Viche

Curiosidade Matemática #1

fevereiro 11th, 2006

Você sabia que é possível determinar o resultado de uma subtração (o maior menos o menor) entre um número real qualquer composto por três algarismos diferentes (por exemplo: 547) e seu inverso (no sentido de trás para frente: 745), a partir da informação da unidade ou centena desse resultado?

Em linguagem mais sofisticada:

Dados os números reais a e b, 10 < a,b < 1000, onde a é composto de três algarismos distintos e b é igual a a na ordem inversa (ou seja, se a tem a composição “xyz”, x, y e z números reais diferentes entre si, representando a centena, dezena e unidade de a, respectivamente, então b tem a composição “zyx”), é possível determinar o resultado da subtração do maior deles pelo menor, a partir da informação da unidade ou da centena do resultado, isto é, se a > b e a - b tem a composição “def”, conhecido f ou d, a unidade ou centena do resultado, então é possível determinar este resultado.

Exemplificando:

Se a = 745 (x = 7, y = 4, z = 5), então b = 547 e a - b = 745 - 547 = 198 (d = 1, e = 9, f = 8 ). A unidade do resultado é igual a 8 (f) e a centena 1 (d). A partir de f ou de d é possível determinar o resultado (198).

DEMONSTRAÇÃO:

Seja “xyz” a composição de a. Como x representa a centena, y a dezena e z a unidade de a, então:

a = 100x + 10y + z.

Por definição, b tem a composição “zyx” e por analogia:

b = 100z + 10y + x.

Portanto, considerando que a > b, temos x > z (representam as centenas de a e b) e substituindo a e b por seus valores obtemos:

a - b = 100x + 10y + z - (100z + 10y + x)

Eliminando os parenteses efetuando a multiplicação por -1, a famosa troca de sinal:

a - b = 100x + 10y + z - 100z - 10y - x

Efetuando as operações com os termos comuns, ou seja, 100x - x = 99x, 100z - z = 99z e 10y - 10y = 0:

a - b = 99x - 99z

Colocando 99 em evidência - termo comum às duas parcelas:

a - b = 99(x - z)

Até aqui, fica demonstrado que o resultado da diferença entre a e b será sempre um múltiplo de 99.

Como nas duas parcelas y não muda de posição, permanecendo na casa das dezenas e x > z, então o “e” da composição do resultado (”def”) será sempre igual a 9 (lembra do tira 1 dos tempos da aritmética!). E, para finalizar a demonstração, como o resultado será sempre um múltiplo de 99, necessariamente, também, será um múltiplo de 9. Pelo princípio da divisibilidade a soma dos algarismos de um múltiplo de 9 é também um múltiplo de 9 (o zero não vale!!). Como já estabelecemos que e = 9, então d + f = 9.

Agora ficou “mole”. Retornando ao exemplo do início, suponha que algum colega, amigo ou parente seu escolha exatemente o número ali indicado e informe que a centena do resultado é 1 (d) - ou a unidade é 8 (f), tanto faz. Como sabemos que e = 9 (sempre) e d + f = 9 => 1 + f = 9 => f = 9 - 1 = 8. Montando agora a composição “def” teremos 198. VICHE!

Finalmente, observem que o universo de resultados é bastante restrito. Mas dá para se divertir e possivelmente deixar alguém “invocado” com a mágica.

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