Em sequência ao artigo Conjuntos: Noções Básicas – Parte I vamos agora abordar as principais operações com conjuntos.
Reunião ou União
Consideremos os dois conjuntos:
A = {b, l, o, g, i, e} e B = {b, v, i, l, c, h, e}
Podemos pensar num novo conjunto C, constituído por aqueles elementos que pertencem a A ou que pertencem a B. No exemplo em questão esse novo conjunto é:
C = {b, l, o, g, v, i, c, h, e}
Repare que o conjunto C foi formado a partir dos conjuntos A e B, onde os elementos repetidos (os que estão em A e em B) foram escritos apenas uma vez, e dizemos que se trata da reunião (ou união) do conjunto A com o conjunto B. A reunião (ou união) de A e de B (ou de A com B) é usualmente representada por A U B. Com esta notação tem-se:
A U B = {b, l, o, g, v, i, c, h, e}
Esse exemplo sugere-nos a seguinte definição geral para a reunião de conjuntos.
Definição 1. Dados dois conjuntos quaisquer A e B, chama-se união ou reunião de A e B o conjunto formado pelos elementos que pertencem a pelo menos um desses conjuntos (podendo, evidentemente, pertencer aos dois), isto é, o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A ou a B. Em símbolos:
Exemplos:
- {1; 2} U {3; 4} = {1; 2; 3; 4}
- {n, e, w, t, o, n} U {h, o, r, t, a} = {a, e, h, n, o, r, t, w}
A definição 1 nos diz que um elemento x pertencer a A U B é equivalente a dizer que uma das proposições “x pertence A” ou “x pertence a B” é verdadeira. Desse fato decorre que:
Propriedades da União
Sejam A, B e C três conjuntos quaisquer. Então são verdadeiras as seguintes propriedades:
- Idempotência: A U A = A -> A união de um conjunto qualquer A com ele mesmo é igual a A;
- Comutativa: A U B = B U A;
- Elemento Neutro: Ø U A = A U Ø = A -> O conjunto Ø é o elemento neutro da união de conjuntos;
- Associativa: (A U B) U C = A U (B U C).
Demonstração da propriedade comutativa:
Da definição da união de conjuntos temos:
Como A U B é o conjunto dos elementos de U (universo) que, ou pertencem a A, ou pertencem a B e B U A é o conjunto dos elementos de U que, ou pertencem a B, ou pertencem a A, e as proposições p v q (p ou q) e q v p (q ou p) têm o mesmo valor lógico, concluí-se que a propriedade é verdadeira.
Intersecção
Seja A o conjunto dos eleitores que votaram em Lula para Presidente e B o conjunto dos eleitores que votaram em Arlete para Governadora do DF, no primeiro turno das eleições de 2006. É certo supor que houve eleitores que votaram simultaneamente nos dois candidatos no primeiro turno. Assim somos levados a definir um novo conjunto, cujos elementos são aqueles que pertencem ao conjunto A e ao conjunto B. Esse novo conjunto nos leva à seguinte definição geral.
Definição 2. Sejam A e B dois conjuntos quaisquer. Chamaremos intersecção de A e de B (ou de A com B) a um novo conjunto, assim definido:
Exemplos:
Da definição de intersecção resulta que:
Os fatos acima nos diz que A intersecção B é um subconjunto de A e de B, ou seja:
Propriedades da Intersecção
Sejam A, B e C três conjuntos quaisquer. Então são verdadeiras as seguintes propriedades:
1. Idempotência:
2. Comutativa:
3. Elemento Neutro – O conjunto universo U é o elemento neutro da intersecção de conjuntos:
4. Associativa:
Demonstração da propriedade associativa:
O conjunto do primeiro membro da igualdade é constituído pelos elementos x pertencentes a U tais que (por definição):
onde na segunda passagem foi utilizada, novamente, a definição de intersecção entre os conjuntos B e C. Tendo em vista que a proposição p ^ (q ^ r) tem o mesmo valor lógico da proposição (p ^ q) ^ r vem que esse conjunto é constituído por elementos de U tais que:
Assim, fica demonstrado que o primeiro conjunto da igualdade está contido no segundo. Para concluir a demonstração, isto é, provar que o segundo conjunto está contido no primeiro, é só seguir o caminho inverso
Quando dois conjuntos quaisquer A e B não têm elemento comum, dizemos que A e B são conjuntos disjuntos. Em outras palavras, dois conjuntos são disjuntos quando a intersecção entre eles é igual ao conjunto vazio.
Propriedades da União e Intersecção
Sejam A, B e C três conjuntos quaisquer, então valem as seguintes propriedades que inter-relacionam a união e intersecção de conjuntos:
Note que a propriedade 3 é a distributiva da união em relação à intersecção e a 4 a distributiva da intersecção em relação à união.
Diferença
Seja A o conjunto dos eleitores que votaram em Lula para Presidente e B o conjunto dos eleitores que votaram em Arlete para Governadora do DF, no primeiro turno das eleições de 2006. É certo pensar que teve eleitores que votaram em Lula mas não votaram em Arlete. Isto nos leva ao conjunto dos elementos de A que não são elementos de B.
Definição 3. Sejam A e B dois conjuntos quaisquer. Chamaremos a diferença entre A e B o conjunto dos elementos de A que não pertencem a B.
Exemplos:
- {a, b, c} – {a, c, d, e, f} = {b}
- {a, b} – {e, f, g, h, i} = {a, b}
- {a, b} – {a, b, c, d, e} = Ø
Antes de prosseguirmos apresento, a título de ilustração, um diagrama de Euler-Venn com os conceitos até aqui tratados, onde a diferença corresponde à parte branca de A, a intersecção à parte cinza claro e a união à essas duas partes mais a cinza escuro.
Note que as propriedades 1. e 2. acima podem ser facilmente visualizadas nesse diagrama.
Complementar de B em A
Definição 4. Dados os conjuntos A e B quaisquer, com B contido em A, chama-se complementar de B em relação a A o conjunto A – B, e indicamos como:
Exemplos:
- A = {a, b, c, d, e, f} e B = {a, b} => complementar: A – B = {c, d, e, f}
- A = B = {1} => complementar: A – B = Ø
Observe que nos exemplos acima a condição para que o complementar de B em relação a A esteja definido é cumprida (B contido em A).
Propriedades da Complementação
Sendo B e C subconjuntos de A, valem as propriedades a seguir:
Vamos demonstrar apenas a primeira parte da propriedade 1. As demais deixo como exercício, me colocando à disposição para sanar eventuais dúvidas.
Da definição de intersecção de conjuntos e do complementar temos que:
Referências
- Fundamentos de Matemática Elementar, Gelson Iezzi, Osvaldo Dolce & Carlos Murakami, São Paulo, Atual Editora Ltda, edição 1977;
- Matemática para o Ensino Médio: Volume Único, Manoel Jairo Bezerra, São Paulo, Editora Scipione, 2001.
abr 10, 2009 @ 15:16:38
Achei seu site hoje no Google, e gostei mto! J assinei seu RSS Feed! Continue com esse timo trabalho!
abr 05, 2009 @ 22:10:50
por favor gostaria q me dessem uma luz!!!!
o problema é esse problema….
“Ao término de uma excursão às cidade A,B e C, o guia distribuiu um questionário aos turistas, e concluiu que:
a) 72 pessoas gostaram da cidade A
b) 54 pessoas gostaram da cidade B
c) 45 gostaram da cidade C
d)38 gostaram da cidade A e B
e)32 gostaram das cidades A e C
f)25 gostaram das cidades B e C
g)22 gostaram das cidades A,B e C
O numero de turistas que gostaram apenas de uma cidade é? e pq?
mar 27, 2009 @ 11:40:37
gostaria q resolvesse este problema:
um clube oferecea seus associados aulas de tres modalidades de esporte:nataçao ,tenis,futebol.Nenhum associado pode se escrever simultaneamente emtenis e futebol,pois por problemas administrativo,as aulas destes dois esporte serão dadas no mesmo horario.Encerando as escriçoes .verificou-se que:dos 85 inscritos em natação ,50 só faão natação;o total de inscritos para as aulas de tenis foi de 17 e, para futebol,de 38;o numero de inscritos só para as aulas de futebol exede em 10 o numero de inscrito só para as de tenis .qtos associados se inscreveram simultaneamente para aulas de futebol e natação?resolução por favor, abrigado
mar 19, 2009 @ 18:22:50
mmmmmmuito obrigado, sua explicacao e otima aproveitei tudo!!!!
mar 17, 2009 @ 16:32:38
ajudou muito, eu ñ estava entendendo nada, até ver o site
vlw……….
mar 13, 2009 @ 10:41:12
muito legaL!!!!
;p
ajudo muito
by: henrique_ChAoS
fev 27, 2009 @ 15:37:02
adorei o site eu entrei para estudar
jan 23, 2009 @ 22:15:54
Ola, gostei muito do site… me ajudou muito…
Mais gostaria de solicitar se fosse possível mais questões como as que ja existem com respostas explicativas, pois nos ajuda muito…
jul 22, 2008 @ 11:02:49
Gostei do artigo mas penso que é importante mostrar a aplicabilidade da teoria de conjuntos na resolução de problemas práticos do quotidiano. Aliás é preciso mostrar que a matemática serve para isso.
maio 26, 2008 @ 12:24:27
gostaria de aprender mais sobre operacoes com tres conjunto
maio 24, 2008 @ 14:44:57
Olá gostei muito da matéria. Mas, se será que daria para colocar os diagramas de Venn? Porque assim dá pra aprender melho.Beijos, e obrigada
maio 05, 2008 @ 18:50:35
Muito pouco conteudo faltou maiis conteudo
huahauhuhuah♥
abr 16, 2008 @ 12:14:29
Fostei muito do site só que seria mais completo se fosse colocado exercícios com suas respectivas soluções.
abr 12, 2008 @ 23:12:56
Vou fazer o concurso Servidor Fazendário e gostaria de receber as mesmas coisas que os usuários acima solicitou.
Conjuntos, operações simples com conjuntos.
Números naturais, operações, múltiplos e divisores. Números primos, fatoração.
Frações, operações com frações. Números mistos.
Números decimais, operações.
Medidas: comprimento, superfície, massa, capacidade. Sistema monetário brasileiro.
Geometria: ângulos, triângulos, polígonos. Sólidos simples
obrigado.
abr 09, 2008 @ 17:30:17
gostaria que mandasse as mesmas coisas que a usuária acima solicitou.
Conjuntos, operações simples com conjuntos.
Números naturais, operações, múltiplos e divisores. Números primos, fatoração.
Frações, operações com frações. Números mistos.
Números decimais, operações.
Medidas: comprimento, superfície, massa, capacidade. Sistema monetário brasileiro.
Geometria: ângulos, triângulos, polígonos. Sólidos simples.
obrigado
abr 09, 2008 @ 17:15:20
ótimo site, está me ajudando muito para um concurso público
abr 05, 2008 @ 18:55:31
ola!!! a explicação de vcs esta mto boa mas eu gostaria de saber como fazer as propriedades distributivas num diagrama.
por favor, me ajundem!!!!!!
abr 03, 2008 @ 14:39:41
se n(A)=30,n(B)=4 e n(AuB) calcule (A^B)
abr 03, 2008 @ 14:37:26
amigo como eu encontro esse resultado ” dado o conjunto A{A,3,0} determine o numero de elementos P(A)
abr 01, 2008 @ 23:07:08
Gostaria de receber problemas sobre conjuntos,com resolução. Obrigada
mar 31, 2008 @ 10:54:02
muito legal a maneira como o assuto é passado .seria melhor se colocassem exercicios comentados para a gente fazer e analisar as respostas. um beijo .
mar 30, 2008 @ 23:18:30
SUENI
servidor fazendário??
gostaria que mandasse as mesmas coisas que a usuária acima solicitou.
Conjuntos, operações simples com conjuntos.
Números naturais, operações, múltiplos e divisores. Números primos, fatoração.
Frações, operações com frações. Números mistos.
Números decimais, operações.
Medidas: comprimento, superfície, massa, capacidade. Sistema monetário brasileiro.
Geometria: ângulos, triângulos, polígonos. Sólidos simples.
obrigado
mar 26, 2008 @ 12:27:05
Conjuntos, operações simples com conjuntos.
Números naturais, operações, múltiplos e divisores. Números primos, fatoração.
Frações, operações com frações. Números mistos.
Números decimais, operações.
Medidas: comprimento, superfície, massa, capacidade. Sistema monetário brasileiro.
Geometria: ângulos, triângulos, polígonos. Sólidos simples.
gostaria que mandasse exercicios com respostas dessas matérias. obrigada
mar 23, 2008 @ 17:54:54
gostaria q me mandasse exercicios de matematica de ensino fundamental com respostas.
mar 20, 2008 @ 00:33:39
desculpem, mas não consigo chegar na resposta do livro
a) – 36
b) – 59
c) – 20
obrigada
mar 12, 2008 @ 02:48:30
conjuntos numericos e dizima periodicaa tbmm
obrigadaa
mar 12, 2008 @ 02:47:07
Oiiii..vc poderia me mandar alguns exercicios de conjuntoo complementar?
estou com umas duvidas =/
agradeço.
bjusss
mar 11, 2008 @ 17:24:32
Vou fazer a prova do concurso Inss e gostaria de receber alguns problemas de operações com conjunto,cálculos com porcentagem,regra de três e juros simples e composto.Não precisa ser muita coisa,pois é só para rememorar, afinal já fazem uns bons 20 anos que não mexo com isso.
Desde já, agradeço,
Elisabete
mar 05, 2008 @ 20:05:02
eu queria que vc mandasse problemas de matematica com conjuntos
mar 05, 2008 @ 11:04:06
gostaria que me indicassem sites com exercicios de conjuntos com questoes bem complexas e que ja estejam resolvidos. pode enviar para o meu e-mail . Agradeçida
fev 21, 2008 @ 16:21:48
umm
estou precisando das demontraçao das leis de morgan propriedade 4,5de compementar
fev 20, 2008 @ 16:44:23
Eu achei muito dificil!!!!É eu tenho prova terça agoraaa!!!!!
ME AJUDEM POR FAVORR
jan 30, 2008 @ 15:11:40
Gostei muito desse conteudo, tudo que vocês tiverem disponiveis sobre conjuntos me enviem por favor.Obrigado.
jan 26, 2008 @ 11:07:06
Olá por favor mim ajuda a resolver esta questão:
Num grupo de 99 esportistas, 40 jogam vôlei, 20 jogam vôlei e xadrez, 22 jogam xadrez e tênis, 18 jogam v^lei e tênis e 11 jogam as três modalidades. O número de pessoas que jogam xadrez é igual ao numero de pessoas que jogam tênis.
a) quantos jogam tênis e não jogam vôlei?
b) quantos jogam xadrez ou tênis e não jogam vôlei?
c) quantos jogam vôlei e não jogam xadrez?
Reposta do livro:
a) 36
b) 59
c) 20
Por favor se alguem ppoder mim ajudar fico agradecida.
jan 26, 2008 @ 10:59:13
Olá, por favor se alguém poder mim ajudar, explique como fazer este exercicio, a muitos dias que quebro a cabeça.
Num grupo de 99 esportitstas, 40 jogam vôlei, 20 jogam vôlei e xadrez, 22 jogam xadrez e tênis, 18 jogam vôlei e tênis, 11 jogam as três modalidades. O número doas pessoa que jogam xadrez é igual ao numero de pessoas que jogam tênis.
a) quantos esportistas jogam tênis e não jogam volei?
b) quantos jogam xadrez ou tênis e não jogam vôlei?
c) quantos jogam vôlei e não jogam xadrez?
Resposta do livro:
a) 36
b) 59
c)20
Desde já obrigada
jan 10, 2008 @ 10:39:41
Achei ótimo esses resumos de matemática, pois estou estudando pra concurso e isso tem me ajudado bastante.
nov 18, 2007 @ 15:47:38
o que é produto notável?
jul 17, 2007 @ 16:03:21
Desculpe perguntar isso que nao tem a ver com a materia mas, eu queria saber como resolver isto:
A dá a B tantos reais quantos B possui e A da a C tantos reais quantos C possui.Depois B da a A e a C tantos reais quantos cada um possui e C finalmente faz a mesma coisa.Se no final,terminam todos com 16 reais e sabendo que C começou com 50% de B mais um real, então A começou com?
Por favor responda a minha pergunta!
Obrigado
jul 11, 2007 @ 11:26:58
Gostaria que resolvesse este problema:
Em uma escola que tem 415 alunos, 221 estudam inglês, 163 estudam francês, e 52 estudam ambas as línguas. Quantos alunos estudam inglês ou francês? Quantos alunos não estudam nenhuma das duas?
Resposta com resolução.
Obrigada!
jun 21, 2007 @ 19:41:21
poxa legal esse site me ajudou mto…amei mesmu*=]~
esse site me ensinou mto tbm adorei continue melhorando pra que eu possa senpre aprender! =]*
jun 13, 2007 @ 10:29:01
gostei muito so site, mas gostaria que enviassem probelmas com operações entre conjuntos resolvidos para meu e-mail (se possivel ) Obrigada
maio 09, 2007 @ 19:12:48
gostei muito do site pena que nao e muito conhecido
abr 18, 2007 @ 12:56:51
olá , site maneiro , mas eu gostaria q vc mandasse se for possivel para o meu Email 2 problemas envolvendo operações com conujuntos
desde já agradeço!!!
abr 12, 2007 @ 19:23:47
o sit é bem interessante essa parte de demonstrações na vida de um matemático desesperado para resolver algumas questoes de Algebra pura tem me ajudado bastante.
abr 08, 2007 @ 19:22:50
Qual e o diagrama dessa representação desse conjuntos associativa: ( AUC) U B
mar 14, 2007 @ 17:15:16
Nossa, estou atorando as matérias desse site…ele ensina não como aqueles professores burro de ensino medio… ensina o porque e isso nós faz gostar de matématica… valew pelo site… continue melhorando cada vez mais que vcs vão longe…
fev 28, 2007 @ 10:52:53
este site da anglo vestibulares é muito bom, pois ele ensina bemresumido de uma forma que qualquer aluno possa entender.
fev 25, 2007 @ 01:00:24
Oi amigo! eu gostaria de Saber como realizar essa operação na tabela verdade
(A-C)U(B-C) = (AUB)-C , onde A B e C são conjuntos quaisquer
o diagrama foi feito.. falta fazer relação em tabela da verdade
o meu problema é saber o seguinte: A-C, A-B é igual a que expressão do tipo AinterB ou AUB? .. pq sendo assim.. inter é “e” ^ e U é “ou” v
qlqr informação eu agradeço!!
abraço
nov 25, 2006 @ 21:53:53
que site legal!
Muito bom para que gosta de matemática e estuda como eu, hehe! Abraço amigo. tanho alguns teoremas loucos para nível superior, se lhe interessar! Abraço
nov 17, 2006 @ 13:26:00
O comentário não é sobre o artigo não, é só para elogiar o layout… fade in e fade out nos menus ficou legal…esse é meu chefe!