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Em continuidade ao artigo Progressões – Parte I que trata dos conceitos e propriedades de sequência e da Progressão Aritmética (PA), vamos, agora, fazer a abordagem teórica sobre as Progressões Geométricas (PG).
Definição
Uma progressão geométrica (PG) é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao antecessor multiplicado por uma constante q denominada a razão da PG. Ou seja:
an = an-1.q (n >= 2)
Observe que se a1 e q são diferentes de zero podemos escrever q = an/an-1, uma vez que, nessas condições, todos os termos da PG são também diferentes de zero.
Exemplos:
Classificação
As PG são classificadas em cinco categorias de acordo com os valores do seu primeiro termo a1 e de sua razão q.
a) Crescentes:
São as PG em que cada termo é maior do que o seu antecessor (exemplo 1. acima) e ocorre nas duas situações seguintes:
Demonstração de 1:
Como a1 e q são diferentes de zero, temos
an/an-1 = q > 1 <==> an > an-1
b) Decrescentes
São as PG em que cada termo é menor do que o seu antecessor (exemplo 2.) e ocorre nas duas situações abaixo indicadas:
c) Constantes
São as PG em que cada termo é igual ao anterior (exemplo 3.):
d) Alternantes
São as PG em que cada termo tem o sinal contrário ao de seu antecessor (exemplo 4.). Ocorre quando q < 0 e a1 é diferente de zero.
e) Estacionárias
São as PG em que seu termo inicial a1 é diferente de zero e todos os demais são iguais a zero (exemplo 5.). Ocorre quando q = 0, e, claro, a1 é diferente de zero.
Fórmula do Termo Geral de uma PG
Seja (a1; a2; a3; … ; an-1; an; …) uma PG de razão q, então seu enésimo termo (an) é:
an = a1.qn-1
Demonstração:
Pelo princípio da indução finita:
i) Verdadeira para n = 1:
a1 = a1.q1-1 => a1 = a1.qo = a1.1 = a1
ii) Suponhamos que a fórmula é verdadeira para n = p (hipótese da indução) e mostremos que é verdadeira para n = p + 1, isto é:
ap = a1.qp-1 => ap+1 = a1.qp+1-1 = a1.qp
Da definição de PG:
ap+1 = ap.q
Da hipótese, vem:
ap+1 = a1.qp-1.q => ap+1 = a1.qp+1-1 = a1.qp
Interpolação Geométrica
Interpolar k meios geométricos entre dois números a e b, é o mesmo que determinar uma PG de n = k + 2 termos, onde seus extremos sejam iguais a esses números, ou seja, onde a1 = a e an = b.
Como temos os extremos definidos, para interpolar meios em uma PG basta calcular sua razão. Assim, da definição de PG temos:
Note que se o índice da raiz é par, teremos como solução duas PG distintas correspondente a q positivo e q negativo, respectivamente.
Soma dos Termos de uma PG Finita
A soma dos n primeiros termos de uma PG é:
Demonstração:
Temos:
Sn = a1 + a2 + a3 + … + an-1 + an
Multiplicando os membros da igualdade por q obtemos
qSn = a1q + a2q + a3q + … + an-1q + anq = a2 + a3 + … + an + an+1
Na última passagem foi utilizada a definição de PG. Subtraindo membro a membro esta igualdade da anterior e cancelando os termos comuns:
qSn – Sn = -a1 + an+1 = -a1 + a1.qn
Colocando Sn e a1 em evidência vem:
(q – 1)Sn = a1(qn – 1)
Dessa última igualdade se obtem a fórmula da soma.
Soma dos Termos de uma PG Infinita (Limite da Soma)
Inicialmente, deixemos claro que a fórmula da soma a seguir só se aplica quando -1 < q < 1. Isto porque, somente nessas condições, uma PG infinita converge, ou seja, à medida que n tende para infinito, qn tende a zero.
Caso contrário, quando q > 1 ou q < -1, qn cresce indefinidamente à medida que n cresce, e, portanto, é impossível calcular a soma dos termos da PG. Lembre-se que em uma PG seus termos crescem ou decrescem em função da razão.
Para clarear, tome como exemplo a PG infinita definida por:
cuja soma dos seus n primeiros termos, aplicando-se a fórmula é (deixo os cálculos para você):
Conforme n aumenta indefinidamente (na fração) o seu denominador aumenta da mesma forma e, em consequência, a fração assume valores cada vez mais próximos de zero e Sn se aproxima de 1. Ou seja:
Dessa forma, podemos agora estabelecer a definição da soma dos termos de uma PG infinita.
Seja (a1; a2; a3; … ; an-1; an; …) uma PG infinita de razão q, -1 < q < 1, então a soma de seus termos é dada por:
Demonstração:
Como em Sn, qn tende a zero quando n tende a infinito temos:
Referências:
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gostaria que postassem exercício resolvidos sobre trigonometria
Por favor resolva esse para mim:
Considere uma colonia de coelhos adultos e denote por
an o número de casais adultos dessa colônia ao final de n meses se a1=1,a2=1 e para n>que 2 na+1=na-1
a)o número de casais de coelho adulto na colonia ao final do 5ºmês será?
Muitooo Bom…..o site me ajudou e muito
…….parabéns…..valeuuuuuuuu
gostei muito desse site,pois confesso que não sou fã de matemática,acho complicado pg,e desde já quero pedir que me de um método mais facíl de aprender a soma da PG.agradeço desde já!
gostei do site,pois confesso que não sou fã de matemática.
quero saber um método menos complicado para aprender a soma da Pg.
Gostei muito, mas para que fique mais claro acho q deveria ter um exemplo com exercicios resolvidos. Obrigada. bjs
Muito bom, excelente explicação. Ficou claro a definição, a soma do termo geral e todas as classificações. UM ABRAÇO!!!!
gostaria que tivesse so exercicios sobre a pa resolvidos
Infinito elevado a 0 é igual a 1 pois:
x elevado a 1 vezes x elevado a -1 é igual ao produto de x por seu inverso 1/x ou seja, 1!
muito bom o site!As demonstrações de como decorrem as fórmulas são excelentes.Deve-se,no entanto,colocar mais exemplos que estimulem o raciocínio.
nao encintrei pg infinita e exercicios
pow diz infinito porq qualquer numero q vc encontre dentro das infinidade dos numeros, se for elevado a zero vira 1
infinito não é um número. Portanto não pode ser elevado a potência zero!
preciso resolver essa equação sabendo que , x,x+9,x+45 é uma pg determine o valor de x
Determine o décimo termo da Pg {1,2,4,…}
Determine o Primeiro Termo da Pg em A7=32 e q=2
Como se faz isso?
Eu preciso entregar iso hoje…
muito obrigada aki tem tudo sobre progressão aritmética e pg… tava precisando pro meu trabalho…
ótima matéria me poupou bastante tempo @.@’
thankx*
ÊÊ muiito bom o site!
Me ajudou um bocado!
o/
Parabéns ao site!!! Conheci ele hj, resolvendo e aprendendo várias questões de PA e PG. Pretendo encontrar mais assuntos no decorrer do ano letivo…
Valeu aee galera!!! E tomara q eu tire uma boa nota na prova q eh sabádo!!!
muito bom,mas porque infinito elevado a zero é igual a um?