948/7 = 564

Faça outros exemplos e você verá que o resultado será, de fato, sempre o número escolhido inicialmente. Por que? Alguém se candidata a explicar aí nos comentários?

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Retomo com uma questão de Progressão Aritmética relativamente simples, pelo menos para mim ;-), agregando à solução em si o detalhamento de um método de como penso se deva proceder para interpretar e resolver questões de matemática.

Proponente

Marcelo Augusto

Questão

Quantos números inteiros compreendidos entre 1 e 500 são divisíveis por 3 e por 7 ao mesmo tempo?

Condições – O que se tem:

O primeiro passo é o estabelecimento das condições iniciais da questão, as quais podem ser extraídas facilmente do enunciado:

1. Os números inteiros são divisíveis por 3 e 7 ao mesmo tempo;
2. E estão compreendidos entre 1 e 500.

Parece óbvio esse passo, e é na maioria das vezes, mas se trata de um procedimento essencial da solução.

Tese – O que se quer:

A quantidade de números inteiros que satisfazem as condições iniciais.

Solução:

a) Analisando a Condição 1:

Para que um número inteiro seja divisível por outros dois números inteiros ao mesmo tempo é suficiente que ele seja divisível pelo mínimo múltiplo comum entre eles. Como os números 3 e 7 são primos entre si, uma vez que o m.d.c.(3,7) = 1, os números que satisfazem essa condição devem ser múltiplos de 3 x 7 = 21 = m.m.c.(3,7).

Desse fato concluimos que os números formam a sequência:

(21, 42, 63, …, a_n)

e que essa sequência é uma PA de razão r = 21, pois a diferença entre um termo, a partir do segundo, e seu antecedente é sempre 21 e onde, por enquanto, desconhecemos quanto valem a_n e n, os quais serão determinados a partir da condição 2. Note que n é a quantidade procurada.

b) Analisando a condição 2:

Como os números devem estar compreendidos entre 1 e 500 temos que:

a₁ = 21 > 1 e a_n < 500

Para concluir a solução do problema basta, então, determinar o valor de n.

E isso é feito a partir da fórmula do termo geral de uma PA:

a_n = a₁ + (n – 1)r = 21 + (n – 1)21 = 21 + 21n – 21 = 21n < 500

Da desigualdade acima obtemos que:

n < 500/21 => n < 23,809…

E, finalmente, que o maior termo (a_n = 21 x 23 = 483) da seqüência que satisfaz a condição 2 é o obtido quando n = 23, que é a quantidade de números procurada.

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