Este artigo e o a ser publicado – Parte II – se propõem a apresentar as principais propriedades da Teoria dos Conjuntos, que tem sua origem nos trabalhos do Matemático russo Georg Ferdinand Ludwig Phillipp Cantor, nascido em S. Petersburgo (1845-1918), e são decorrência de três axiomas ou noções primitivas – noções cuja verdade é de si evidente:
a) Conjuntos
A noção de conjunto em Matemática é praticamente a mesma utilizada na linguagem cotidiana: agrupamento, classe, coleção. Por exemplo:
- Conjunto das letras maiúsculas do alfabeto;
- Conjunto dos números inteiros pares;
- Conjunto dos dias da semana;
- Conjunto dos Presidentes da República do Brasil.
b) Elemento
Cada membro ou objeto que entra na formação do conjunto. Assim:
- V, I, C, H, E são elementos do primeiro conjunto acima;
- 2, 4, 6 são elementos do segundo;
- Sábado, Domingo do terceiro; e
- FHC, Lula do último.
c) Pertinência entre elemento e conjunto
Por exemplo, V é um elemento do conjunto das letras maiúsculas do alfabeto, ou seja, V pertence àquele conjunto. Enquanto que v não pertence.
Como se vê são conceitos intuitivos e que se supõe sejam entendidos (evidentes) por todos.
Notação
Conjunto: Representado, de forma geral, por uma letra maiúscula A, B, C, …
Elemento: Por uma letra minúscula a, b, c, x, y, z, …
Pertinência: Sejam A um conjunto e x um elemento. Se x é um elemento de A (ou x pertence a A) indicamos por:
Caso contrário, ou seja, se x não é um elemento de A (ou x não pertence a A) escrevemos:
Representações de Conjuntos
a) Extensão ou Enumeração
Quando o conjunto é representado por uma listagem ou enumeração de seus elementos. Devem ser escritos entre chaves e separados por vírgula ou ponto-e-vírgula.
Exemplos:
- Conjunto dos nomes de meus filhos: {Larissa, Júnior, Thiago, Juliana, Fabiana};
- Conjunto dos meses com menos de 31 dias: {fevereiro, abril, junho, setembro, novembro};
- Conjunto dos números pares inteiros maiores do que 8 e menores do que 22: {10; 12; 14; 16; 18; 20}.
Observações:
- Na representação por extensão cada elemento deve ser escrito apenas uma vez;
- É uma boa prática adotar a separação dos elementos em conjuntos numéricos como sendo o ponto-e-vírgula, para evitar confusões com as casas decimais: {2;3;4} e {2,3;4};
- Esta representação pode, também, ser adotada para conjuntos infinitos em que se evidencia a lei de formação de seus elementos e colocando-se reticências no final: {2, 4, 6, 8, 10, …};
- Representação semelhante pode ser adotada para conjuntos finitos com um grande número de elementos: {0, 1, 2, 3, …, 100}.
b) Propriedade dos Elementos
Representação em que o conjunto é descrito por uma propriedade característica comum a todos os seus elementos. Simbolicamente:
A = {x | x tem a Propriedade P}
e lê-se: A é o conjunto dos elementos x tal que (|) x tem a propriedade P.
Exemplos:
- A = {x | x é um time de futebol do Campeonato Brasileiro de 2006};
- B = {x | x é um número inteiro par e 8 < x < 22}. Último exemplo do item a) acima;
- C = {x | x é um deputado federal eleito em 2006}.
c) Diagrama de Euler-Venn
Um conjunto pode ser representado por meio de uma linha fechada e não entrelaçada, como mostrado na figura abaixo. Os pontos dentro da linha fechada indicam os elementos do conjunto.
Conjunto Unitário e Conjunto Vazio
Embora o conceito intuitivo de conjunto nos remeta à idéia de pluralidade (coleção de objetos), devemos considerar a existência de conjunto com apenas um elemento, chamados de conjuntos unitários, e o conjunto sem qualquer elemento, chamado de conjunto vazio (Ø).
O conjunto vazio é obtido quando descrevemos um conjunto onde a propriedade P é logicamente falsa.
Exemplos de Conjuntos Unitários:
- Conjunto dos meses do ano com menos de 30 dias: {fevereiro};
- Conjunto dos números inteiros maiores do que 10 e menores do que 12: {11};
- Conjunto das vogais da palavra blog: {o}.
Exemplos de Conjuntos Vazios:
- {x | x > 0 e x < 0} = Ø;
- Conjunto dos meses com mais de 31 dias;
- {x | x2 = -1 e x é um número real} = Ø.
Conjunto Universo
É o conjunto ao qual pertencem todos os elementos envolvidos em um determinado assunto ou estudo, e é simbolizado pela letra U.
Assim, se procuramos determinar as soluções reais de uma equação do segundo grau, nosso conjunto Universo U é R (conjunto dos números reais); se estamos interessados em determinar os deputados federais envolvidos com o mensalão, nesse caso o universo U tem como elementos todos os deputados federais da atual legislatura.
Portanto, é essencial, que ao descrever um conjunto através de uma propriedade P, fixemos o conjunto universo em que estamos trabalhando, escrevendo:
Igualdade de Conjuntos
Dois conjuntos A e B são iguais quando todo elemento de A pertence a B e, reciprocamente, todo elemento de B pertence a A:
Observações:
- A título de ilustração: O A invertido na expressão acima significa “para todo”;
- {a, b, c, d} = {d, b, a, c}. O que demonstra que a noção de ordem não interfere na igualdade de conjuntos;
- É evidente que para A ser diferente de B é suficiente que um elemento de A não pertença a B ou vice-versa: A = {a, b, c} é diferente de B = {a, b, c, d}.
Subconjunto
Um conjunto A é um subconjunto de (está contido em) B se, e sómente se, todo elemento x pertencente a A também pertence a B:
onde a notação
significa “A é subconjunto de B” ou “A está contido em B” ou “A é parte de B”. A leitura da notação no sentido inverso é feita como “B contém A”. Observe que a abertura do sinal de inclusão fica sempre direcionado para o conjunto “maior”. Na forma de diagrama é representado como:
Exemplos:
- {1; 2; 3} C {1; 2; 3; 4; 5; 6}
- Ø C {a, b};
- {a, b} C {a, b};
- {a, b, c} ¢ {a, c, d, e}, onde ¢ significa “não está contido”, uma vez que o elemento b do primeiro conjunto não pertence ao segundo.
Observe que na definição de igualdade de conjuntos está explícito que todo elemento de A é elemento de B e vice-versa, ou seja, que A está contido em B e B está contido em A. Assim, para provarmos que dois conjuntos são iguais devemos provar que:
Propriedades da Inclusão
Sejam D, E e F três conjuntos quaisquer. Então valem as seguintes propriedades:
- Ø C D: O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto;
- D C D: Todo conjunto é subconjunto de si próprio (propriedade Reflexiva);
- D C E e E C D => D = E: veja acima (propriedade Anti-Simétrica);
- D C E e E C F => D C F: Se um conjunto é subconjunto de um outro e este é subconjunto de um terceiro, então o primeiro é subconjunto do terceiro (propriedade Transitiva).
Com exceção da primeira propriedade, a demonstração das demais é bastante intuitiva e imediata. Vamos, portanto, provar a primeira:
Partimos da tese de que se o conjunto vazio não é um subconjunto de D, então é necessário que pelo menos um elemento desse conjunto não esteja contido no conjunto D. Como o conjunto vazio não possui nenhum elemento, a sentença Ø ¢ D é sempre falsa. Logo, o conjunto vazio está contido em D é sempre verdadeira.
Conjunto das Partes
Chama-se Conjunto das Partes de um conjunto E – P(E) – o conjunto formado por todos os subconjuntos de E:
Exemplos:
- Se A = {a, b, c}, então P(A) = {Ø, {a}, {b}, {c}. {a.b}, {a.c}. {b,c}, {a,b,c}}
- Se B = {a, b}, então P(B) = {Ø, {a}, {b}, {a,b}};
- Se C = {a}, então P(C) = {Ø, {a}}.
Observações:
- Enfatizo, apesar de colocado na própria definição, que os elementos de P(E) são conjuntos;
- Assim, deve-se ter atenção quanto ao emprego dos símbolos pertence (não pertence) e contido (não contido);
- No primeiro exemplo acima: {a} pertence a P(A) e {{a}} é um subconjunto de P(A);
- Se definirmos n(E) como sendo o número de elementos do conjunto E, então n(P(E)) = 2n(E). A propriedade é válida para conjuntos finitos;
- Veja nos exemplos: n(A) = 3 e n(P(A)) = 8 = 23, n(B) = 2 e n(P(B)) = 4 = 22 e n(C) = 1 e n(P(C)) = 2 = 21.
A demonstração do item 5. é feita pelo Princípio da Indução Finita e será feita oportunamente.
Por enquanto é só. Aguardem o próximo artigo. Enquanto isto dê a sua opinião nos comentários, ela é muito importante.
Referências
- Fundamentos de Matemática Elementar, Gelson Iezzi, Osvaldo Dolce & Carlos Murakami, São Paulo, Atual Editora Ltda, edição 1977;
- Matemática para o Ensino Médio: Volume Único, Manoel Jairo Bezerra, São Paulo, Editora Scipione, 2001.
out 31, 2008 @ 23:42:59
Oi, muito legal suas dicas mais nnaum quewrendo abusar de vc , mais vc pode me mandar algo sobre equações fracionárias e mmc de polinomios????Obrigado
out 02, 2008 @ 17:53:57
OIIIIIIIIIIIIIII
MEUS PARBÉNS…
MUITO LEGAL SEU TRABALHO, AJUDOU-ME BASTANTE EM MINHAS PESQUISAS PARA APRESENTAÇÃO DE UM SEMINÁRIO.
set 12, 2008 @ 17:58:52
>> Oi, amigo já pesquisei no conteúdo Conjuntos e não encontrei a resposta para, quando a letra que representa conjunto está com um travessão sobre ela o que representa (Ō U A). Preciso da resposta,
Obrigado.
>>>wesley>>>
set 10, 2008 @ 12:31:23
Ola bom dia sera possivel vc mandar pra mim as seguintes materias?
Conjunto: noções básicas, operações com conjuntos e conjuntos numéricos.
– Funções: definição, gráficos, domínio, imagem, inversa de uma função, função do 1º grau, função do 2º grau, função modular, função exponencial e função logarítmica e inequações.
– Polinômios: definição, grau, operações e teorema do resto.
– Progressões aritméticas e geométricas.
– Matrizes: operações, inversa e determinante de uma raiz.
– Sistema de equações lineares.
– Análise combinatória: princípio fundamental da contagem, arranjo, permutação e combinação.
– Juros simples e compostos.
– Geometria Plana: área das principais figuras planas, polígonos regulares inscritos e circunscritos.
– Ponto: pontos no plano cartesiano, distância entre dois pontos, obtenção de um ponto em uma reta.
– Reta: equação geral, equação segmentária, equação reduzida, coeficiente angular.
Obrigado e q vou fazer uma prova publica e estou com alguns problemas .
ago 20, 2008 @ 12:58:20
Oi eu tenho q estuda pra prova so senai e ta muito difisil
auguen me ajuda por favor ???
!!!!
ago 20, 2008 @ 09:37:26
essas materias sao otimas, mas gostaria de que me enviassem noçoes intuitivas de conjunto
jul 30, 2008 @ 08:02:54
gostaria que me mandassem tudo que fosse possível que se relaciona com matemtica.
é que a 18 anos que eu não estudo e agora resolvi estudar e preciso me aplicar muito para que em janeiro eu me saia bem nos testes.
é tudo aguardo resposta positiva.
tchau……
jun 15, 2008 @ 14:25:06
Olá !
Eu preciso entregar um trabalho sobre conjuntos, onde tenho que estabelecer relações entre eles para cada região. Sendo que no diagrama estão representados números de I a VII. Os conjuntos são: A, B e C.
SE PUDEREM ME AJUDAR !
OBRIGADA !
maio 17, 2008 @ 00:02:40
olá newton tirei algumas dúvidas no seu site e tenha certeza que vou frequentá-lo por mais vezes, é show de bola muito bom!
abraços!
mar 27, 2008 @ 09:43:10
Parabens..
Muito bom mesmo!!
mar 13, 2008 @ 14:58:38
Olá,
Agradeço as informções sobre conjuntos, foram muito válidas, poderias porém, colocar alguns exercícios com respostas no final!
Um abraço.
Graciela
mar 11, 2008 @ 21:49:52
Tenho 9 anos; estou preparando-me para o concurso do Colégio Militar do Recife; seu site é simplesmente maravilhoso. É muito bom saber que existem pessoas que disfrutam seus conhecimentos conosco. Muito obrigado.
mar 04, 2008 @ 18:31:36
preciso de ajuda de como resolver um conjunto numérico q contenha 3 conjuntos…dakeles q tem 3 circulos…A,B,C
se puder me ajude
obrigada
:*
fev 26, 2008 @ 17:32:40
Eu sei
sim ! ! !
P(B) = P X | X c E
N(P(A)) = N X | X c P X | X A X X | X
fev 20, 2008 @ 00:48:23
preciso de ajuda:dados os conjuntos: A={a,b) e B {b,c,d} determine
P(B) =
N(P(A))=
alguem sabe????
fev 17, 2008 @ 10:15:34
Eu so aluno da escola agrotecnica federal de uberlânia estou no primeiro ano e na materia de matematica achei muita dificuldadde em compreender a explicação da professora na materia em conjuntos resolvi fazer uma busca na internet sobre conjuntos acabei achando esse site fiz uma leitura atentamente as explicações tive algumas duvidas perguntei a uma colega que professora de matemática ela me explico hoje não tenho duvidas graças a este site de explicações.
Obrigado!
fev 12, 2008 @ 21:00:36
Po, isso foi muito complicado no começo, mas com a ajuda de meus pais ,professores consegui entender melhor essas situações
fev 08, 2008 @ 18:22:00
da pra vcs mandar algumas coisas por email?
nações sobre teoria dos conjuntos
1-representação
2-relação de pertinência, relação de inclusão
3-reunião, intersecçã e produto cartesiano
obrigado!
jan 28, 2008 @ 19:00:13
boa-tarde,estou precisando de sua ajudar…
estou me preparando para fazer concursos públicos…e já faz tempo que terminei os estudos…
e estou com dificuldade em Matematica….
você poderia me orientar….
me indicar algum livro…ou outra coisa…
ah!está constando no concurso é Matemática deste da 5 série até o nível médio…
obrigada..fico agradecida abraçossss
nov 26, 2007 @ 12:33:47
não tem sobre os sinais de pertinencia e inclusão?
nov 20, 2007 @ 15:09:43
bom irei fazer um prova relacionado a esse artido citado,pelo q vi ira me ajudar e muito na prova
obrigado
out 03, 2007 @ 10:21:53
to muito grato,a pesquisa ajudou m muit uma vez k nao tava 100% preparado para o teste mas agora tou minimamente preparado,toda busca que fiz deu isatamente aquilo que queria
thanks continuem assim bom trabalho
out 02, 2007 @ 00:46:32
Está ótima a tua página, é bom poder contar com gente bacana como você. OBRIGADO.
out 01, 2007 @ 07:43:10
como estou fazendo um concurso na militar eu presciso achar um assunto.vim procurar sobre o assunto e achei rapidinho!eu gostei muito desse site.toda vez que eu tiver dúvidas só irei vir aqui!
ago 31, 2007 @ 21:55:51
esse site salvou o meu pescoço!!!!!!!!!!!!
ago 15, 2007 @ 11:52:50
gostaria de saber como faço para saber contas pelo google com a pergunta e a respostas sobre:
1-nações sobre teoris dos conjuntos
2-conjuntos dos numeros naturais
3-conjuntos dos numeros inteiros
4-conjuntos dos numeros racionais
5-conjuntos dos numeros reais
6-razão e proporção
7-cálculo algébrico
8-sistema decimal e medida de tempo
9-equacão e inequação em n,z,q e r
10-geometria plana
ago 06, 2007 @ 19:13:29
gostei muito do assunto pois mim fez lembrar o que é conjunto, e como fazer ou organizar.
jul 11, 2007 @ 01:31:24
olha só eu achei muito bom o conteudo que vc colocou para que agente possa estudar me ajudou muito mesmo só que vc poderia ter posto mais conteudo mesmo assim esta otimo
maio 25, 2007 @ 06:25:20
Sou Economista, mestre em Judô, professor de Matemática e apaixonado por tudo o que faço.
Dei uma observada em seus artigos e digo-lhe que estás de parabéns!!! É deste tipo de trabalho que a internet precisa. Isto contribui muito com a educação – tenha certeza disso!
Continue cada vez melhor…
maio 14, 2007 @ 14:06:51
Eu nao consegui entrar na pagina dos exercicios
gostaria que voces me mandasem o exercicios de noçoes de conjuntos.
maio 03, 2007 @ 19:01:09
Olha eu faço sistema de Informção e estou com muita dificuldade em matematica logica e se voceis poder mandar alguma coisa que fala sobre isso para o meu email eu agradeço..
maio 03, 2007 @ 18:56:30
É legal mas, tem muita complicação fiquei perdito igual na aula que o meu professor explica…
abr 18, 2007 @ 19:59:15
Eu quero saber de tudo isso porque eu vou fazer prova
mar 28, 2007 @ 13:39:00
gostaria que tiversse mais informações posivel de tira nossas duvidas.
mar 27, 2007 @ 14:11:50
nao gostei pois nao achei meu trabalho nele
sobre os conjuntos numericos e seus simbolos
mar 27, 2007 @ 10:56:13
Gostei velho! Tá bem detalhado pra se ter as noções preliminares!
Agindo assim, ajudará muitas pessoas!
Abraços!
mar 24, 2007 @ 12:43:07
4CH31 MU17O 8OM M35MO UM4 071M4 4RGUM3N74C4O, V4L3U :)
mar 22, 2007 @ 19:03:03
gostaria qui tivesse exercícios de matemática junto a teoria!!!
mar 16, 2007 @ 10:12:36
Muito bom mesmo! Obrigado. Eu me confundo um pouco com a relação, poderia dizer que a relação de pertinência pode ser feita entre conjuntos, desde que um dos conjuntos sejam um elemento conjunto? e a relação de continência apenas entre conjuntos?
mar 13, 2007 @ 10:48:44
Bem
mar 07, 2007 @ 23:38:06
Tabalipe,
A relação entre A e P(A) é de pertinência conforme dito no E-Mail de resposta enviado para você.
O fato de A e P(A) serem conjuntos, não implica na relação de inclusão entre eles. O que define se um conjunto A está contido em outro B, ou mais claramente, se A é um subconjunto de B, é:
“A é subconjunto (está contido) em B se, e somente se, todo elemento pertencente a A também pertence a B”
como dito acima no post.
Assim, a título de exemplo, se A = {1,2} então:
P(A) = {{}, {1}, {2}, {1,2}}
Observe, que acima em negrito, A pertence a P(A). Agora, os elementos de A são os números 1 e 2, que obviamente não pertencem a P(A), pois por definição P(A) é composto de conjuntos. Logo A não é um subconjunto de P(A), ou que A não está contido em P(A).
Espero ter esclarecido a questão e essa é a lógica :-)
mar 07, 2007 @ 17:43:35
Olá seu Newton, novamente eu por aqui!
Ok, A pertence a P(A) Mas A é um conjunto, P(A) é um conjunto, então, apesar de A ser elemento de P(A), eu ainda assim posso relacioná-los através da relação de inclusão? Isso torna verdadeira a afirmação A não está contido em P(A). Essa é a minha questão.
Posso usar a relação de inclusão, ou por ser A elemento de P(A) nenhuma relação de inclusão pode ser usada para relacionar os conjuntos A e P(A)?
Peço que dê uma pensada nessa questão, já estive falando com alguns professores e não houve consenso, através de minha lógica, penso ser correto afirmar que A não está contido em P(A), por que de fato não está.
Abraço!
mar 06, 2007 @ 13:27:41
Estou com uma questão interessante, cuja resposta óbvia me parece errada.
É correta a afirmação que diz A não está contido em P(A)?
A respeito: A em relação a P(A), é elemento, então não deveria usar a relação de inclusão, afirmação errada. Mas, A e P(A) são conjuntos, então posso relacioná-los usando relações de inclusão, onde a afirmação passa a ser correta. Como saio dessa?
mar 05, 2007 @ 16:45:11
NA VERDADE É UMA PERGUNTA , ESTOU ME PREPARANDO PARA PRESTAR CONCURSO PÚBLICO NO DIA 15 DE ABRIL.
COMO JÁ FAZ ALGUM TEMPO QUE TERMINEI MEUS ESTUDOS E NUNCA PARTICIPER ANTE DE UM CONCURSO ESTOU UM POUCO PERDIDA GOSTARIA QUE SE PUDEREM ME AJUDAR COM ALGUMAS DICAS DE MATEMÁTICA
OBRIGADO AGUARDO RETORNO
mar 02, 2007 @ 21:02:42
Mui dignos organizadores deste.
Quero comprimentar vocês por terém um site deste quilate, esclarecendo dúvidas e servindo de amparo, para aqueles que precisam destas informações.
fev 25, 2007 @ 11:15:03
muito bom o trabalho sobre conjuntos!!! gostaria tambem de teste sobre tal! obrigado!!!
jan 10, 2007 @ 08:13:30
ACHEI OTIMO VAI MIM AJUDAR BASTANTE MUITO OBRIGADO
nov 30, 2006 @ 16:19:58
Achei maravilhoso esse conteúdo.
Espero sempre contar com essa ajuda.
nov 04, 2006 @ 19:29:07
Lucas,
Apesar do mérito ter sido todo seu, fico satisfeito em saber que o material que lhe enviei foi muito bem aproveitado.
Nas próximas torço para que tire 10 :-) e que seja consequência natural do entendimento da matéria estudada.
Um grande abraço e qualquer coisa estou por aqui.
nov 03, 2006 @ 08:51:56
Fala Newton, show de bola esse artigo eim.
Tirei 8,5 na avaliação sobre esse assunto, lembra que lhe pedi um material sobre isso a algum tempo atrás?
Fui bem pra caramba na prova :)
No mais tudo certo?
Abração