Proporção é a sentença matemática que exprime a igualdade entre duas razões (veja definição e propriedades na parte I) e é representada por:

onde b e d são diferentes de zero.

Na expressão acima, b e c são chamados de meios e a e d de extremos; a e c chamam-se, também, de antecedentes da proporção e b e d de consequentes.

Formas comuns de leitura de uma proporção: a esta para b assim como (::) c está para d ou simplesmente, a sobre b iguala (é igual a) c sobre d.

Quarta proporcional de três números dados é um quarto número que forma uma proporção com os números dados.

Proporção contínua é uma proporção que tem os meios iguais. Exemplos:

Terceira proporcional de dois números a e b é um terceiro número c que esteja em proporção contínua com os dois primeiros, de modo que se tenha:

Propriedades

P1. Em toda proporção, o produto dos extremos é igual ao produto dos meios. Ou seja, dada a proporção:

teremos que .

Certamente a grande maioria dos alunos que já tiveram oportunidade de conhecer o assunto, sabe de “cor e salteado” essa propriedade e que os cálculos devem ser efetuados com o uso do famoso “x”, ligando os meios e os extremos da proporção. Mais porque isso é verdadeiro, talvez, muito poucos. A seguir vamos mostrar o porque da propriedade.

Antes, abrimos um parêntesis para recapitular as propriedades de uma igualdade, que você deve ter visto nos primórdios de seu aprendizado matemático e que são utilizadas em várias situações, como por exemplo, na solução de equações do primeiro grau – os famosos passa para o outro lado e troca de sinal ou o termo constante antes da incógnita x vai para o outro lado dividindo. Eis as tais propriedades:

1. Se a = b então a + c = b + c (ou seja, somando-se o mesmo valor c aos dois lados da igualdade esta não se altera);
2. Se a = b então a – c = b - c (explicação semelhante);
3. Se a = b então a/c = b/c, c diferente de zero (ou seja, dividindo-se os dois lados de uma igualdade pelo mesmo número ela não se altera);
4. Se a = b então a.c = b.c (ou seja, multiplicando-se os dois lados de uma igualdade pelo mesmo número ela não se altera).

Demonstração da propriedade P1: Com efeito, multiplicando-se as duas razões (na igualdade) pelo produto dos consequentes b e d a igualdade não se altera (pela propriedade 4 de uma igualdade) e obtemos que:

e simplificando (dividindo) no primeiro membro b no numerador e b no denominador e no segundo d, da mesma forma, obtemos que ad = cb.

P2. Reciprocamente, se quatro números são tais que o produto de dois deles seja igual ao produto dos outros dois, esses quatro números formam uma proporção. Ou seja, dados a, b, c e d, com b e d diferentes de zero, e se ad = bc [1] então:

Demonstração: Simples, basta utilizar a propriedade 3 de uma igualdade dividindo ambos os termos da igualdade [1] por bd. Faça as contas e você verá que se obtém o resultado esperado.

Como consequência das propriedades P1 e P2 podemos dizer que a condição necessária e sufiente para que quatro números estejam em proporção é que o produto dos extermos seja igual ao dos meios. Além do mais, temos que:

1. Ao alternarmos os meios de uma proporção, ainda teremos uma proporção, uma vez que as propriedades P1 e P2 permanecem válidas;
2. Ao alternarmos os extremos de uma proporção o mesmo se aplica;
3. Ao invertemos as duas razões.

P3. Quando duas proporções têm uma razão em comum, as duas outras razões dessas proporções também se acham em proporção. Ou seja, se:

então:

P4. Em toda proporção, a soma ou a diferença dos dois primeiros termos está para o primeiro ou para o segundo como a soma ou a diferença dos dois últimos está para o terceiro ou o quarto. Isto é, dada a proporção:

então:

P5. Em toda proporção, a soma ou a diferença dos dois primeiros termos está para a soma ou a diferença dos dois últimos como o primeiro termo esta para o terceiro ou como o segundo está para o quarto. Isto é, dada a proporção:

então:

P6. Em toda proporção, a soma dos dois primeiros termos está para a sua diferença assim como a soma dos dois últimos está para a sua diferença. Isto é, dada a proporção:

então:

P7. Em toda proporção, a soma dos dois primeiros termos está para a sua diferença como a soma dos dois últimos está para a sua diferença. Ou seja, dada a proporção:

então:

P8. Quando se multiplicam, membro a membro, várias proporções, os produtos forma uma proporção. Em outras palavras, sejam as proporções:

então:

P9. Quando quatro números se acham em proporção, suas potências do mesmo grau também se acham em proporção. Em outras palavras, sejam a proporção abaixo e m um inteiro positivo maior do que 1:

então:

Observe que as propriedades P8 e P9 podem ser adaptadas para a divisão e raízes de mesmo índice respectivamente. Fica como exercício o estabelecimento dessas novas propriedades.

Referência:

Elementos de Aritmética, Curso Superior – Para o curso colegial e admissão às escolas superiores, do Irmão Isidoro Dumont, Coleção de Livros Didáticos F. T. D, publicado em 26/10/1945

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Definições

A Razão entre dois números é o quociente ou a divisão do primeiro pelo segundo.

Em outras palavras, dados dois números a e b, b diferente de zero, a razão entre eles é definida pela expressão:

onde a, o primeiro número, ou numerador, é denominado o antecedente da razão e b, o segundo, ou denominador, o consequente da razão.

Formas comuns de leitura de uma razão a/b: “Razão de a para b”, “a está para b” ou “a para b”.

Exemplos:

1. A razão entre 28 e 4 é igual a 7 porque: . Note que o resultado dessa razão exprime que o antecedente contém sete vezes o consequente;

2. A razão entre 10 e 20 é igual a 1/2 porque: .

3. Em uma prova de 10 questões, você acertou 8. Nessas condições:

a) Qual a razão do número de seus acertos para o número total de questões do teste?

, ou seja, de cada 5 questões você acertou 4.

b) Qual a razão do número de erros para o número total de questões do teste?

, ou seja, de cada 5 questões você errou 1.

Razões Inversas: Duas razões são inversas quando o numerador da primeira é igual ao denominador da segunda e o denominador da primeira é igual ao numerador da segunda. De outra maneira, quando o antecedente de uma é igual ao consequente da outra e vice-versa.

Observe, no entanto, que uma razão cujo antecedente é igual a zero não possui inversa. Você sabe dizer por quê?

Exemplo: e

Como consequência dessa definição podemos concluir, facilmente, que o produto de duas razões inversas é igual a unidade. De fato multiplicando-se duas razões (frações) inversas quaisquer (a/b e b/a) obtemos utilizando-se das propriedades de multiplicação de frações que:

Observação: Até agora lidamos com exemplos onde está implícito que as grandezas são da mesma espécie e avaliadas na mesma unidade.

Antes de prosseguir e mostrar aonde queremos chegar com essa observação vamos primeiro estabelecer o conceito de grandeza.

Grandeza, nada mais é que uma relação numérica estabelecida com um objeto. Assim, a altura e o peso de uma pessoa, a área de um terreno, a quantidade de blogs, entre outros, são grandezas. Ou, em outras palavras, grandeza é tudo que você pode contar, medir, pesar, enfim, enumerar.

Bom! E para que isso tudo? Para chamar a atenção de que o cálculo de uma razão entre duas grandezas de mesma espécie (comprimento, por exemplo) não pode ser efetuado com unidades distintas (centímetro e metro). Exemplificando: para determinar a razão entre a minha altura 1,87 metros e a de Maria com 165 centímetros é necessário, antes, converter ambas para metro ou centímetro. A partir dessas considerações podemos, também, estabelecer a propriedade P1 a seguir.

Propriedades

P1. A razão de duas grandezas da mesma espécie, avaliadas com a mesma unidade, é igual à razão dos números que exprimem essas grandezas.

Nota: Chama-se valor de uma razão a fração irredutível que lhe é igual. Se q designar o valor de uma razão a/b, teremos:

P2. Uma razão não se altera quando seus dois têrmos são multiplicados por um mesmo número.

Demonstração: Seja a/b uma razão. Precisamos demonstrar que, se multiplicarmos os seus dois termos por um número m, devemos obter:

De fato, seja q o valor da razão. Pela definição vem que:

Multiplicando os dois membro da igualdade por m:

donde se tira, dividindo os dois membros por bm:

P3. O produto de duas razões é igual ao produto dos seus antecedentes dividido pelo produto de seus consequentes.

P4. O quociente de duas razões é igual ao produto da razão dividendo pela razão divisor invertida.

P5. Numa série de razões iguais, a soma dos antecedentes dividida pela soma dos consequentes dá uma razão igual a cada uma das razões dadas.

Referências:

Elementos de Aritmética, Curso Superior – Para o curso colegial e admissão às escolas superiores, do Irmão Isidoro Dumont, Coleção de Livros Didáticos F. T. D, publicado em 26/10/1945

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A tabela é criada durante o processo padrão de ativação do plugin. Informações de como usá-lo no seu blog, sobre o download e outros aspectos podem ser obtidas no link acima.

No momento, o download do plugin só está disponível aqui no blog Viche. Fiz a inscrição para publicá-lo no respositório de plugins do WordPress e estou aguardando a liberação.

E rumo ao Hexa!

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Adaptado do livro O Homem Que Calculava, de Malba Tahan.

Escrever, com quatro quatros e sinais matemáticos, uma expressão que seja igual a um número inteiro dado. Na expressão não pode aparecer (além dos quatro quatros) nenhum algarismo ou letra ou símbolo algébrico que envolva letras, tais como: log , lim , etc. Podem entretanto ser utilizados os símbolos de fatorial e raiz quadrada.

Afirmam os pacientes calculistas que é possível escrever, com quatro quatros, todos os números naturais de 0 a 100.

Vi o desafio aqui.

Na tabela a seguir escrevi, obedecendo as regras estabelecidas, os números naturais de 0 a 25. Foi utilizado o fatorial de 4 em algumas das expressões, cuja notação é 4! e cujo valor é igual a 4 x 3 x 2 x 1 = 24.

Não sei se os pacientes calculistas estão com razão, mas se você quiser tentar escrever um ou mais número acima de 25 faça-o nos comentários e quem sabe possamos confirmar o que dizem os calculistas.

Número	Expressão
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
19
20
21
22
23
24
25

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A atualização ocorreu basicamente em função do redesenho da Widgets API dessa versão do WP.

Para versões anteriores do WP deve-se seguir as orientações descritas neste post para que o plugin funcione.

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Se você somar 1 ao produto de quatro números inteiros consecutivos, o resultado sempre será um quadrado perfeito.

Em outros termos, o que devemos demonstrar é:

Dado um número x inteiro qualquer o resultado da operação R = x(x + 1)(x + 2)(x + 3) + 1 será sempre um quadrado perfeito, isto é, um número inteiro elevado ao quadrado.

Então, vamos começar, como não poderia deixar de ser, realizando umas “continhas” utilizando-se da propriedade distributiva da multiplicação, para reescrever R:

R = (x² + x)(x + 2)(x + 3) + 1 = (x³ + 2x² + x² + 2x)(x + 3) + 1    =>

R = (x³ + 3x² + 2x)(x + 3) + 1 = x⁴ + 3x³ + 3x³ + 9x² + 2x² + 6x + 1

Agrupando os termos de R, na expressão acima, obtemos:

R = (x⁴ + 6x³ + 9x²) + 2(x² + 3x) + 1

Agora, repare bem, bem mesmo, na primeira expressão entre parêntesis, lembre-se do velho e conhecido Produtos Notáveis e conclua comigo que:

R = (x² + 3x)² + 2(x² + 3x) + 1  [1]

Para facilitar o entendimento final da demonstração, vamos definir y como:

y = (x² + 3x)   [2]

e substituir em [1] para concluir que:

R = y² + 2y + 1 = (y + 1)² [3]

é um quadrado perfeito, onde em [3], mais uma vez, utilizamos a propriedade dos produtos notáveis: Quadrado da soma de dois números. Tem dúvidas, consulte o artigo indicado no link acima sobre o tema.

Para finalizar, vamos a um exemplo: dado x = 4 vem que R = (4×5×6×7) + 1 = 841. Tudo bem, até aí está fácil. Mas como saber se 841 ou um número bem maior é um quadrado perfeito sem muito esforço – extração da raiz quadrada.

Tranquilo. Utilize a expressão [2] para determinar y = (16 + 12) = 28 e substitua em [3] para concluir que R = 29² = 841.

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Mesmo sabedor da existência de muitos outros, o seu desenvolvimento foi realizado com a finalidade básica de aprendizagem para seu autor.

Utiliza em sua constituição:

1. A biblioteca jQuery 1.3.2;
2. o plugin prettyPhoto, a jQuery lightbox clone de Stéphane Caron;
3. o plugin tabs da biblioteca jQuery Tools;
4. a class dUnzip2.php de Alexandre Tedeschi.

Possui arquivos de tradução – po/mo – para o inglês (en). Como leio bem melhor do que escrevo é possível que tenha erros na tradução.

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O conflito ocorreu em função do blog já carregar a biblioteca jQuery, versão 1.3.2, o que também é feito pelo plugin em questão.

Se esse for o seu caso, para evitar a duplicidade de carregamento da biblioteca jQuery, além dos possíveis conflitos, comente as linhas 152 a 155 do arquivo wp-email.php do plugin conforme indicado a seguir:

152   //add_action('wp_head', 'email_javascripts_header');
153   //function email_javascripts_header() {
154   //    wp_print_scripts('jquery');
155   //}

e altere a linha:

175	wp_enqueue_script('wp-email', plugins_url('wp-email/email-js.js'), array('jquery'), '2.50', true);

para:

175	wp_enqueue_script('wp-email', plugins_url('wp-email/email-js.js'), '', '2.50', true);

Fica a dica e o registro do template mapa do site que poderei disponibilizar, apesar da necessidade de ajustes por conter algumas características específicas do tema utilizado no blog, a quem se interessar.

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Como você pode verificar acessando a página indicada no link acima, o Mind Reader, sugerido pelo Thiago, consiste em selecionar um número de dois dígitos em um tabela, subtrair do número selecionado a soma dos dois dígitos que o compõe, localizar na mesma tabela o símbolo correspondente ao resultado assim obtido, clicar em uma bola de cristal e bingo, surge como um passe de mágica o símbolo “pensado”.

À primeira vista parece algo sobrenatural, demoníaco, mágico! Exageros a parte, na verdade, trata-se de algo bastante simples como você verá a seguir.

Inicialmente, vamos abordar de forma genérica a operação aritmética utilizada no Mind Reader, ou seja, dado um número de dois dígitos – representaremos por [xy] -, x diferente de zero, subtraia desse número o resultado da soma x + y:

MR = [xy] – (x + y)

Já sabemos de tempos idos que todo número de dois dígitos pode ser escrito na forma:

[xy] = 10x + y

Substituindo o valor de [xy] na expressão anterior:

MR = 10x + y – (x + y) = 10x + y – x – y = 9x

obtemos que o resultado da operação aritmética utilizada pelo Mind Reader é sempre um múltiplo de 9.

Logo os valores possíveis para o resultado da operação são 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72 ou 81 para x = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 respectivamente. Em outras palavras, ao selecionarmos um número entre 10 e 19, em que x = 1, teremos como resultado 9, entre 20 e 29, em que x = 2, teremos como resultado 18, e, assim sucessivamente até x = 9, para os números entre 90 e 99, em que teremos como resultado 81.

Agora, para finalizar, observe que a cada vez que a tabela é exibida na página indicada inicialmente, àqueles valores (9, 18, …) corresponde sempre o mesmo símbolo.

E, portanto, o Mind Reader acerta sempre e o mistério está desvendado por Mister N!

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Para não haver dúvidas quanto à questão colocada, vamos a um exemplo prático:

Seja 564 o número escolhido. Repetindo o número na frente do número dado obtemos o número 564564.

Dividindo esse número por 13:

564564/13 = 43428

Dividindo o resultado da divisão anterior por 11:

43428/11 = 3948

E, finalmente, dividindo esse resultado por 7, obtemos o número inicialmente escolhido:

3948/7 = 564

Faça outros exemplos e você verá que o resultado será, de fato, sempre o número escolhido inicialmente. Por que? Alguém se candidata a explicar aí nos comentários?

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