Matemática

Progressões – Parte II

Em continuidade ao artigo Progressões – Parte I que trata dos conceitos e propriedades de sequência e da Progressão Aritmética (PA), vamos, agora, fazer a abordagem teórica sobre as Progressões Geométricas (PG).

Progressões Geométricas (PG)

Definição

Uma progressão geométrica (PG) é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao antecessor multiplicado por uma constante q denominada a razão da PG. Ou seja:

an = an-1.q (n >= 2)

Observe que se a1 e q são diferentes de zero podemos escrever q = an/an-1, uma vez que, nessas condições, todos os termos da PG são também diferentes de zero.

Exemplos:

  1. (1; 2; 4; 8; 16; …) onde a1 = 1 e q = 2;
  2. (-2; -6; -18; -54; …) onde a1 = -2 e q = 3;
  3. (9; 9; 9; 9; …) onde a1 = 9 e q = 1;
  4. (1; -3; 9; -27; …) onde a1 = 1 e q = -3;
  5. (20; 0; 0; 0; …) onde a1 = 20 e q = 0.

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Progressões – Parte I

Esta matéria aborda o conceito e propriedades de sequência ou sucessão, com ênfase nas que possui uma fórmula bem definida que permite calcular qualquer um de seus termos. Ou seja, das sequências que possuem uma lei de formação que estabelece uma relação entre o valor de seus termos e sua posição.

Especificamente, das duas mais conhecidas: a Progressão Aritmética (PA) e a Progressão Geométrica (PG), dividido em três partes (a primeira este artigo e as demais serão publicadas oportunamente):

  • Parte I – teoria sobre PA;
  • Parte II – teoria sobre PG;
  • Parte III – exercícios resolvidos sobre PA e PG.

Mas antes precisamos conhecer a definição do que seja uma sequência ou sucessão.

Sequências ou Sucessões

Uma sequência ou sucessão é um conjunto ordenado (finito ou infinito) de elementos de qualquer natureza, em que cada elemento fica naturalmente seqüenciado.

Um conjunto ordenado é um conjunto que possui …

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Exercícios Resolvidos #1 – Potenciação

O VICHE inaugura uma nova categoria de artigos, denominada Exercícios Resolvidos, sobre um dos primeiros assuntos aqui tratado. O objetivo é fixar, com a prática, o conceito e as propriedades de potenciação abordados de forma teórica.

Os exercícios, todos com solução simples, são, com execeção do 5, do livro Praticando Matemática, de Álvaro Andrini, 8a. Série, Editora do Brasil S/A, São Paulo, propostos em sua seção TESTES e se reportam a questões aplicadas em várias Instituições de Ensino, indicadas entre parêntesis.

Nas soluções dos exercícios serão mencionadas as propriedades pela letra utilizada no artigo sobre potenciação .

Exercício 1: (PUC-SP) O número de elementos distintos da sequência 24, 42, 4-2 (-4)2, (-2)4, (-2)-4 é:

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Frações Com Irracionais e Racionalização

O objetivo é apresentar as principais técnicas utilizadas na racionalização de denominadores de frações irracionais, uma vez que não é possível estabelecer uma regra geral face à infinidade de formas que esses denominadores podem assumir.

Para que o entendimento seja mais efetivo é imprescindível o conhecimento das propriedades de Radiciação e Potenciação, dentre outros conceitos que serão apresentados mas não demonstrados, por fugirem ao escopo da matéria.

O assunto está sendo tratado em decorrência do resultado da pesquisa feita no Blog, em que obteve a segunda colocação entre os temas propostos (11 votos). Maiores detalhes podem ser obtidos através do link Consultar Pesquisas na barra lateral de navegação.

FRAÇÕES IRRACIONAIS

Definição

Fração irracional é a que tem pelo menos um termo, o numerador …

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Logaritmo

Logaritmo foi o assunto escolhido, com 13 votos, na pesquisa realizada pelo VICHE. Para ver o resultado e os detalhes basta clicar no link Consultar Pesquisas localizado na barra lateral de navegação.

Antes de prosseguir com a abordagem do tema vencedor registro os nossos agradecimentos a todos os leitores participantes.

No artigo sobre equações exponenciais citamos os dois principais métodos utilizados para resolver este tipo de equação:

  • o de redução a potências de mesma base, e
  • o que utiliza o conceito e propriedades de logaritmos.

O primeiro foi tratado naquele artigo com a colocação de conceitos, exemplos e exercícios resolvidos, em que estes, foram propositalmente selecionados, visando apresentar o uso de técnicas diferenciadas na resolução de equações exponenciais.

O segundo será abordado agora, como já dito, com o intuito de auxiliá-lo a resolver equações do tipo 3x = 7, entre outras, em que não é possível reduzir seus termos a uma potência de mesma base.

Apesar de podermos afirmar com facilidade que x assume um valor…

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VICHE Responde #1

Identificação da Questão

Proponente
Evandro Lopes de Oliveira
O que Faz
Sistema de Informação/Análise de Sistemas
Onde
Faculdade de Computação de Montes Claros, Minas Gerais
Questão
Qual é a regra para determinar o último digito do resultado de x = 3718 + 4215 + 932

 

Introdução

Como se trata de uma questão que traz embutida um certo grau de curiosidade e aparente complexidade, decidi iniciar …

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Equações Exponenciais

INTRODUÇÃO

Seguindo a ordem natural dos artigos sobre Potenciação e Radiciação será abordado agora as equações exponenciais. Antes, será fornecida uma breve noção sobre o conceito e propriedades da função exponencial. Considera-se, também, como pré requisito para o entendimento deste artigo o conceito de função.

Com este artigo espero atender aos questionamentos, pertinentes ao assunto, colocados nos comentários dos artigos mencionados acima.

FUNÇÃO EXPONENCIAL

a) Definição

Dado um número real a, a > 0 e a diferente de 1, definimos função exponencial de base …

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Tabuadas

Para atender os leitores jovens que têm visitado o VICHE a procura de tabuada com as operações aritméticas, desenvolvi uma nova rotina em javascript. Agora você pode obter a tabuada da multiplicação, da divisão, da adição ou soma e a da subtração de um número entre -999.999.999 e 9.999.999.999, e tudo isto em um mesmo(…)

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Radiciação

INTRODUÇÃO

No artigo publicado em 23 de fevereiro de 2006, aqui no VICHE, abordei a definição e propriedades da potenciação. Caso você não tenha o domínio desse assunto, sugiro a sua leitura, visando uma melhor compreensão do que será exposto a seguir. O interesse demonstrado pelo tema foi e ainda permanece considerável, tomando-se por base o número de visitas ao artigo (1030 até o momento em que escrevia este post, segundo dado estatístico fornecido pelo software Webalizer). Agora, dando continuidade, trataremos da radiciação de números relativos e expressões algébricas.

Serão tratados os conceitos e propriedades da radiciação sob o ponto de vista primordialmente teórico, como no da potenciação, acrescidos de alguns exemplos. No entanto, caso seja demonstrado interesse, estarei criando uma seção específica (aceito sugestões para o seu nome) com o objetivo de responder, com o devido detalhamento, a questões e dúvidas colocadas nos comentários ou enviadas para o E-Mail nghorta@brturbo.com.br. As soluções serão fornecidas dentro do mesmo padrão aqui adotado, uma vez que é praticamente inviável de serem apresentadas diretamente no formulário dos comentários, devido às restrições ali impostas.

Apenas uma ressalva: por limitação de…

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Tabuada da Multiplicação

Artigo especialmente escrito para a moçada que tem nos visitado a partir de pesquisas no Google sobre o assunto. Clique no link abaixo para obter a tabuada da multiplicação do número que você quer: Tabuada Trata-se de uma rotina simples, escrita em javascript, que apresenta como resultado a tabuada de um número. Para isso é(…)

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