Nos cálculos algébricos são frequentes a presença de alguns produtos (multiplicações) que, por conta desse fato, obtiveram destaque especial e receberam o nome de Produtos Notáveis.
Como se vê não há nada de excepcional. Decorrem, como o próprio expressa, de uma operação aritmética, a multiplicação, com a qual todos se deparam no início de sua formação.
Envolve, também, como veremos, a definição de Potenciação com expoente inteiro e que já foi abordada aqui no Blog Viche. E, também, nestas condições, nada mais é do que uma multiplicação.
Assim, é natural lembrá-los das propriedades da multiplicação que serão utilizadas (ou não) nas demonstrações dos Produtos Notáveis mais comuns apresentados abaixo.
Propriedades da Multiplicação em R
- Comutativa – A ordem dos fatores não altera o resultado final da operação ou produto: a.b = b.a, para todo a e b reais;
- Associativa – O agrupamento de fatores não altera o resultado: a.(b.c) = (a.b).c, para qualquer a, b e c reais;
- Distributiva – O produto de um número por uma soma ou diferença de dois outros números é igual a soma ou diferença entre o produto desse número por cada uma das parcelas: a.(b + c) = a.b + a.c ou a.(b – c) = a.b – ac;
- Elemento Neutro – O número (fator) 1 é o elemento neutro da multiplicação: 1.x = x, para qualquer x real;
- Elemento Opositor – O número -1 transforma o produto em seu oposto: -1.x = -x, para qualquer x real diferente de zero;
- Fechamento – O produto de dois números reais é, sempre, um número real;
- Anulação – O número 0 anula o produto: 0.x = 0, para qualquer x real.
Produtos Notáveis Mais Comuns
PN1. Quadrado da soma de dois números reais a e b quaisquer – a mais b ao quadrado é igual ao quadrado do primeiro mais duas vezes o primeiro vezes o segundo, mais o quadrado do segundo:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Demonstração:
Pela definição de potenciação temos que:
(a + b)2 = (a + b)(a + b)
Utilizando-se da propriedade distributiva da multiplicação:
(a + b)2 = a(a + b) + b(a + b) = a2 + ab + ba + b2
E, finalmente pela propriedade comutativa vem:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
PN2. Quadrado da diferença de dois números reais a e b quaisquer – a menos b ao quadrado é igual ao quadrado do primeiro menos duas vezes o primeiro vezes o segundo, mais o quadrado do segundo:
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
PN3. O Produto da soma pela diferença de dois números reais a e b quaisquer é igual ao quadrado do primeiro termo (a) menos o quadrado do segundo (b):
(a + b)(a – b) = a2 – b2
Demonstração:
Novamente é decorrência das propriedades distributiva e comutativa da multiplicação:
(a + b)(a – b) = a(a – b) + b(a – b) = a2 – ab + ba – b2 = a2 – b2
PN4. Cubo da soma de dois números reais a e b quaisquer – a mais b ao cubo é igual ao cubo do primeiro mais três vezes o quadrado do primeiro vezes o segundo, mais três vezes o primeiro vezes o quadrado do segundo, mais o cubo do segundo:
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Demonstração:
Da definição de potenciação:
(a + b)3 = (a + b)(a + b)2
Pela propriedade PN1:
(a + b)3 = (a + b)(a2 + 2ab + b2)
Da propriedade distributiva da multiplicação vem:
(a + b)3 = a(a2 + 2ab + b2) + b(a2 + 2ab + b2)
=> (a + b)3 = a3 + 2a2b + ab2 + ba2 + 2ab2 + b3
Somando os termos comuns com o uso da propriedade comutativa:
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
PN5. Cubo da diferença de dois números reais a e b quaisquer – a menos b ao cubo é igual ao cubo do primeiro menos três vezes o quadrado do primeiro vezes o segundo, mais três vezes o primeiro vezes o quadrado do segundo, menos o cubo do segundo:
(a + b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3
PN6. Produto de Stevin:
(x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab
PN7. Produtos de Warring:
[1] a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2)
[2] a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2)
Demonstração de [1]:
Da propriedade PN4 temos que:
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Por outro lado:
(a + b)3 = (a + b)(a + b)2 = (a + b)(a2 + 2ab + b2)
Substituindo na igualdade anterior vem:
a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)(a2 + 2ab + b2)
Ajustando a igualdade e colocando os termos comuns em evidência:
a3 + b3 = (a + b)(a2 + 2ab + b2) – 3a2b – 3ab2
=> a3 + b3 = (a + b)(a2 + 2ab + b2) – 3ab(a + b)
=> a3 + b3 = (a + b)(a2 + 2ab + b2 – 3ab) = (a + b)(a2 – ab + b2)
set 28, 2008 @ 16:00:51
(5x+b).(5xy-3x)= ?
set 24, 2008 @ 18:39:26
meuuuuuuuuuuuuuuuu!
prescisa de mais assuntos de produtos notáveis!!!!!!
mas algumas características (exemplos) são bons,mas podem melhorar !!!!!
dica de um internauta fã de matemática
obs:[obrigada pela compreensão],.
set 22, 2008 @ 00:07:03
muito bom mais incompleto. precisa ter mais exemplos objetivos. com situaçoes reais.
set 20, 2008 @ 17:51:49
Eu vi em um lugar q inves de fazer essa formula toda do prod notavel era + simples faze
a ao quadrado + 2 ab + b ao quadrado!!!
isso funcionou com algumas q tentei + num sei se é 100% confiavel!!!
set 18, 2008 @ 18:49:19
Adorei fazer essa pedquisa pois pretento fazer mais e mis vezes
ago 29, 2008 @ 17:31:27
Odeio essa matéria
ago 26, 2008 @ 17:55:19
ola qr saber como fazer esse exercicio
sendo f(x)=3*x^2 calcule f(x+h)-f(x)
ago 24, 2008 @ 00:15:38
nao consigo fazer um trabalho sobre numeros notaveis ^^alguem me ajuda …
ago 18, 2008 @ 16:47:58
como resolvo as propriedades comutativa, elemento neutro, distributiva e associativa na matemática para 7ª série??
tenho q fazer um trabalho sobre isso e preciso saber o que é e preciso também dar exemplos, alguém pode me ajudar?
é para amanhã, me ajudem urgente!!!!
obrigado…..
ago 17, 2008 @ 11:33:19
simplifiqui as operacões ?
a)(x+y)-(x2+y2)2
ago 16, 2008 @ 21:44:01
NAo entendi muito bem
Ajustando a igualdade e colocando os termos comuns em evidência:
a3 + b3 = (a + b)(a2 + 2ab + b2) – 3a2b – 3ab2
=> a3 + b3 = (a + b)(a2 + 2ab + b2) – 3ab(a + b)
=> a3 + b3 = (a + b)(a2 + 2ab + b2 – 3ab) = (a + b)(a2 – ab + b2)
Como que ( na segunda linha do problema) o : -3ab(a+b) passa para o subtraindo (a2 + 2ab + b2 – 3ab) se ele está multiplicando (a+b) .O que ocorre com (a+b)?
Por favor me ajude entender!
ago 14, 2008 @ 10:44:57
Gostei… mas gostaria de saber como se resolve este (1+x) elevado a y. tenho procurado saber mas ainda não tive exito. tem como me ajudar ? obrigado.
jul 01, 2008 @ 22:36:38
Muito bom esse blog, mais faltou uma coisaque todo mundo te, duvida >>>>>>>>
(x + 1)² + (x – 1)² + 2.(x + 1).(x-1)<<<<<<<<<<
Isso ai todos que conheço tem duvidas inclusive eu.
Pois matematica em termos é um bicho de 7 cabeças
jun 12, 2008 @ 21:48:17
Nuoossa MuitO legal Seu Blog ^^ Preodutos notáveis eh massa *-* ate xegar equação de 2° grau ¬¬ !!
Maix vlw ae Bom blog ^^
jun 11, 2008 @ 21:37:17
BOM diiimassssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssss!
maio 13, 2008 @ 18:49:15
gostei muito de saber algumas coisas a mais aqui assim da p ver que internet tambem serve p estudar e acabei aprendendo mais um pouco disso estou no 8 ANO BEJU A TODOS XAU.
maio 05, 2008 @ 18:54:54
Olá amigos matemáticos, por favor alguém sabe se existe uma demostração da propriedade do elemento absorvente da multiplicação. ou seja porque x.0=0 para todo x real
maio 04, 2008 @ 22:00:28
OTIMO ADOREI
abr 10, 2008 @ 11:47:56
valeu!!vocês são demais!!!bjs
abr 09, 2008 @ 15:16:45
Adorei me ajudou muito mesmo tava precisando disso pra relembrar matéria antiga que vou estudar novamente.
Muito bem explicado e criativo, seu blogo é muito bom
parabéns!
abr 01, 2008 @ 16:32:53
Ajuda bastante estou eswtudando produtos notaveis e estou apredendo tudinho de vez em quando eu me complico com algumas coisas mais queria saber mais sobre produtos notaveis ;]
*:
abr 01, 2008 @ 16:26:50
Eu gostei muito do site muito interessante,aprendi varias coisas . ;]
mar 31, 2008 @ 16:12:10
Vicor olha Nu caso eu armei fazendo a distributiva
(x+2) (x-1)=x ao quadrado -x +2x -2
Tomara qui eut enha lhi ajudado apesar ti ter encontrado resultados diferentesOlha sou 7 serie
mar 31, 2008 @ 16:04:27
Ola Td bem Sou Jovem de 13 anos curso a 7 serie
Gostaria De saber A formula direta dos produtos notaveis
fev 14, 2008 @ 11:12:09
eu amo matematica……..
nunca gostei tanto de uma materia…….
matematica no ensino medio é show…….
beijin da nathy……..
e estude muitoooooooooooo……………
out 08, 2007 @ 09:15:15
pow demais esse site perfeito euto estudando produto notavel agora da hora
out 06, 2007 @ 17:39:23
DESCULPE A GROSSERIA.
out 06, 2007 @ 17:37:00
sera q da para vcs botarem uma coisa mais definida?????????????? sabe por que???? porque SOU DA QUINTA SERIE!!!
set 20, 2007 @ 16:00:09
mtu bom,de grande auxilio para mim!!!!!
ago 31, 2007 @ 13:07:07
Chefe,
Ve essa ai pra mim. Estou quebrando a cabeca nas propriedades:
Se V(3-2x) = V(2x) + 1 entao 4x^2=
(a) 1
(b) 4
(c) 2-2x
(d) 4x-2
(e) 6x-1
Onde “V” eh raiz quadrada do numero entre parenteses e “^2” eh elevado ao quadrado.
Valeu..
ago 29, 2007 @ 17:05:22
LEGAL AJUDA PRA CARAMBA, DA PRA RECORDAR MUITA COISA
jul 31, 2007 @ 20:57:06
Olá, preciso urgentemente encontrar uma aplicação para o quadrado da soma de dois numeros. Uma maneira de passar para o cotidiano dos alunos. Help-me please! Obrigado.
jul 10, 2007 @ 10:24:56
show
mais… e com frações ?
valewww
jul 09, 2007 @ 17:43:10
Moss…
muito mass isso bem explicativo.
gostaria de saber como se resolve:
(x² +1)². (x-1²)²
queria saber mais sobre isso..
jul 02, 2007 @ 14:44:49
deixe mais contas pra resolver!
jun 27, 2007 @ 08:49:52
oi
jun 20, 2007 @ 11:21:09
gostaria de obter as apostilas de marcio babosa
sig
jun 14, 2007 @ 21:16:04
gostaria que registrasem os objetivos gerais e especificos dos produtos notaveis
atenciosamente
cida
jun 11, 2007 @ 11:34:39
Bom dia tudo, bem!!!
Eu tenho uma dúvida sobre a fórmula de uma taxa de retorno da seguinte forma:
EU SEI A RESPOSTA POIS FIZ NA CALCULADORA HP-12C E ESTÁ CORRETA: 31,29%. PORÉM NÃO ESTOU SABENDO CHEGAR DE FORMA MANUAL QUERDO DESCOBRIR O R. E O R=31,29%. É ASSIM:
A pessoa investe 100 e tem ganhos de 70 – 50 e 40 – ou seja é um fluxo de caixa nessa sequência:
O desenvolvimento da fórmula é assim:
100/1=70/(1+r)^1+50/(1+r)^2+40/(1+r)^3
ou seja:
70/(1+r)^1+50/(1+r)^2+40/(1+r)^3-100/1=0
essa é a fórmula, se tivesse apenas três numeros eu conseguiria ou seja: (1+i)^2, porém não é.
VOCÊ POR FAVOR PODERIA ME AJUDAR???? POR FAVOR VÊ O QUE O SENHOR PODE FAZER, PELO MENOS UMA DICA.
Atenciosamente
e-mail: weliton@nanet.com.br ou weliton767@hotmail.com
Weliton dos Reis
maio 22, 2007 @ 10:11:29
alguem ou mesmo o proprio autor poderia fazer-me o favor de
indicar o endereço de uma livraria onde pudesse adquirir o li-
vro do Prof.Marcio Barbosa intitulado MANUAL DE CALCULOS
NOTAVEIS.Quando estive em Recife-PE telefonei para o numero
indicado por este professor,que se apresentava em um programa de televisão,porém fui informado que o mesmo tinha trocado de
numero.Quem souber, responda para o meu e-mail.
Obrigado.Prof.Kaioby
maio 15, 2007 @ 09:31:43
nossaaaaa…..
isso e muito massa cara …
continue assim…
mar 25, 2007 @ 11:20:16
quem conseguir resolver esta conta por favor me enviem.
mostre que:
A^n – B^n/A-B = A^n-1 + A^n-2 . B + A^n-3 . B^2 + … + B^n-1
mar 13, 2007 @ 22:31:51
Seu blog é sensacional!
Pode me dizer como meu professor achou o produto notavel de:
2
X + X – 2 ele achou ( X + 2 ) ( X – 1 )
Eu queria saber como detalhadamente.
Agradeço desde já;
mar 13, 2007 @ 22:24:10
PArabéns pelo blog é sensacional. Não sou bom em matemática, porém tenho me esforçado o bastante.Na ultima aula q tive o professor usou produto notaveis p/ a seguinte questão:
2
X +X-2 e achou (x+2)(x+1)
Poderia me dizer como ele fez para achar esse valor?
Ele falou q usou produto notáveis, mas fiquei com duvidas
fev 27, 2007 @ 11:10:58
A Matemática é simplesmente uma ciência fantástica tanto que esta muito presente no nosso dia a dia . Quem não precisa da matemática ?
fev 17, 2007 @ 20:42:30
o site me ajudou muito .tirou muitas duvidas muito obrigado
Viche » Conjuntos Numéricos
fev 02, 2007 @ 23:11:04
[…] Valem as propriedades associativa, comutativa e elemento neutro (0 para a adição e 1 para a multiplicação) para as duas operações e a distributiva para a multiplicação em N. Veja o artigo Produto Notáveis para maiores detalhes sobre essas propriedades, no caso da multiplicação, onde o conjunto universo considerado é o dos números reais, que abordaremos mais abaixo, e que são válidas para N; […]
out 20, 2006 @ 09:46:52
tipow, tudo bem?
sou de patos paraIBA, ADOREI MUITO o site, ate pq ajuda muito nao só as pessoa, mais tambem os alunos que gostam de estudar.
braço!!!!!111
set 29, 2006 @ 08:05:25
Cara, cheguei no seu blog através do blog do Maujor.
Simplesmente adorei! Tema matemática para mim é muito legal. Só que na época da escola não fui um aluno muito estudioso, sempre mediano. Mas gosto muito de matemática.
Considere-me um visitante diário de seu blog. Abraços.
set 25, 2006 @ 09:18:51
Bom dia amigo, Show de bola eim…
A Matemática é fantastica.