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Progressões - Parte II

junho 17th, 2006

Em continuidade ao artigo Progressões - Parte I que trata dos conceitos e propriedades de sequência e da Progressão Aritmética (PA), vamos, agora, fazer a abordagem teórica sobre as Progressões Geométricas (PG).

Progressões Geométricas (PG)

Definição

Uma progressão geométrica (PG) é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao antecessor multiplicado por uma constante q denominada a razão da PG. Ou seja:

a_n = a_n-1.q (n >= 2)

Observe que se a₁ e q são diferentes de zero podemos escrever q = a_n/a_n-1, uma vez que, nessas condições, todos os termos da PG são também diferentes de zero.

Exemplos:

1. (1; 2; 4; 8; 16; …) onde a₁ = 1 e q = 2;
2. (-2; -6; -18; -54; …) onde a₁ = -2 e q = 3;
3. (9; 9; 9; 9; …) onde a₁ = 9 e q = 1;
4. (1; -3; 9; -27; …) onde a₁ = 1 e q = -3;
5. (20; 0; 0; 0; …) onde a₁ = 20 e q = 0.

Classificação

As PG são classificadas em cinco categorias de acordo com os valores do seu primeiro termo a₁ e de sua razão q.

a) Crescentes:

São as PG em que cada termo é maior do que o seu antecessor (exemplo 1. acima) e ocorre nas duas situações seguintes:

1. a₁ > 0 e q > 1 (termos positivos e razão maior do que 1);
2. a₁ < 0 e 0 < q < 1 (termos negativos e a razão entre zero e um).

Demonstração de 1:

Como a₁ e q são diferentes de zero, temos

a_n/a_n-1 = q > 1 <==> a_n > a_n-1

b) Decrescentes

São as PG em que cada termo é menor do que o seu antecessor (exemplo 2.) e ocorre nas duas situações abaixo indicadas:

1. a₁ < 0 e q > 1 (termos negativos e razão maior do que 1);
2. a₁ > 0 e 0 < q < 1 (termos positivos e a razão entre zero e um).

c) Constantes

São as PG em que cada termo é igual ao anterior (exemplo 3.):

1. a₁ = 0 e q qualquer;
2. a₁ = c e q = 1, onde c é um número real qualquer.

d) Alternantes

São as PG em que cada termo tem o sinal contrário ao de seu antecessor (exemplo 4.). Ocorre quando q < 0 e a₁ é diferente de zero.

e) Estacionárias

São as PG em que seu termo inicial a₁ é diferente de zero e todos os demais são iguais a zero (exemplo 5.). Ocorre quando q = 0, e, claro, a₁ é diferente de zero.

Fórmula do Termo Geral de uma PG

Seja (a₁; a₂; a₃; … ; a_n-1; a_n; …) uma PG de razão q, então seu enésimo termo (a_n) é:

a_n = a₁.q^n-1

Demonstração:

Pelo princípio da indução finita:

i) Verdadeira para n = 1:

a₁ = a₁.q^1-1 => a₁ = a₁.q^o = a₁.1 = a₁

ii) Suponhamos que a fórmula é verdadeira para n = p (hipótese da indução) e mostremos que é verdadeira para n = p + 1, isto é:

a_p = a₁.q^p-1 => a_p+1 = a₁.q^p+1-1 = a₁.q^p

Da definição de PG:

a_p+1 = a_p.q

Da hipótese, vem:

a_p+1 = a₁.q^p-1.q => a_p+1 = a₁.q^p+1-1 = a₁.q^p

Interpolação Geométrica

Interpolar k meios geométricos entre dois números a e b, é o mesmo que determinar uma PG de n = k + 2 termos, onde seus extremos sejam iguais a esses números, ou seja, onde a₁ = a e a_n = b.

Como temos os extremos definidos, para interpolar meios em uma PG basta calcular sua razão. Assim, da definição de PG temos:

Note que se o índice da raiz é par, teremos como solução duas PG distintas correspondente a q positivo e q negativo, respectivamente.

Soma dos Termos de uma PG Finita

A soma dos n primeiros termos de uma PG é:

Demonstração:

Temos:

S_n = a₁ + a₂ + a₃ + … + a_n-1 + a_n

Multiplicando os membros da igualdade por q obtemos

qS_n = a₁q + a₂q + a₃q + … + a_n-1q + a_nq = a₂ + a₃ + … + a_n + a_n+1

Na última passagem foi utilizada a definição de PG. Subtraindo membro a membro esta igualdade da anterior e cancelando os termos comuns:

qS_n - S_n = -a₁ + a_n+1 = -a₁ + a₁.qⁿ

Colocando S_n e a₁ em evidência vem:

(q - 1)S_n = a₁(qⁿ - 1)

Dessa última igualdade se obtem a fórmula da soma.

Soma dos Termos de uma PG Infinita (Limite da Soma)

Inicialmente, deixemos claro que a fórmula da soma a seguir só se aplica quando -1 < q < 1. Isto porque, somente nessas condições, uma PG infinita converge, ou seja, à medida que n tende para infinito, qⁿ tende a zero.

Caso contrário, quando q > 1 ou q < -1, qⁿ cresce indefinidamente à medida que n cresce, e, portanto, é impossível calcular a soma dos termos da PG. Lembre-se que em uma PG seus termos crescem ou decrescem em função da razão.

Para clarear, tome como exemplo a PG infinita definida por:

cuja soma dos seus n primeiros termos, aplicando-se a fórmula é (deixo os cálculos para você):

Conforme n aumenta indefinidamente (na fração) o seu denominador aumenta da mesma forma e, em consequência, a fração assume valores cada vez mais próximos de zero e S_n se aproxima de 1. Ou seja:

Dessa forma, podemos agora estabelecer a definição da soma dos termos de uma PG infinita.

Seja (a₁; a₂; a₃; … ; a_n-1; a_n; …) uma PG infinita de razão q, -1 < q < 1, então a soma de seus termos é dada por:

Demonstração:

Como em S_n, qⁿ tende a zero quando n tende a infinito temos:

Referências:

1. Fundamentos de Matemática Elementar, Gelson Iezzi, Osvaldo Dolce & Carlos Murakami, São Paulo, Atual Editora Ltda, edição 1977;
2. Matemática para o Ensino Médio: Volume Único, Manoel Jairo Bezerra, São Paulo, Editora Scipione, 2001.

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Categorias: Matemática, Técnico

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