Logaritmo foi o assunto escolhido, com 13 votos, na pesquisa realizada pelo VICHE. Para ver o resultado e os detalhes basta clicar no link Consultar Pesquisas localizado na barra lateral de navegação.

Antes de prosseguir com a abordagem do tema vencedor registro os nossos agradecimentos a todos os leitores participantes.

No artigo sobre equações exponenciais citamos os dois principais métodos utilizados para resolver este tipo de equação:

  • o de redução a potências de mesma base, e
  • o que utiliza o conceito e propriedades de logaritmos.

O primeiro foi tratado naquele artigo com a colocação de conceitos, exemplos e exercícios resolvidos, em que estes, foram propositalmente selecionados, visando apresentar o uso de técnicas diferenciadas na resolução de equações exponenciais.

O segundo será abordado agora, como já dito, com o intuito de auxiliá-lo a resolver equações do tipo 3x = 7, entre outras, em que não é possível reduzir seus termos a uma potência de mesma base.

Apesar de podermos afirmar com facilidade que x assume um valor entre 1 e 2, pois 3 < 3x = 7 < 9, não sabemos qual é exatamente esse valor e nem o processo para determiná-lo, tomando-se por base os conceitos publicados até aqui no VICHE.

Para isto é necessário acrescentar a seu repertório de conhecimentos a definição e propriedades dos logaritmos.

Definição

Dados a e b números reais e positivos, com a diferente de 1, definimos logaritmo de b na base a, o número x, cuja potência de grau x de a é igual a b. Ou seja:

\Large log_ab=x\Leftrightarrow a^x = b\hspace{20}(0\lt a\ne1\text{ e }b\gt0)

Observações e consequências da definição:

  1. Na expressão a esquerda a é denominado a base do logaritmo, b o logaritmando e x o logaritmo;
  2. Como a e b são ambos positivos e a é diferente de 1, existe um único valor de x que satisfaz a primeira igualdade na expressão acima;
  3. Decorre da definição de logaritmo que loga1 = 0, pois a0 = 1. Em outras palavras, que o logaritmo de 1 em qualquer base é igual 0;
  4. Do mesmo modo, observe que logaa = 1, uma vez que a potência de grau 1 de a é o próprio a. Ou seja, que o logarítmo da base, qualquer que seja a base satisfazendo, claro, as condições da definição, é igual a 1;
  5. Substituindo o valor de x da primeira igualdade na segunda, obtemos que alogab = b;
  6. logab = logac <=> b = c. Decorrência direta da definição (b = alogac) e do fato acima (alogac = c). Traduzindo: dois logaritmos em um mesma base são iguais se e somente se os logaritmandos são iguais;
  7. Note que de 6. pode-se afirmar, ainda, que em uma igualdade ao se aplicar o logaritmo aos seus membros essa igualdade não se altera;
  8. Ao conjunto de todos os logaritmos dos números reais positivos em uma base a (a > 0 e diferente de 1), denominamos de sistema de logaritmos de base a;
  9. Entre a infinidade de sistemas de logaritmos de base a, dois são particularmente importantes: o sistema de logaritmo decimais ou de base 10 e o sistema de logaritmo neperiano (também chamado de sistema de logaritmos naturais) ou de base e (e = 2,71828…, irracional);
  10. O logaritmo decimal é representado pela notação log10x ou simplesmente log x. E o neperiano por logex ou ln x;
  11. Fato histórico 1: Henry Briggs, Matemático Inglês (1561-1630) foi quem primeiro destacou a vantagem dos logaritmos de base 10, publicando a primeira tabela (ou tábua) de logaritmos de 1 a 1000 em 1617;
  12. Fato histórico 2: O nome neperiano vem de John Neper, Matemático Escocês (1550-1617), autor do primeiro trabalho publicado sobre a teoria dos logaritmos. O nome natural é devido ao fato de que no estudo dos fenômenos naturais geralmente aparece uma lei exponencial de base e.

Exemplos:

  1. \log_28=3\text{ porque }2^3=8
  2. \log_5{125}=3\text{ porque }5^3=125
  3. \log_{\frac{1}{3}}{\frac19}=2\text{ porque }(\frac13)^2=\frac19

Antilogaritmo

Sejam a e b dois números reais positivos com a diferente de 1. Se o logaritmo de b na base a é igual a x, então b é o antilogaritmo de x na base a. Em símbolos:

\Large log_ab=x\Leftrightarrow b=antilog_ax\hspace{20}(0\lt a\ne1\text{ e }b\gt0)

Exemplos:

  1. antilog_32 = 9\text{ pois }log_39=2
  2. antilog_{\frac12}3 = \frac18\text{ pois }log_{\frac12}\frac18=3

Propriedades dos Logaritmos

L1. O logaritmo do produto de dois fatores reais e positivos em qualquer base a (a > 0 e diferente de 1) é igual a soma dos logaritmos dos fatores. Isto é:

\Large log_a(b.c)=log_ab+log_ac\hspace{20}(0\lt a\ne1\text{, }b\gt0\text{ e }c\gt0)

Demonstração:

Fazendo z = loga(b.c) temos, usando a definição de logaritmo, que:

az = b.c

Daqui, obtemos pela observação 5. acima:

az = alogab.alogac => az = alogab+logac => z = logab + logac

Substituindo z na última igualdade fica concluída a demonstração.

Uma outra forma, também simples e similar a anterior, de demonstrar a propriedade L1 é esboçada a seguir. Fazendo:

z = loga(b.c), x = logab e y = logac

vamos provar que z = x + y.

Aplicando a definição de logaritmo nas expressões acima obtemos, respectivamente:

az = bc, ax = b e ay = c

Substituindo b e c na primeira igualdade vem que:

az = axay => az = ax+y => z = x + y

A propriedade L1 é válida para o logaritmo do produto de n fatores (n > 2) reais e positivos, ou seja:

loga(b1.b2. … .bn) = logab1 + logab2 + … + logabn

A prova pode ser feita utilizando-se o método de indução sobre n, que consiste em:

  • demonstrar que é verdadeira para n = 2 – já feita;
  • supor que é válida para n = p > 2 e demonstrar que é verdadeira para n = p + 1.

Deixo para vocês a demonstração com a seguinte dica: agrupar como produto de dois fatores de modo a aplicar L1 e após utilizar a hipótese para n = p.

L2. O logaritmo do quociente de dois números reais e positivos em qualquer base a (a > 0 e diferente de 1) é igual ao logaritmo do dividendo menos o logaritmo do divisor nessa mesma base. Em símbolos:

\Large log_a(\frac{b}{c})=log_ab-log_ac\hspace{20}(0\lt a\ne1\text{, }b\gt0\text{ e }c\gt0)

Demonstração:

De maneira semelhante à adotada na propriedade L1, fazendo z = loga(b/c) obtemos:

Demonstração Propriedade L1 - Logaritmos

Como consequência direta da propriedade L2 temos que:

\Large log_a(\frac{1}{c})=log_a1-log_ac\Rightarr log_a(\frac{1}{c})=-log_ac

Cologaritmo

Dados a e b dois números reais positivos, com a diferente de 1, define-se cologaritmo de b na base a ao oposto do logaritmo de b nessa base a. Ou seja:

cologab = -logab = loga(1/b)

L3. O logaritmo da potência de grau x de b em qualquer base a (a, b reais positivos, x real e a diferente de 1) é igual ao produto do expoente x pelo logaritmo de b na base a. Em símbolos:

\Large log_ab^x=x.log_ab\hspace{20}(0\lt a\ne1\text{, }b\gt0\text{ e }x\epsilon R)

Demonstração:

Novamente fazemos uso do procedimento utilizado na demonstração das propriedades anteriores:

Propriedade L3 - Logaritmo

Fica como exercício a demonstração das propriedades L2 e L3 com o uso da segunda técnica adotada para provar a propriedade L1.

Como consequência da propriedade L3 temos que: o logaritmo da raiz de índice n de b na base a é igual ao produto do inverso do índice n pelo logaritmo do radicando na base a, i.e.:

\Large log_a\sqrt[n]{b}=log_ab^{\frac{1}{n}}=\frac{1}{n}log_ab\hspace{20}(0\lt a\ne1\text{, }b\gt0\text{ e }n\epsilon N^*)

Observações sobre as Propriedades L1, L2 e L3

  • São válidas somente quando temos expressões logarítmicas que envolvam as operações de multiplicação, divisão e potenciação;
  • Essas propriedades não permitem obter o logaritmo de uma soma ou diferença [loga(b + c) ou loga(b - c)]. Nestes casos, será necessário primeiro obter o valor da soma ou da diferença.

Mudança de Base

É muito comum, e você já deve ter se deparado com o fato, ter expressões ou equações logarítmicas em que seus membros estejam em bases diferentes.

Como na aplicação das propriedades operatórias, os logaritmos devem estar todos em uma mesma base é fundamental saber como isto é feito.

Você deve se lembrar (se não, volte às observações) que no início deste artigo mencionei como importante o sistema de logaritmo decimais ou de base 10, para o qual foi construída, pelo matemático Henry Briggs, uma tábua de logaritmos que possibilita determinar o seu valor para qualquer número real positivo.

Não abordaremos aqui os conceitos de mantissa e característica do logaritmo decimal utilizados para determinar seu valor com o auxílio da tabela. Fica apenas o registro de sua importância no uso das propriedades de mudança de base que apresentamos a seguir.

L4. Dados a, b e c números reais positivos, com a e c diferentes de 1, tem-se que:

\Large log_ab=\frac{log_cb}{log_ca}\hspace{20}(0\lt a,c\ne1\text{ e }b\gt0)

Demonstração:

Fazendo logab = x, logcb = y e logca = z provemos que x = y/z (note que z é diferente de zero, pois por definição a é diferente de 1). De fato:

Demonstração Propriedade L4

Como consequência da propriedade L4 temos:

  1. logab = logcb.logac: a demonstração é feita transformando logcb para a base a no segundo membro da igualdade;
  2. logab = 1/logba: transforme logab para a base b.

Exercícios Resolvidos

1. Resolver a equação 3x = 7 (lembra-se, a do início do artigo):

Aplicando o logaritmo na base 10 aos dois membros da equação temos:

log 3x = log 7

Pela propriedade L3:

x.log 3 = log 7 => x = log 7/log 3 = 0,845/0,477 = 1,771

2. Um capital de R$50.000,00 foi aplicado a uma taxa de juros compostos de 5% ao ano, e o capital de R$45.000,00 a 6% ao ano. Em quanto tempo os montantes estarão iguais?

Um uso muito comum das propriedades de logaritmo para resolver equações exponencias é no cálculo de juros compostos cuja fórmula é:

Juros Compostos

onde M é o montante, C o capital, i a taxa de juros e t o tempo.

Solução:

Sejam M1 e M2 os montantes correspondentes aos capitais aplicados. Usando a fórmula, temos que:

M1 = 50000(1 + 0,05)t e M2 = 45000(1 + 0,06)t

Temos que determinar o tempo para que M1 = M2. Assim:

Solução Exercício 2

Referência:

  1. Fundamentos de Matemática Elementar, Gelson Iezzi, Osvaldo Dolce & Carlos Murakami, São Paulo, Atual Editora Ltda, edição 1977.