O objetivo é apresentar as principais técnicas utilizadas na racionalização de denominadores de frações irracionais, uma vez que não é possível estabelecer uma regra geral face à infinidade de formas que esses denominadores podem assumir.

Para que o entendimento seja mais efetivo é imprescindível o conhecimento das propriedades de Radiciação e Potenciação, dentre outros conceitos que serão apresentados mas não demonstrados, por fugirem ao escopo da matéria.

O assunto está sendo tratado em decorrência do resultado da pesquisa feita no Blog, em que obteve a segunda colocação entre os temas propostos (11 votos). Maiores detalhes podem ser obtidos através do link Consultar Pesquisas na barra lateral de navegação.

FRAÇÕES IRRACIONAIS

Definição

Fração irracional é a que tem pelo menos um termo, o numerador ou o denominador, irracional ou sob radical.

Exemplos:

Exemplos de Frações Irracionais

RACIONALIZAÇÃO DOS DENOMINADORES DE FRAÇÕES IRRACIONAIS

As técnicas a serem explicitadas considerarão, claro, as frações irracionais dos tipos indicados nos exemplos b) e c) acima.

Tem grande importância no processo de racionalização a seguinte propriedade das frações: Uma fração não se altera quando o numerador e o denominador são multiplicados pelo mesmo número diferente de zero.

Definições

Racionalização dos denominadores irracionais de uma fração irracional é a operação que tem por finalidade transformá-la em um número inteiro ou em uma fração equivalente com denominador racional.

Exemplos

Fator racionalizante de uma expressão irracional é uma outra expressão, também irracional, em que o produto entre elas resulta em uma expressão sem radical, ou seja, que a torne uma expressão racional.

Para que o significado de fator racionalizante seja melhor entendido nada como alguns exemplos:

Exemplos de Fatores Racionalizantes

Observe que nos exemplos da definição de Racionalização dos denominadores irracionais foi utilizado o conceito de fator racionalizante.

Produtos Notáveis

Os produtos notáveis, ou derivados deles, têm um papel importante na racionalização de denominadores de frações irracionais. Por isso, faço um parêntesis para, antes de colocar as técnicas, definir alguns dos mais utilizados:

1) a2 – b2 = (a + b)(a – b)

2) a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2)

3) a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2)

Note que no exemplo b) acima foi utilizado o produto notável definido em 1) e no c) o definido em 2).

Técnicas ou Regras de Racionalização Mais Frequentes

T1. Frações irracionais do tipo:

Racionalização do Tipo T1

têm como fator racionalizante:

Fator Racionalizante Tipo T1

Exemplos:

Exemplos Racionalização do Tipo T1

T2. Frações irracionais que têm no denominador um binômio de termos que são do mesmo índice 2 (raízes quadradas):

Racionalização do Tipo T2

têm como fatores racionalizantes:

\LARGE a\mp\sqrt{b}\text{ ou }\sqrt{a}\mp\sqrt{b}\text{ ou }\sqrt{\sqrt{a}\mp\sqrt{b}}

respectivamente.

Demonstração do segundo tipo:

Bem simples, basta somente usar o produto notável definido em 1) acima:

\LARGE (a\pm\sqrt{b})(a\mp\sqrt{b}) = a^2-(sqrt{b})^2 = a^2-b

A demonstração dos demais seguem raciocínio semelhante e ficam como exercício.

Exemplos

Exemplos Racionalização do Tipo T2

T3. Frações irracionais que têm no denominador um polinômio de termos que são do mesmo índice 2 (raízes quadradas):

\LARGE \frac{N}{\sqrt{a}\pm\sqrt{b}\pm\sqrt{c}\pm\text{. . .}\pm\sqrt{l}}

A idéia é fazer recair no caso anterior mediante uma adequada associação de termos. Para ilustrar, é apresentada a demonstração para n = 3. Você observará que a racionalização necessitará de dois fatores racionalizantes.

Demonstração:

Demonstração do Fator Racionalizante Tipo T3

Exemplo:

Exemplos Técnica T3 de Racionalização

T4. Frações irracionais que têm no denominador um binômio de termos que são do mesmo índice 3 (raízes cúbicas):

Técnica T4 de Racionalização

têm como fator racionalizante:

Fator Racionalizante Tipo T4

A demonstração já foi feita no exemplo c) da definição de fator racionalizante e é consequência dos produtos notáveis 2) e 3) definidos anteriormente.

Referências:

  1. Abecedário da Álgebra (Volume 1 – Ciclo Ginasial), Darcy Leal de Menezes, Rio de Janeiro, Departamento de Imprensa Nacional, primeira edição, 1959;
  2. Praticando Matemática, Álvaro Andrini, São Paulo, Editora do Brasil S/A.