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Conjuntos: Noções Básicas – Parte I

novembro 2nd, 2006

Este artigo e o a ser publicado – Parte II – se propõem a apresentar as principais propriedades da Teoria dos Conjuntos, que tem sua origem nos trabalhos do Matemático russo Georg Ferdinand Ludwig Phillipp Cantor, nascido em S. Petersburgo (1845-1918), e são decorrência de três axiomas ou noções primitivas – noções cuja verdade é de si evidente:

a) Conjuntos

A noção de conjunto em Matemática é praticamente a mesma utilizada na linguagem cotidiana: agrupamento, classe, coleção. Por exemplo:

  • Conjunto das letras maiúsculas do alfabeto;
  • Conjunto dos números inteiros pares;
  • Conjunto dos dias da semana;
  • Conjunto dos Presidentes da República do Brasil.

b) Elemento

Cada membro ou objeto que entra na formação do conjunto. Assim:

  • V, I, C, H, E são elementos do primeiro conjunto acima;
  • 2, 4, 6 são elementos do segundo;
  • Sábado, Domingo do terceiro; e
  • FHC, Lula do último.

c) Pertinência entre elemento e conjunto

Por exemplo, V é um elemento do conjunto das letras maiúsculas do alfabeto, ou seja, V pertence àquele conjunto. Enquanto que v não pertence.

Como se vê são conceitos intuitivos e que se supõe sejam entendidos (evidentes) por todos.

Notação

Conjunto: Representado, de forma geral, por uma letra maiúscula A, B, C, …

Elemento: Por uma letra minúscula a, b, c, x, y, z, …

Pertinência: Sejam A um conjunto e x um elemento. Se x é um elemento de A (ou x pertence a A) indicamos por:

x pertence ao conjunto A

Caso contrário, ou seja, se x não é um elemento de A (ou x não pertence a A) escrevemos:

x não pertence ao conjunto A

Representações de Conjuntos

a) Extensão ou Enumeração

Quando o conjunto é representado por uma listagem ou enumeração de seus elementos. Devem ser escritos entre chaves e separados por vírgula ou ponto-e-vírgula.

Exemplos:

  • Conjunto dos nomes de meus filhos: {Larissa, Júnior, Thiago, Juliana, Fabiana};
  • Conjunto dos meses com menos de 31 dias: {fevereiro, abril, junho, setembro, novembro};
  • Conjunto dos números pares inteiros maiores do que 8 e menores do que 22: {10; 12; 14; 16; 18; 20}.

Observações:

  1. Na representação por extensão cada elemento deve ser escrito apenas uma vez;
  2. É uma boa prática adotar a separação dos elementos em conjuntos numéricos como sendo o ponto-e-vírgula, para evitar confusões com as casas decimais: {2;3;4} e {2,3;4};
  3. Esta representação pode, também, ser adotada para conjuntos infinitos em que se evidencia a lei de formação de seus elementos e colocando-se reticências no final: {2, 4, 6, 8, 10, …};
  4. Representação semelhante pode ser adotada para conjuntos finitos com um grande número de elementos: {0, 1, 2, 3, …, 100}.

b) Propriedade dos Elementos

Representação em que o conjunto é descrito por uma propriedade característica comum a todos os seus elementos. Simbolicamente:

A = {x | x tem a Propriedade P}

e lê-se: A é o conjunto dos elementos x tal que (|) x tem a propriedade P.

Exemplos:

  • A = {x | x é um time de futebol do Campeonato Brasileiro de 2006};
  • B = {x | x é um número inteiro par e 8 < x < 22}. Último exemplo do item a) acima;
  • C = {x | x é um deputado federal eleito em 2006}.

c) Diagrama de Euler-Venn

Um conjunto pode ser representado por meio de uma linha fechada e não entrelaçada, como mostrado na figura abaixo. Os pontos dentro da linha fechada indicam os elementos do conjunto.

Diagrama de Euler-Venn

Conjunto Unitário e Conjunto Vazio

Embora o conceito intuitivo de conjunto nos remeta à idéia de pluralidade (coleção de objetos), devemos considerar a existência de conjunto com apenas um elemento, chamados de conjuntos unitários, e o conjunto sem qualquer elemento, chamado de conjunto vazio (Ø).

O conjunto vazio é obtido quando descrevemos um conjunto onde a propriedade P é logicamente falsa.

Exemplos de Conjuntos Unitários:

  • Conjunto dos meses do ano com menos de 30 dias: {fevereiro};
  • Conjunto dos números inteiros maiores do que 10 e menores do que 12: {11};
  • Conjunto das vogais da palavra blog: {o}.

Exemplos de Conjuntos Vazios:

  • {x | x > 0 e x < 0} = Ø;
  • Conjunto dos meses com mais de 31 dias;
  • {x | x2 = -1 e x é um número real} = Ø.

Conjunto Universo

É o conjunto ao qual pertencem todos os elementos envolvidos em um determinado assunto ou estudo, e é simbolizado pela letra U.

Assim, se procuramos determinar as soluções reais de uma equação do segundo grau, nosso conjunto Universo U é R (conjunto dos números reais); se estamos interessados em determinar os deputados federais envolvidos com o mensalão, nesse caso o universo U tem como elementos todos os deputados federais da atual legislatura.

Portanto, é essencial, que ao descrever um conjunto através de uma propriedade P, fixemos o conjunto universo em que estamos trabalhando, escrevendo:

Conjunto Universo

Igualdade de Conjuntos

Dois conjuntos A e B são iguais quando todo elemento de A pertence a B e, reciprocamente, todo elemento de B pertence a A:

Igualdade de ConjuntosObservações:

  1. A título de ilustração: O A invertido na expressão acima significa “para todo”;
  2. {a, b, c, d} = {d, b, a, c}. O que demonstra que a noção de ordem não interfere na igualdade de conjuntos;
  3. É evidente que para A ser diferente de B é suficiente que um elemento de A não pertença a B ou vice-versa: A = {a, b, c} é diferente de B = {a, b, c, d}.

Subconjunto

Um conjunto A é um subconjunto de (está contido em) B se, e sómente se, todo elemento x pertencente a A também pertence a B:

Subconjuntoonde a notaçãoA contido em Bsignifica “A é subconjunto de B” ou “A está contido em B” ou “A é parte de B”. A leitura da notação no sentido inverso é feita como “B contém A”. Observe que a abertura do sinal de inclusão fica sempre direcionado para o conjunto “maior”. Na forma de diagrama é representado como:

Diagrama de Euler-Venn - SubconjuntoExemplos:

  • {1; 2; 3} C {1; 2; 3; 4; 5; 6}
  • Ø C {a, b};
  • {a, b} C {a, b};
  • {a, b, c} ¢ {a, c, d, e}, onde ¢ significa “não está contido”, uma vez que o elemento b do primeiro conjunto não pertence ao segundo.

Observe que na definição de igualdade de conjuntos está explícito que todo elemento de A é elemento de B e vice-versa, ou seja, que A está contido em B e B está contido em A. Assim, para provarmos que dois conjuntos são iguais devemos provar que:

Propriedades da Inclusão

Sejam D, E e F três conjuntos quaisquer. Então valem as seguintes propriedades:

  1. Ø C D: O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto;
  2. D C D: Todo conjunto é subconjunto de si próprio (propriedade Reflexiva);
  3. D C E e E C D => D = E: veja acima (propriedade Anti-Simétrica);
  4. D C E e E C F => D C F: Se um conjunto é subconjunto de um outro e este é subconjunto de um terceiro, então o primeiro é subconjunto do terceiro (propriedade Transitiva).

Com exceção da primeira propriedade, a demonstração das demais é bastante intuitiva e imediata. Vamos, portanto, provar a primeira:

Partimos da tese de que se o conjunto vazio não é um subconjunto de D, então é necessário que pelo menos um elemento desse conjunto não esteja contido no conjunto D. Como o conjunto vazio não possui nenhum elemento, a sentença Ø ¢ D é sempre falsa. Logo, o conjunto vazio está contido em D é sempre verdadeira.

Conjunto das Partes

Chama-se Conjunto das Partes de um conjunto E – P(E) – o conjunto formado por todos os subconjuntos de E:

Conjunto das PartesExemplos:

  • Se A = {a, b, c}, então P(A) = {Ø, {a}, {b}, {c}. {a.b}, {a.c}. {b,c}, {a,b,c}}
  • Se B = {a, b}, então P(B) = {Ø, {a}, {b}, {a,b}};
  • Se C = {a}, então P(C) = {Ø, {a}}.

Observações:

  1. Enfatizo, apesar de colocado na própria definição, que os elementos de P(E) são conjuntos;
  2. Assim, deve-se ter atenção quanto ao emprego dos símbolos pertence (não pertence) e contido (não contido);
  3. No primeiro exemplo acima: {a} pertence a P(A) e {{a}} é um subconjunto de P(A);
  4. Se definirmos n(E) como sendo o número de elementos do conjunto E, então n(P(E)) = 2n(E). A propriedade é válida para conjuntos finitos;
  5. Veja nos exemplos: n(A) = 3 e n(P(A)) = 8 = 23, n(B) = 2 e n(P(B)) = 4 = 22 e n(C) = 1 e n(P(C)) = 2 = 21.

A demonstração do item 5. é feita pelo Princípio da Indução Finita e será feita oportunamente.

Por enquanto é só. Aguardem o próximo artigo. Enquanto isto dê a sua opinião nos comentários, ela é muito importante.

Referências

  1. Fundamentos de Matemática Elementar, Gelson Iezzi, Osvaldo Dolce & Carlos Murakami, São Paulo, Atual Editora Ltda, edição 1977;
  2. Matemática para o Ensino Médio: Volume Único, Manoel Jairo Bezerra, São Paulo, Editora Scipione, 2001.

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Categorias: Matemática,Técnico

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93 Comentários Adicione o seu

  • 1. Lucas Alves&hellip  |  novembro 3rd, 2006 at 08:51:56

    Fala Newton, show de bola esse artigo eim.
    Tirei 8,5 na avaliação sobre esse assunto, lembra que lhe pedi um material sobre isso a algum tempo atrás?
    Fui bem pra caramba na prova :)
    No mais tudo certo?

    Abração

  • 2. Newton de Góes Horta&hellip  |  novembro 4th, 2006 at 19:29:07

    Lucas,

    Apesar do mérito ter sido todo seu, fico satisfeito em saber que o material que lhe enviei foi muito bem aproveitado.

    Nas próximas torço para que tire 10 :-) e que seja consequência natural do entendimento da matéria estudada.

    Um grande abraço e qualquer coisa estou por aqui.

  • 3. Fernando Sales&hellip  |  novembro 30th, 2006 at 16:19:58

    Achei maravilhoso esse conteúdo.
    Espero sempre contar com essa ajuda.

  • 4. JOSÉ CARLOS BASTOS DE AZ&hellip  |  janeiro 10th, 2007 at 08:13:30

    ACHEI OTIMO VAI MIM AJUDAR BASTANTE MUITO OBRIGADO

  • 5. Emanoel Mendonça&hellip  |  fevereiro 25th, 2007 at 11:15:03

    muito bom o trabalho sobre conjuntos!!! gostaria tambem de teste sobre tal! obrigado!!!

  • 6. José Antonio Moreira&hellip  |  março 2nd, 2007 at 21:02:42

    Mui dignos organizadores deste.
    Quero comprimentar vocês por terém um site deste quilate, esclarecendo dúvidas e servindo de amparo, para aqueles que precisam destas informações.

  • 7. ELIANA&hellip  |  março 5th, 2007 at 16:45:11

    NA VERDADE É UMA PERGUNTA , ESTOU ME PREPARANDO PARA PRESTAR CONCURSO PÚBLICO NO DIA 15 DE ABRIL.
    COMO JÁ FAZ ALGUM TEMPO QUE TERMINEI MEUS ESTUDOS E NUNCA PARTICIPER ANTE DE UM CONCURSO ESTOU UM POUCO PERDIDA GOSTARIA QUE SE PUDEREM ME AJUDAR COM ALGUMAS DICAS DE MATEMÁTICA

    OBRIGADO AGUARDO RETORNO

  • 8. Tabalipe de Nóbrega&hellip  |  março 6th, 2007 at 13:27:41

    Estou com uma questão interessante, cuja resposta óbvia me parece errada.
    É correta a afirmação que diz A não está contido em P(A)?
    A respeito: A em relação a P(A), é elemento, então não deveria usar a relação de inclusão, afirmação errada. Mas, A e P(A) são conjuntos, então posso relacioná-los usando relações de inclusão, onde a afirmação passa a ser correta. Como saio dessa?

  • 9. Tabalipe de Nóbrega&hellip  |  março 7th, 2007 at 17:43:35

    Olá seu Newton, novamente eu por aqui!
    Ok, A pertence a P(A) Mas A é um conjunto, P(A) é um conjunto, então, apesar de A ser elemento de P(A), eu ainda assim posso relacioná-los através da relação de inclusão? Isso torna verdadeira a afirmação A não está contido em P(A). Essa é a minha questão.
    Posso usar a relação de inclusão, ou por ser A elemento de P(A) nenhuma relação de inclusão pode ser usada para relacionar os conjuntos A e P(A)?
    Peço que dê uma pensada nessa questão, já estive falando com alguns professores e não houve consenso, através de minha lógica, penso ser correto afirmar que A não está contido em P(A), por que de fato não está.
    Abraço!

  • 10. Newton de Góes Horta&hellip  |  março 7th, 2007 at 23:38:06

    Tabalipe,

    A relação entre A e P(A) é de pertinência conforme dito no E-Mail de resposta enviado para você.

    O fato de A e P(A) serem conjuntos, não implica na relação de inclusão entre eles. O que define se um conjunto A está contido em outro B, ou mais claramente, se A é um subconjunto de B, é:

    “A é subconjunto (está contido) em B se, e somente se, todo elemento pertencente a A também pertence a B”

    como dito acima no post.

    Assim, a título de exemplo, se A = {1,2} então:

    P(A) = {{}, {1}, {2}, {1,2}}

    Observe, que acima em negrito, A pertence a P(A). Agora, os elementos de A são os números 1 e 2, que obviamente não pertencem a P(A), pois por definição P(A) é composto de conjuntos. Logo A não é um subconjunto de P(A), ou que A não está contido em P(A).

    Espero ter esclarecido a questão e essa é a lógica :-)

  • 11. António da Veiga&hellip  |  março 13th, 2007 at 10:48:44

    Bem

  • 12. João Vitor&hellip  |  março 16th, 2007 at 10:12:36

    Muito bom mesmo! Obrigado. Eu me confundo um pouco com a relação, poderia dizer que a relação de pertinência pode ser feita entre conjuntos, desde que um dos conjuntos sejam um elemento conjunto? e a relação de continência apenas entre conjuntos?

  • 13. bibiana&hellip  |  março 22nd, 2007 at 19:03:03

    gostaria qui tivesse exercícios de matemática junto a teoria!!!

  • 14. william&hellip  |  março 24th, 2007 at 12:43:07

    4CH31 MU17O 8OM M35MO UM4 071M4 4RGUM3N74C4O, V4L3U :)

  • 15. Franco&hellip  |  março 27th, 2007 at 10:56:13

    Gostei velho! Tá bem detalhado pra se ter as noções preliminares!
    Agindo assim, ajudará muitas pessoas!
    Abraços!

  • 16. diana&hellip  |  março 27th, 2007 at 14:11:50

    nao gostei pois nao achei meu trabalho nele

    sobre os conjuntos numericos e seus simbolos

  • 17. manoel euflausino pereira&hellip  |  março 28th, 2007 at 13:39:00

    gostaria que tiversse mais informações posivel de tira nossas duvidas.

  • 18. Wilane Maciel da Silva&hellip  |  abril 18th, 2007 at 19:59:15

    Eu quero saber de tudo isso porque eu vou fazer prova

  • 19. moacir carlos&hellip  |  maio 3rd, 2007 at 18:56:30

    É legal mas, tem muita complicação fiquei perdito igual na aula que o meu professor explica…

  • 20. moacir carlos&hellip  |  maio 3rd, 2007 at 19:01:09

    Olha eu faço sistema de Informção e estou com muita dificuldade em matematica logica e se voceis poder mandar alguma coisa que fala sobre isso para o meu email eu agradeço..

  • 21. Felipe de Almeida Angelic&hellip  |  maio 14th, 2007 at 14:06:51

    Eu nao consegui entrar na pagina dos exercicios
    gostaria que voces me mandasem o exercicios de noçoes de conjuntos.

  • 22. Alvaro Cesar Serafim Brag&hellip  |  maio 25th, 2007 at 06:25:20

    Sou Economista, mestre em Judô, professor de Matemática e apaixonado por tudo o que faço.
    Dei uma observada em seus artigos e digo-lhe que estás de parabéns!!! É deste tipo de trabalho que a internet precisa. Isto contribui muito com a educação – tenha certeza disso!
    Continue cada vez melhor…

  • 23. andre luiz&hellip  |  julho 11th, 2007 at 01:31:24

    olha só eu achei muito bom o conteudo que vc colocou para que agente possa estudar me ajudou muito mesmo só que vc poderia ter posto mais conteudo mesmo assim esta otimo

  • 24. isaac lino&hellip  |  agosto 6th, 2007 at 19:13:29

    gostei muito do assunto pois mim fez lembrar o que é conjunto, e como fazer ou organizar.

  • 25. thais lopes dos santos&hellip  |  agosto 15th, 2007 at 11:52:50

    gostaria de saber como faço para saber contas pelo google com a pergunta e a respostas sobre:
    1-nações sobre teoris dos conjuntos
    2-conjuntos dos numeros naturais
    3-conjuntos dos numeros inteiros
    4-conjuntos dos numeros racionais
    5-conjuntos dos numeros reais
    6-razão e proporção
    7-cálculo algébrico
    8-sistema decimal e medida de tempo
    9-equacão e inequação em n,z,q e r
    10-geometria plana

  • 26. Joseane Almeida&hellip  |  agosto 31st, 2007 at 21:55:51

    esse site salvou o meu pescoço!!!!!!!!!!!!

  • 27. maryana&hellip  |  outubro 1st, 2007 at 07:43:10

    como estou fazendo um concurso na militar eu presciso achar um assunto.vim procurar sobre o assunto e achei rapidinho!eu gostei muito desse site.toda vez que eu tiver dúvidas só irei vir aqui!

  • 28. Hélio Mendonça&hellip  |  outubro 2nd, 2007 at 00:46:32

    Está ótima a tua página, é bom poder contar com gente bacana como você. OBRIGADO.

  • 29. fernando mauricio&hellip  |  outubro 3rd, 2007 at 10:21:53

    to muito grato,a pesquisa ajudou m muit uma vez k nao tava 100% preparado para o teste mas agora tou minimamente preparado,toda busca que fiz deu isatamente aquilo que queria
    thanks continuem assim bom trabalho

  • 30. tomaz&hellip  |  novembro 20th, 2007 at 15:09:43

    bom irei fazer um prova relacionado a esse artido citado,pelo q vi ira me ajudar e muito na prova

    obrigado

  • 31. juliana haisa&hellip  |  novembro 26th, 2007 at 12:33:47

    não tem sobre os sinais de pertinencia e inclusão?

  • 32. Maria Auxiliadora Pinto &hellip  |  janeiro 28th, 2008 at 19:00:13

    boa-tarde,estou precisando de sua ajudar…
    estou me preparando para fazer concursos públicos…e já faz tempo que terminei os estudos…
    e estou com dificuldade em Matematica….
    você poderia me orientar….
    me indicar algum livro…ou outra coisa…
    ah!está constando no concurso é Matemática deste da 5 série até o nível médio…
    obrigada..fico agradecida abraçossss

  • 33. tiago&hellip  |  fevereiro 8th, 2008 at 18:22:00

    da pra vcs mandar algumas coisas por email?
    nações sobre teoria dos conjuntos
    1-representação
    2-relação de pertinência, relação de inclusão
    3-reunião, intersecçã e produto cartesiano

    obrigado!

  • 34. Matheus Athirson&hellip  |  fevereiro 12th, 2008 at 21:00:36

    Po, isso foi muito complicado no começo, mas com a ajuda de meus pais ,professores consegui entender melhor essas situações

  • 35. joão&hellip  |  fevereiro 17th, 2008 at 10:15:34

    Eu so aluno da escola agrotecnica federal de uberlânia estou no primeiro ano e na materia de matematica achei muita dificuldadde em compreender a explicação da professora na materia em conjuntos resolvi fazer uma busca na internet sobre conjuntos acabei achando esse site fiz uma leitura atentamente as explicações tive algumas duvidas perguntei a uma colega que professora de matemática ela me explico hoje não tenho duvidas graças a este site de explicações.

    Obrigado!

  • 36. sheila&hellip  |  fevereiro 20th, 2008 at 00:48:23

    preciso de ajuda:dados os conjuntos: A={a,b) e B {b,c,d} determine

    P(B) =

    N(P(A))=

    alguem sabe????

  • 37. ricardo&hellip  |  fevereiro 26th, 2008 at 17:32:40

    Eu sei
    sim ! ! !

    P(B) = P X | X c E
    N(P(A)) = N X | X c P X | X A X X | X

  • 38. Gabrieli&hellip  |  março 4th, 2008 at 18:31:36

    preciso de ajuda de como resolver um conjunto numérico q contenha 3 conjuntos…dakeles q tem 3 circulos…A,B,C
    se puder me ajude
    obrigada
    :*

  • 39. Gabriel Almeida&hellip  |  março 11th, 2008 at 21:49:52

    Tenho 9 anos; estou preparando-me para o concurso do Colégio Militar do Recife; seu site é simplesmente maravilhoso. É muito bom saber que existem pessoas que disfrutam seus conhecimentos conosco. Muito obrigado.

  • 40. Graciela&hellip  |  março 13th, 2008 at 14:58:38

    Olá,

    Agradeço as informções sobre conjuntos, foram muito válidas, poderias porém, colocar alguns exercícios com respostas no final!
    Um abraço.

    Graciela

  • 41. Isabela&hellip  |  março 27th, 2008 at 09:43:10

    Parabens..
    Muito bom mesmo!!

  • 42. Fábio&hellip  |  maio 17th, 2008 at 00:02:40

    olá newton tirei algumas dúvidas no seu site e tenha certeza que vou frequentá-lo por mais vezes, é show de bola muito bom!
    abraços!

  • 43. Janaína Santos&hellip  |  junho 15th, 2008 at 14:25:06

    Olá !
    Eu preciso entregar um trabalho sobre conjuntos, onde tenho que estabelecer relações entre eles para cada região. Sendo que no diagrama estão representados números de I a VII. Os conjuntos são: A, B e C.

    SE PUDEREM ME AJUDAR !
    OBRIGADA !

  • 44. João Domingos Muondo&hellip  |  julho 30th, 2008 at 08:02:54

    gostaria que me mandassem tudo que fosse possível que se relaciona com matemtica.
    é que a 18 anos que eu não estudo e agora resolvi estudar e preciso me aplicar muito para que em janeiro eu me saia bem nos testes.
    é tudo aguardo resposta positiva.
    tchau……

  • 45. alex&hellip  |  agosto 20th, 2008 at 09:37:26

    essas materias sao otimas, mas gostaria de que me enviassem noçoes intuitivas de conjunto

  • 46. jackson&hellip  |  agosto 20th, 2008 at 12:58:20

    Oi eu tenho q estuda pra prova so senai e ta muito difisil

    auguen me ajuda por favor ???

    !!!!

  • 47. Giuliano Filippi&hellip  |  setembro 10th, 2008 at 12:31:23

    Ola bom dia sera possivel vc mandar pra mim as seguintes materias?

    Conjunto: noções básicas, operações com conjuntos e conjuntos numéricos.
    - Funções: definição, gráficos, domínio, imagem, inversa de uma função, função do 1º grau, função do 2º grau, função modular, função exponencial e função logarítmica e inequações.
    - Polinômios: definição, grau, operações e teorema do resto.
    - Progressões aritméticas e geométricas.
    - Matrizes: operações, inversa e determinante de uma raiz.
    - Sistema de equações lineares.
    - Análise combinatória: princípio fundamental da contagem, arranjo, permutação e combinação.
    - Juros simples e compostos.
    - Geometria Plana: área das principais figuras planas, polígonos regulares inscritos e circunscritos.
    - Ponto: pontos no plano cartesiano, distância entre dois pontos, obtenção de um ponto em uma reta.
    - Reta: equação geral, equação segmentária, equação reduzida, coeficiente angular.

    Obrigado e q vou fazer uma prova publica e estou com alguns problemas .

  • 48. wesley&hellip  |  setembro 12th, 2008 at 17:58:52

    >> Oi, amigo já pesquisei no conteúdo Conjuntos e não encontrei a resposta para, quando a letra que representa conjunto está com um travessão sobre ela o que representa (Ō U A). Preciso da resposta,
    Obrigado.
    >>>wesley>>>

  • 49. LIDIANE&hellip  |  outubro 2nd, 2008 at 17:53:57

    OIIIIIIIIIIIIIII
    MEUS PARBÉNS…
    MUITO LEGAL SEU TRABALHO, AJUDOU-ME BASTANTE EM MINHAS PESQUISAS PARA APRESENTAÇÃO DE UM SEMINÁRIO.

  • 50. kessya martins&hellip  |  outubro 31st, 2008 at 23:42:59

    Oi, muito legal suas dicas mais nnaum quewrendo abusar de vc , mais vc pode me mandar algo sobre equações fracionárias e mmc de polinomios????Obrigado

  • 51. nathalia&hellip  |  novembro 16th, 2008 at 12:07:55

    eu naum achei nada de mais e uma merda por causa disso minha mae ficou com migo estudando o dia todo e eu nao pude fazer nada odiei esse site

  • 52. Taryzza&hellip  |  novembro 19th, 2008 at 20:39:49

    O sitede vocês é bem rico em informações, adorei estudar por ele !

  • 53. Anderson&hellip  |  dezembro 2nd, 2008 at 20:31:24

    Achei, que foi muito resumido.

  • 54. diego&hellip  |  fevereiro 3rd, 2009 at 19:45:12

    muito bom achei td q proucurava

  • 55. Juliana&hellip  |  fevereiro 10th, 2009 at 13:51:02

    gostaria de saber os conjuntos da semana terça sexta como é?

    bem resumido + precisa melhorar a explicaçao….

  • 56. Raquel&hellip  |  fevereiro 27th, 2009 at 11:30:58

    Os livros recomendados ajudaram bastante.

  • 57. cristina machado&hellip  |  março 12th, 2009 at 17:07:32

    adorei a materiame

  • 58. tilara e cleidinara&hellip  |  março 16th, 2009 at 18:26:09

    por causa disso a gente rodou de ano! HUAHHUAUHAHUA
    e ainda tem que fazer trabalho disso o ano todo! Realmente é uma merda!!

  • 59. tilara e cleidinara&hellip  |  março 16th, 2009 at 18:28:10

    também poderia colocar claramente o que quer dizer contem e não está contido –’

    POR FAVOR ATÉ QUINTA QUE A GENTE PRECISA FAZER O TRABALHO!

  • 60. Vítor&hellip  |  março 18th, 2009 at 19:10:24

    Muito interessante, não tive que reler uma frase pra entender
    :)

  • 61. milena&hellip  |  março 19th, 2009 at 10:54:38

    gostei, obrigado

  • 62. amanda&hellip  |  março 20th, 2009 at 15:05:05

    estou com um amigo imaginario e ele me força a estudar e na escola a professora ensinou contido e nao contido e eu nao entemdi nada entao o que e ?

  • 63. lucas andrade dos santos&hellip  |  maio 13th, 2009 at 20:49:54

    otimo otimo parabens

  • 64. alexander&hellip  |  julho 14th, 2009 at 16:25:26

    Esse é o site mais completo de assuntos matemáticos que encontrei desde então, continuem sempre assim ou melhor.

  • 65. rui&hellip  |  julho 14th, 2009 at 16:36:53

    Esse é o melhor site de matemática que encontrei, depois de procurar pela web por sites que tivessem o mais completo conteúdo.E esse é o melhor site desta categoria na minha opinião. Parabens! continuem sempre assim.

  • 66. newton&hellip  |  julho 14th, 2009 at 16:41:32

    Muito bom esse site, me ajudou muito com os assuntos escolares.

  • 67. rogerio santos&hellip  |  julho 14th, 2009 at 16:43:12

    site excelente

  • 68. ednayara&hellip  |  julho 15th, 2009 at 16:16:11

    oi ..
    me ajudem por favor tenho uma prova dia 1° de agosto ..
    sobre :conjuntos:Noções básicas e operações;-conjunto numerico;*função poligonal do 1°grau e do 2°.
    esta dificil para mim estudar …pois minha materia do ano passado não esta aqui perto para eu pode estudar ..
    esta no rj .. pois morava lá .. obrigada !

  • 69. Gustavo Sena&hellip  |  agosto 5th, 2009 at 17:15:33

    Muito Bom este site sobre assuntos matematicos. Esta me auxiliando bastante.
    Continue assim…………….

  • 70. saiane&hellip  |  agosto 20th, 2009 at 21:18:41

    me ajude presizo passar de ano rsrsrsr socorro rsrrsrrs

  • 71. FRANCISCO&hellip  |  agosto 28th, 2009 at 22:48:55

    qual o primeiro passo para aprender o mais rápido a matemática porque a matemática não si decora se aprende

  • 72. Paulo&hellip  |  setembro 7th, 2009 at 17:54:27

    Mto bom este artigo, gosto da clareza dos argumentos e do trabalho de sintese, o que o torna melhor de ser lido.

  • 73. renato&hellip  |  outubro 12th, 2009 at 09:00:24

    relembrei !!! é por q estou estudando para uma provinha do senai !!!

  • 74. andrey&hellip  |  outubro 13th, 2009 at 18:01:42

    achei mto bom essas nocoes sobre teoria dos conjuntoss isso vai me ajuda mto na prova do senai valeu!!!

  • 75. Luiz.G.Beserra&hellip  |  outubro 14th, 2009 at 14:44:59

    Excelente a linguagem utilizada,se possivel quero sempre ver os artigos públicados.

  • 76. Felipy Rabello&hellip  |  outubro 20th, 2009 at 17:29:46

    este site nao presta tinha que ser mais explicada as coisas ! isso ai ta uma emboleira só !nao entendi nada !
    abraços ! e da proxima vez coloque um conteudo mais claro !

  • 77. Jessé&hellip  |  outubro 28th, 2009 at 14:07:43

    Muito Boom … obrigadoo .. espero que issu me ajude na prova do senai :D

  • 78. Lucas&hellip  |  novembro 5th, 2009 at 16:58:08

    kkk

    olha, na matemática tem que aprender mesmo..

    mas aproveita pra aprender o português tbm.. kkk

  • 79. Conjuntos « Anális&hellip  |  novembro 27th, 2009 at 10:05:56

    [...] HORTA, N. G. Conjuntos: noções básicas. [internet]. Acessada em 06/11/09. Disponível em http://www.nghorta.com/2006/11/02/conjuntos-nocoes-basicas-parte-i/. [...]

  • 80. GABRIEL&hellip  |  janeiro 5th, 2010 at 02:32:41

    Tudo que vcs colocarem com ou sem clareza, desde que não esteja errado é importante para aqueles que querem sair da mesmice e busca sempre realizar seus objetivos(SONHOS) que é a razão da nossa existência… oferecer uma vida melhor para nós mesmo e pra queles que fazem parte de nossa vida diretamente e inderetamente…congratulation.

  • 81. Ramon Paulino de Castro&hellip  |  janeiro 8th, 2010 at 01:52:26

    O artigo e mto bom,estou estudando para o ctu da minha cidade e cai conjuntos,coisa que meu professor nao deu, mais esse blog me ajudou!:)

  • 82. Toninho&hellip  |  fevereiro 18th, 2010 at 16:24:10

    Caramba adorei muito bem explicado ao contrário de outros sites que encontrei muito bom galera valeu mesmo

  • 83. Lays Witanallie&hellip  |  fevereiro 24th, 2010 at 15:37:34

    …
    gostei bastante … só acho que deveria ter mais definições sobre os outros conjuntos e mais exemplos … mas foi o melhor site sobre matamática fora o wikipédia que eu já encontrei …

    parabéns … obrigado …

  • 84. vanessa de oliveira santa&hellip  |  fevereiro 25th, 2010 at 21:41:49

    adoreiiiiiiiiiiii!!!!!!!!!
    muito bem explicado……………..
    tirei todas as minhas duvidas!!!!
    estao de parabéns!!!!

  • 85. Leonardo&hellip  |  março 9th, 2010 at 01:43:10

    Estou precisando resolver esta questão. Se alguém pude me ajudar…

    Considere os seguintes conjuntos:
    N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, …} é o conjunto dos números naturais;
    A = {x; x = 3n, onde n∈N e x ≤ 30};
    B = {x; x∈N e x = 2n+1}.
    Se o conjunto X é tal que X ⊂ (A∩B) e (A∩B)–X = {3, 15, 21}, então X é igual
    a:
    a) ∅
    b) {3, 15, 21}
    c) {9, 27}
    d) {0, 6, 12, 18, 24, 27, 30}
    e) {0, 1, 5, 6, 7, 11, 12, 13, 18, 23, 24, 25, 27, 29, 30}

  • 86. thais&hellip  |  março 16th, 2010 at 22:45:56

    Olha leonardoo.. eu só sei qe a primeira ta´certa…kkk’ naum sei essa matéria direito, soh qe aki tá bein explicado…xD

  • 87. jessica da silva&hellip  |  março 21st, 2010 at 17:15:17

    esse assunto não entrava na minha cabeça
    entrei na net para ver algumas explicações
    mais para ficar melhor deveria ter abaixo
    exercicios de fixação e logo abaixo dos exercicios
    a resposta
    tipo deu para entender mais para ficar melhor
    devemos colocar em prática o que acabamos de ler
    e é isso ai
    gostei dessa explicação vou tentar colocar em pratica

  • 88. DIONATAN&hellip  |  março 21st, 2010 at 19:11:37

    Parabens pela explicação.

    Leonardo a resposta do exercicio proposto é a letra C.

    ABRAÇO

  • 89. DIONATAN&hellip  |  março 21st, 2010 at 19:15:29

    EXPLICAÇÃO

    A = (3;6;9;12;15;18;21;24;27;30)
    B = (2;3;5;7;9;11;13;15;17;19;21;23;25;27;29)

    X = intersecção de A e B (3;9;15;21;27)

    se sobra (3;15;21) então X é = (9;27)

    Deus te abençoe amigo

  • 90. armistrong&hellip  |  abril 23rd, 2010 at 20:36:51

    gostei estou quase fazendo uma prova tomara que tire 10…

  • 91. társsyo robson&hellip  |  abril 27th, 2010 at 13:00:42

    poxa eu mal sabia esse assunto mais depois q lí essas explicações mi enterresei mais obg gente acho q vou tirar um 10 na prova flz

  • 92. vandinho&hellip  |  maio 24th, 2010 at 10:51:10

    eu tô precisando

    de corresppondência biunivoca

    e muito mais algumas coisa

    tem nesse site mas algumas

    coisa não tem.

    tem que colocar mais coisas vlw

  • 93. vitor hugo rufino martins&hellip  |  julho 14th, 2010 at 20:24:48

    É muito bom saber que existe um site que resumido, de maneira que todos possam entender, as matérias exigidas pelas pessoas. Sou professor de Matemática e fiquei bastante satisfeito.

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