Questionarious #3 – Progressões

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  Temos como condição inicial a PG (4⁰, 4¹, 4², 4³, ...), ou seja, (1, 4, 16, 64, ...) que se obtem calculando-se as potências e o número de termos n = 8.

  E o que se quer é a soma desses termos.

  Portanto, para solucionar a questão será necessário, inicialmente, determinar a razão q, e em seguida, aplicar a fórmula da soma de uma PG finita para n = 8. 

  

  A razão q é facilmente obtida dividindo-se o segunto termo pelo primeiro como decorrência da definição de uma PG:

  q = a_2/a₁ = 4/1 = 4

  Logo, da fórmula da soma, substituindo-se a₁ = 1, n = 8 e q = 4, vem que:

  s₈ = 1.(4⁸- 1)/(4 -1) = (65536 - 1)/3 = 65535/3 = 21845

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  Condições iniciais:

  • A PA (4, 7, 10, …, 157);
  • O primeiro termo a₁ = 4;
  • O último termo a_n = 157.

  E o que se quer determinar é o valor de n - a quantidade de termos da PA.

  Para tanto é suficiente calcular a razão r e utilizar a fórmula do termo geral de uma PA:

  a_n = a₁ + (n – 1)r

  Pela definição de PA a razão é obtida subtraindo-se qualquer termo, a partir do segundo, pelo seu antecessor. Assim:

  r = 7 - 4 = 3

  Logo, da fórmula e das condições iniciais vem:

  a_n = a₁ + (n – 1)r  => 157 = 4 + (n - 1)3 => 157 = 4 + 3n - 3 => 157 = 1 + 3n

  => 157 - 1 = 3n => 3n = 156 => n = 156/3 => n = 52

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  Dados do problema: n = 10 e a PG (20, 10, 5, ...).

  E o que se quer determinar é o valor de a₁₀ - o décimo termo da PG.

  Assim, nada mais natural do que usar a fórmula do termo geral de uma PG para solucionar a questão:

  a_n = a₁.q^n-1

  Observe que temos das condições iniciais a₁ = 20 e n = 10, restando, portanto, a se obter a razão q.

  Mas, para isso, basta utilizar a definição de uma PG, em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao antecessor multiplicado por uma constante q. Logo, por exemplo:

  a₂ = a₁.q => q = a₂/a₁ = 10/20 = 1/2

  E, finalmente, substituindo-se os valores na fórmula geral:

  a_n = a₁.q^n-1 => a₁₀ = 20.(1/2)^10-1 = 20.(1/2)⁹ = 20.(1/512) = 20/512 = 5/128

Determine o valor da razão de uma PA sabendo-se que:

a₁ + a₃ + a₅ = 21

a₂ + a₄ + a₆ = 42

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  Como nos exercícios anteriores, mais uma vez, faremos uso do termo geral de uma PA para aplicarmos nas equações dadas na questão e transformá-las em um sistema de equações em função de a₁ e r. Assim sendo:

  a₃ = a₁ + (3 - 1)r => a₃ = a₁ + 2r

  a₅ = a₁ + (5 - 1)r => a₅ = a₁ + 4r

  a₂ = a₁ + (2 - 1)r => a₂ = a₁ + r

  a₄ = a₁ + (4 - 1)r => a₄ = a₁ + 3r

  a₆ = a₁ + (6 - 1)r => a₆ = a₁ + 5r

  Substituindo esses valores nas equações dadas:

  a₁ + a₃ + a₅ = 21 => a₁ + a₁ + 2r + a₁ + 4r = 21 => 3a₁ + 6r = 21    [1]

  a₂ + a₄ + a₆ = 42 => a₁ + r + a₁ + 3r + a₁ + 5r = 42 => 3a₁ + 9r = 42   [2]

  De [1] isolando o valor de a₁:

  3a₁ = 21 - 6r => a₁ = (21 - 6r)/3   [3]

  Substituindo o valor de a₁ obtido em [3] na equação [2]:

  3a₁ + 9r = 42 => 3[(21 - 6r)/3] + 9r = 42 => 21 - 6r + 9r = 42 => 3r = 21 => r = 21/3 = 7

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  Utilizando a definição de PG, em que a₁ = x, a₂ = x + 9 e a₃ = x + 45 temos:

  a₂ = a₁.q => x + 9 = x.q   [1]

  a₃ = a₂.q => x + 45 = (x + 9)q   [2]

  Isolando o valor de q em [1]:

  q = (x + 9)/x

  Substituindo q em [2]

  x + 45 = (x + 9)[(x + 9)/x] => x(x + 45) = (x+ 9)²

  => x² + 45x = x² + 18x + 81 => x² + 45x - x² - 18x = 81 => 27x = 81 => x = 81/27 = 3

• 11a/2
• 9a/2
• 7a/2
• 13a/2
• 15a/2
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  Condições iniciais: PA (a, 3a/2, ...), onde a₁ = a e a₂ = 3a/2.

  O que se quer determinar é obtido da fórmula do termo geral de uma PA:

  a₁₀ = a₁ + (10 -1)r = a + 9r    [1]

  Restando, portanto, para concluir a solução do exercício determinar o valor de r. Isto é feito a partir da definição de uma PA:

  a₂ = a₁ + r => 3a/2 = a + r => r = (3a/2) - a = (3a - 2a)/2 = a/2 

  Substituindo em [1] vem:

  a₁₀ = a + 9(a/2) = (2a + 9a)/2 = 11a/2

• 3, 9 e 27
• 4, 8 e 16
• 5, 10, 20
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  Condições iniciais da questão:

  a₁ + a₂ + a₃ = 39

  a₁.a₂.a₃ = 729

  Para calcular os três termos da PG é suficiente determinar a razão q e o primeiro termo a₁. A partir da fórmula do termo geral da PG obtemos para as duas equações acima:

  a₁ + a₁q + a₁q² = 39 => a₁ + a₁q +a₁q.q = 39  [1]

  a₁.a₁q.a₁q² = 729 => a₁³q³ = 729 = 3⁶ => (a₁q)³ = 3⁶ => a₁q = 3² = 9   [2]

  Substituindo o valor de a₁q em [1]:

  a₁ + 9 + 9q = 39 => a₁ = 39 - 9 - 9q = 30 - 9q

  E, agora, substituindo o valor de a₁ em [2]:

  (30 - 9q)q = 9 => 30q - 9q² = 9 => 9q² -30q + 9 = 0

  Calculando as raízes da equação do segundo grau obtemos q₁ = 3 e q₂ = 1/3, e de [2] vem que:

  a₁ = 9/3 = 3 para q = 3 => PG (3. 9, 27)

  a₁ = 9/(1/3) = 27 para q = 1/3 => PG (27, 9, 3)

  E, portanto, os três termos das PG's são 3, 9 e 27. Observe que as PG's satisfazem as condições iniciais com relação a soma e ao produto.

  Observe que a fatoração de 729 = 3⁶ = 3.3².3³ e que desse fato poderíamos concluir a resposta.

• 106358
• 120655
• 156897
• 129654
• 107358
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  Condições inciais: PA (1,2,3,...,500) de razão igual 1 e que na soma de seus termos deve ser subtraída a soma dos termos múltiplos de 7 (7, 14, 21, ..., b_n), que formam outra PA de razão 7 cujo primeiro termo é b₁ = 7.

  Para determinar b_n, o último termo da segunda PA, observe que a divisão de 500 por 7 tem resto 3 e desse fato concluímos que b_n = 500 - 3 = 497, ou seja, o maior múltiplo de 7 menor que 500. Resta ainda calcular o número de termos dessa PA, necessário, como veremos, para calcular a soma da PA, o qual  é obtido pelo uso da fórmula do termo geral:

  b_n = b₁ + (n - 1)r => 497 = 7 + (n - 1).7 => 497 = 7 + 7n - 7 => n = 497/7 = 71

  Agora, vamos calcular a soma conforme solicitado na questão. Para isso deveremos calcular a soma dos números inteiros positivos inferiores a 500 (S₁) e subtrair da soma da PA composta dos múltiplos de 7 (S₂).

  Primeiro calculemos S_{1 usando a fórmula da soma de uma PA}:

  S₁ = [(a₁ + a_n)n]/2 = [(1 + 500)500]/2 = 125250

  e, em seguida, calcular S2:

  S₂ = [(b₁ + b_n)n]/2 = [(7 + 497)71]/2 = (504.71)/2 = 17892

  para finalmente obtermos o resultado pedido:

  S = S₁ - S₂ = 125250 - 17892 = 107358

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• 6
• 2
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  Condições iniciais: q > 0 e

  a₁ + a₄ = 27   [1]

  a₃ + a₆ = 108  [2]

  Para se obter a razão q vamos, primeiramente, reescrever as equações [1] e [2] utilizando a fórmula do termo geral de uma PG:

  [1] => a₁ + a₁q³ = 27 => a₁(1 + q³) = 27 => 1 + q³ = 27/a₁

  [2] => a₁q² + a₁q⁵ = 108 => a₁q²(1 + q³) = 108 => 1 + q³ = 108/a₁q²

  Igualando os resultados, vem que:

  27/a₁ = 108/a₁q² => 27a₁q² = 108a₁ => 27q² = 108 => q² = 108/27 = 4

  e, portanto:

  q = ±2

  Como a razão solicitada é maior que 0, concluí-se que q = 2.

• (3, 6, 9, 12, ..., 93)
• (9, 12, 15, 18, ..., 93)
• (6, 9, 12, 15, ..., 93)
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  Condições iniciais:

  a₁ = 2r   [1]

  a₃₀ = 93   [2]

  Para solucionar o exercício é suficiente determinar o primeiro termo e a razão da PA. 

  Da igualdade [2] vem, utilizando-se a fórmula do termo geral da PA, que:

  a₃₀ = a₁ + (30 - 1)r  => 93 = a₁ + 29r   [3]

  Substituindo o valor de a1 (igualdade [1]) em [3]:

  93 = 2r + 29r => 31r = 93 => r = 93/31 = 3

  Daqui e de [1] segue que:

  a₁ = 2r = 6

  Logo a PA é:

  (6, 9, 12, 15, ..., 93)