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Equações Exponenciais

abril 16th, 2006

INTRODUÇÃO

Seguindo a ordem natural dos artigos sobre Potenciação e Radiciação será abordado agora as equações exponenciais. Antes, será fornecida uma breve noção sobre o conceito e propriedades da função exponencial. Considera-se, também, como pré requisito para o entendimento deste artigo o conceito de função.

Com este artigo espero atender aos questionamentos, pertinentes ao assunto, colocados nos comentários dos artigos mencionados acima.

FUNÇÃO EXPONENCIAL

a) Definição

Dado um número real a, a > 0 e a diferente de 1, definimos função exponencial de base a à função f de R em R que associa a cada x real o número real ax. Simbolicamente:

Definição Função Exponencial

Observações, Propriedades e Exemplos:

  • A função exponencial é definida sómente para base a positiva, uma vez que se a é negativo teríamos valores da imagem ax não pertencente ao conjunto dos números reais. Por exemplo para a = -2 e x = 1/2, ax é igual à raiz quadrada de -2 (ver a propriedade P7 do artigo sobre Radiciação ), que pertence ao conjunto dos números complexos, contradizendo a definição da função exponencial;
  • A base também tem que ser diferente de 1 porque para todo x real teríamos como imagem, sempre, o valor 1, uma vez que 1 elevado a x é igual a 1 para qualquer que seja o x. Em outras palavras a imagem seria o conjunto unitário {1}, o que também contradiz a definição. E a não pode ser zero pois teríamos uma indeterminação para x = 0;
  • A função obtida acima é denominada de função constante, f(x) = c, x real, onde c = 1;
  • Qualquer que seja a função exponencial temos que: para x = 0 => f(0) = a0 = 1. Ou seja, o par ordenado (0, 1) pertence à função para todo a no conjunto dos reais positivos diferente de 1. Isto significa que o gráfico cartesiano da função exponencial corta o eixo y no ponto de ordenada 1;
  • Uma função f é dita crescente se dados x1 < x2 pertencentes ao seu domínio, então as imagens correspondentes obedecem a relação f(x1) < f(x2);
  • Uma função f é dita descrescente se x1 < x2 então f(x1) > f(x2);
  • No caso da função exponencial ela é crescente se, e sómente se, a > 1. E descrescente se, e somente se, 0 < a < 1. A demonstração da propriedade não será feita aqui;
  • A função exponencial é injetora, ou seja, dados x1 diferente de x2 então f(x1) é diferente de f(x2). Esta propriedade é decorrência direta da propriedade acima;
  • Como a base a é maior que zero, temos que ax > 0 para todo x real. Daqui segue que o conjunto imagem da função exponencial é o conjunto dos números reais positivos;
  • Da propriedade acima concluí-se que a curva representativa (gráfico) da função está toda acima do eixo dos x;
  • Exemplos de funções exponenciais:

Exemplos

b) Teoremas

Neste tópico serão apresentados os principais teoremas sobre as funções exponenciais.

T1. Dados a e x pertencentes ao conjunto dos reais, a > 1, então:

Teorema 1

Não será apresentada a demonstração que depende de outros fatos não tratados aqui.

T2. Dados a, x1 e x2 pertencentes aos conjunto dos reais, a > 1, então:

Teorema 2

Demonstração:

Demonstração Teorema 2

Daqui, pelo teorema T1 temos:

Demonstração Teorema 2

T3. Dados a e x pertencentes ao conjunto dos reais, 0 < a < 1, então:

Teorema 3

Demonstração:

Demonstração Teorema 3

Pelo teorema T1, vem que:

Demonstração Teorema 3

T4. Dados a, x1 e x2 pertencentes aos conjunto dos reais, 0 < a < 1, então:

Teorema 4

A demonstração deste teorema deixo para o leitor.

EQUAÇÕES EXPONENCIAIS

a) Definição

Equações exponenciais são, simplesmente, equações com incógnita no expoente.

Exemplos:

Exemplos de Equações Exponenciais

Os dois métodos fundamentais utilizados na resolução de equações exponenciais são:

  • Método de redução a uma base comum;
  • Método que utiliza o conceito e propriedades de logaritmos.

Trataremos neste artigo apenas do primeiro método. O segundo será visto em outro artigo sobre logaritmo.

b) Método de redução a uma base comum

Este método, como o próprio nome diz, consiste no uso de técnicas que permitam, através de transformações baseadas nas propriedades de potências, reduzir ambos os membros de uma equação a uma potência de mesma base. É claro que o método só poderá ser utilizado caso seja possível a redução.

Como a função exponencial é injetora podemos concluir que:

Método de Redução a uma base comum

ou seja, que potências iguais e de mesma base têm expoentes iguais.

c) Exercícios Resolvidos

Os exercícios foram selecionados visando apresentar técnicas de soluções diferenciadas.

Exercício 1

Exercício 2

Exercício 3

Exercício 4

Exercício 5

Referência:

  1. Fundamentos de Matemática Elementar, Gelson Iezzi, Osvaldo Dolce & Carlos Murakami, São Paulo, Atual Editora Ltda, edição 1977.

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Categorias: Matemática, Técnico

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209 Comentários Adicione o seu

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  • 209. izaias  |  dezembro 1st, 2008 at 21:14:20

    Gostei muito do site, sou estudante engenharia de controle e automação e preciso de arquivos de controle de malha aberto e malha fechado resolvidos (URGENTE vou fazer prova na quarta proxima ) ajudaria muito principalmente se fosse de seguimento de OGATA. grato

    ZÁIAS

  • 208. cassiano  |  dezembro 1st, 2008 at 08:01:07

    eu achei muito bom ,interessante e tinha o que eu precisava valewwwww!!!!!!!bjo

  • 207. Lindeza...  |  novembro 25th, 2008 at 14:44:06

    Meu, vcs naum podem traduzir esta página?????
    td bem que está em português, mas naum numa linguagem clara qu possamos entender, tendeu?
    dxa uma linguagem mais simples para todos entenderem!!!!!!!!!
    Valew Galera………..Bjuuuuuuu!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

  • 206. stefani cristina de oliveira nascimento  |  novembro 21st, 2008 at 18:18:44

    o que eu procurei eu não achei, por isso estou muito triste.

  • 205. Luiza  |  novembro 20th, 2008 at 10:14:55

    Porfavor estou na 6º série gostaria que montasse um saite do de 6º series e 7series obs:separados para fezer contas para pesquisa,porque nao dá eu estudo em escola publica e os meus professores sao pessimos entao gostaria que esse saite ajudasse nois dá 6º e 7º porfavor

    Obrigada

  • 204. amanda  |  novembro 16th, 2008 at 14:23:24

    muito bom

  • 203. ingrid gabriele cardoso  |  novembro 12th, 2008 at 15:22:31

    E muito bom pois aprendemos mais sobre esse assunto muito usado no nosso cotidiano eu gosti muito parabéns pela eficencia de voces.

  • 202. thais  |  novembro 12th, 2008 at 14:59:20

    muito legal

  • 201. wesley  |  novembro 11th, 2008 at 12:25:29

    esse site não tem nada que queremos!!!

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