Questionarious #1 – Potenciação e Radiciação

A) 2^x+3 = 2^x.2³
B) (25)^x = 5^2x
C) 2^x + 3^x = 5^x

• Somente a sentença A) é verdadeira
• Somente a sentença B) é verdadeira
• Somente a sentença C) é verdadeira
• Somente a sentença B) é falsa
• Somente a sentença C) é falsa
• 
• 
  

  Para responder a questão é necessário analisar individualmente cada uma das três sentenças dadas.

  A) É verdadeira em decorrência da propriedade do produto de potências de mesma base: conserva-se a base e somam-se os expoentes;

  B) Podemos escrever como:

  (25)^x = (5²)^x = 5^2x

  Na passagem para a segunda igualdade foi utilizada a propriedade: A potência n da potência m de um número relativo a é igual a potência de a cujo expoente é o produto dos expoentes m e n.

  Logo B) também é verdadeira.

  C) A sentença é obviamente falsa, pois na soma de potências não é viável estabelecer qualquer regra. Para calcular soma de potências é necessário efetuar o cálculo de cada parcela e após somá-las.

  No entanto, observe que a sentença é verdadeira para x = 1. Mas, por exemplo, para x = 2 a igualdade não ocorre:

  2² + 3² = 4 + 9 = 13 e 5² = 25

  E portanto, concluímos que a resposta correta é: Somente a sentença C) é falsa. 

O valor da expressão:

é:

• 5^1/6
• 5^1/4
• 5^1/8
• 5^1/2
• Nenhuma das respostas anteriores
• 
• 
  

  Da propriedade "a raiz de índice m de uma raiz de índice n de a é igual à raiz de índice mn de a", cuja demonstração foi feita no post Exercícios Resolvidos #3 - Radiciação, Exercício 1, obtemos:

  

  
  Na última iguldade foi utilizada a seguinte propriedade: "A raiz de índice n da potência de grau m de a é igual à potência de grau m/n de a", com a = 5, m = 1 e n = 8.
  

• 40
• (1/2)^-8
• -40
• 1/40
• Nenhuma das respostas anteriores
• 
• 
  

  A solução do exercício é consequência direta do uso da propriedade da potenciação a^-m = 1/a^m e da divisão de frações:

  (1/2)^-3 + (1/2)^-5 = 1/(1/2)³ + 1/(1/2)⁵ = 1/(1/2³) + 1/(1/2⁵) =>

  (1/2)^-3 + (1/2)^-5 = 1.(2³/1) + 1.(2⁵/1) = 2³ + 2⁵ = 8 + 32 = 40

• 2⁷
• 2⁹
• 2⁸
• 2¹⁰
• 2⁵⁷
• 
• 
  

  Observe que o numerador da fração pode ser escrito como:

  2²⁸ + 2³⁰ = 2²⁸ + 2²⁸.2² 

  Colocando o termo comum às duas parcelas em evidência vem:

  2²⁸ + 2³⁰ = 2²⁸(1 + 2²) = 2²⁸.5

  Substituindo o valor na fração:

  (2²⁸ + 2³⁰)/10 = 2²⁸.5/10 = 2²⁸/2 = 2²⁷

  E, finalmente, extraindo a raiz cúbica de 2²⁷ obtemos que o valor da expressão é:

  2⁹

• 1/2
• 1/8
• 4/15
• 16/15
• Nenhuma das respostas anteriores
• 
• 
  

  Mais uma vez vamos utilizar a propriedade da potenciação a^-m = 1/a^m e de operações com fações para obter o resultado do exercício:

  E = (3^-1 + 5^-1)/2^-1 = (1/3 + 1/5)/(1/2)

  Determinando o mmc dos denominadores das frações 1/3 e 1/5, que é igual a 15, e somando essas frações:

  E = [(5 + 3)/15]/(1/2) = (8/15)/(1/2)

  Para concluir basta utilizar a propriedade da divisão de frações "conserva-se a primeira e multiplica-se pelo inverso da segunda":

  E = (8/15).(2/1) = 16/15

• 36
• 26
• 24
• 34
• 44
• 
• 
  

  Inicialmente fatore 576, ou seja transforme 576 no produto de potências, cujas bases são números primos:

  576 | 2
  
  288 | 2
  
  144 | 2
  
  072 | 2
  
  036 | 2
  
  018 | 2
  
  009 | 3
  
  003 | 3
  
  001 | 1

  Do procedimento acima vem, então, que:

  √576 = √2⁶.3² = √2⁶.√3² = 2³.3 = 24

  Nas passagens das igualdades acima foram utilizadas as seguintes propriedades:

  • A raiz enésima do produto a.b é igual ao produto das raízes enésimas de a e b. Na solução: n = 2, a = 2⁶ e b = 3²;
  • A raiz enésima de a elevado a m é igual a raiz de índice n/p de a elevado a m/p obtida dividindo-se o índice e o radicando por p. Na solução acima foi utilizada a propriedade para n =2, p = 2 e m = 6 no primeiro fator e m = 2 no segundo.

• a⁴
• aⁿ
• a²ⁿ
• a⁶
• a⁵
• 
• 
  

  A solução da questão é bem simples e é feita pela aplicação direta da seguinte propriedade: no produto de potências de mesma base, conserva-se a base e soma-se os expoentes.

  Logo:

  a²ⁿ⁺¹.a^1-n.a^3-n = a^2n+1+1-n+3-n =  a⁵

Efetue a operação

• 23
• 34
• 3^1/2
• 33
• 50
• 
• 
  

  Reescrevendo cada radical da expressão entre parênteses, onde são utilizados a fatoração dos radicandos e a propriedade da raiz de um produto, obtemos:

  

  

  

  Agora, substituindo os valores obtidos na expressão:

  

  

• a
• a^m-n
• a^2m
• a^m2
• Nenhuma das respostas anteriores
• 
• 
  

  Mais um exercício simples que visa fixar a propriedade do produto de potências de mesma base, e portanto, de rápida e fácil solução:

  a^m.a^m = a^m+m = a^2m

O valor de n é:

• 1
• 2
• 3
• 4
• Nenhuma das respostas anteriores
• 
• 
  

  Calculemos primeiro o valor da expressão do lado esquerdo da igualdade:

  

  Substituindo o valor obtido na igualdade dada, temos:

  

  De [1] vem pela definição de radiciação que:

  

  em decorrência do fato de que potências iguais de mesma base têm necessariamente os expoentes iguais.