Conjuntos: Opera̵̤es РParte II
novembro 4th, 2006
Em sequência ao artigo Conjuntos: Noções Básicas – Parte I vamos agora abordar as principais operações com conjuntos.
Reunião ou União
Consideremos os dois conjuntos:
A = {b, l, o, g, i, e} e B = {b, v, i, l, c, h, e}
Podemos pensar num novo conjunto C, constituÃdo por aqueles elementos que pertencem a A ou que pertencem a B. No exemplo em questão esse novo conjunto é:
C = {b, l, o, g, v, i, c, h, e}
Repare que o conjunto C foi formado a partir dos conjuntos A e B, onde os elementos repetidos (os que estão em A e em B) foram escritos apenas uma vez, e dizemos que se trata da reunião (ou união) do conjunto A com o conjunto B. A reunião (ou união) de A e de B (ou de A com B) é usualmente representada por A U B. Com esta notação tem-se:
A U B = {b, l, o, g, v, i, c, h, e}
Esse exemplo sugere-nos a seguinte definição geral para a reunião de conjuntos.
Definição 1. Dados dois conjuntos quaisquer A e B, chama-se união ou reunião de A e B o conjunto formado pelos elementos que pertencem a pelo menos um desses conjuntos (podendo, evidentemente, pertencer aos dois), isto é, o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A ou a B. Em sÃmbolos:
Exemplos:
- {1; 2} U {3; 4} = {1; 2; 3; 4}
- {n, e, w, t, o, n} U {h, o, r, t, a} = {a, e, h, n, o, r, t, w}
A definição 1 nos diz que um elemento x pertencer a A U B é equivalente a dizer que uma das proposições “x pertence A” ou “x pertence a B” é verdadeira. Desse fato decorre que:
Propriedades da União
Sejam A, B e C três conjuntos quaisquer. Então são verdadeiras as seguintes propriedades:
- Idempotência: A U A = A -> A união de um conjunto qualquer A com ele mesmo é igual a A;
- Comutativa: A U B = B U A;
- Elemento Neutro: Ø U A = A U Ø = A -> O conjunto Ø é o elemento neutro da união de conjuntos;
- Associativa: (A U B) U C = A U (B U C).
Demonstração da propriedade comutativa:
Da definição da união de conjuntos temos:
Como A U B é o conjunto dos elementos de U (universo) que, ou pertencem a A, ou pertencem a B e B U A é o conjunto dos elementos de U que, ou pertencem a B, ou pertencem a A, e as proposições p v q (p ou q) e q v p (q ou p) têm o mesmo valor lógico, concluÃ-se que a propriedade é verdadeira.
Intersecção
Seja A o conjunto dos eleitores que votaram em Lula para Presidente e B o conjunto dos eleitores que votaram em Arlete para Governadora do DF, no primeiro turno das eleições de 2006. É certo supor que houve eleitores que votaram simultaneamente nos dois candidatos no primeiro turno. Assim somos levados a definir um novo conjunto, cujos elementos são aqueles que pertencem ao conjunto A e ao conjunto B. Esse novo conjunto nos leva à seguinte definição geral.
Definição 2. Sejam A e B dois conjuntos quaisquer. Chamaremos intersecção de A e de B (ou de A com B) a um novo conjunto, assim definido:
Exemplos:
Da definição de intersecção resulta que:
Os fatos acima nos diz que A intersecção B é um subconjunto de A e de B, ou seja:
Propriedades da Intersecção
Sejam A, B e C três conjuntos quaisquer. Então são verdadeiras as seguintes propriedades:
1. Idempotência:
2. Comutativa:
3. Elemento Neutro РO conjunto universo U ̩ o elemento neutro da intersec̤̣o de conjuntos:
4. Associativa:
Demonstração da propriedade associativa:
O conjunto do primeiro membro da igualdade é constituÃdo pelos elementos x pertencentes a U tais que (por definição):
onde na segunda passagem foi utilizada, novamente, a definição de intersecção entre os conjuntos B e C. Tendo em vista que a proposição p ^ (q ^ r) tem o mesmo valor lógico da proposição (p ^ q) ^ r vem que esse conjunto é constituÃdo por elementos de U tais que:
Assim, fica demonstrado que o primeiro conjunto da igualdade está contido no segundo. Para concluir a demonstração, isto é, provar que o segundo conjunto está contido no primeiro, é só seguir o caminho inverso
Quando dois conjuntos quaisquer A e B não têm elemento comum, dizemos que A e B são conjuntos disjuntos. Em outras palavras, dois conjuntos são disjuntos quando a intersecção entre eles é igual ao conjunto vazio.
Propriedades da União e Intersecção
Sejam A, B e C três conjuntos quaisquer, então valem as seguintes propriedades que inter-relacionam a união e intersecção de conjuntos:
Note que a propriedade 3 é a distributiva da união em relação à intersecção e a 4 a distributiva da intersecção em relação à união.
Diferença
Seja A o conjunto dos eleitores que votaram em Lula para Presidente e B o conjunto dos eleitores que votaram em Arlete para Governadora do DF, no primeiro turno das eleições de 2006. É certo pensar que teve eleitores que votaram em Lula mas não votaram em Arlete. Isto nos leva ao conjunto dos elementos de A que não são elementos de B.
Definição 3. Sejam A e B dois conjuntos quaisquer. Chamaremos a diferença entre A e B o conjunto dos elementos de A que não pertencem a B.
Exemplos:
- {a, b, c} – {a, c, d, e, f} = {b}
- {a, b} – {e, f, g, h, i} = {a, b}
- {a, b} – {a, b, c, d, e} = Ø
Antes de prosseguirmos apresento, a tÃtulo de ilustração, um diagrama de Euler-Venn com os conceitos até aqui tratados, onde a diferença corresponde à parte branca de A, a intersecção à parte cinza claro e a união à essas duas partes mais a cinza escuro.
Note que as propriedades 1. e 2. acima podem ser facilmente visualizadas nesse diagrama.
Complementar de B em A
Defini̤̣o 4. Dados os conjuntos A e B quaisquer, com B contido em A, chama-se complementar de B em rela̤̣o a A o conjunto A РB, e indicamos como:
Exemplos:
- A = {a, b, c, d, e, f} e B = {a, b} => complementar: A – B = {c, d, e, f}
- A = B = {1} => complementar: A – B = Ø
Observe que nos exemplos acima a condição para que o complementar de B em relação a A esteja definido é cumprida (B contido em A).
Propriedades da Complementação
Sendo B e C subconjuntos de A, valem as propriedades a seguir:
Vamos demonstrar apenas a primeira parte da propriedade 1. As demais deixo como exercÃcio, me colocando à disposição para sanar eventuais dúvidas.
Da definição de intersecção de conjuntos e do complementar temos que:
Referências
- Fundamentos de Matemática Elementar, Gelson Iezzi, Osvaldo Dolce & Carlos Murakami, São Paulo, Atual Editora Ltda, edição 1977;
- Matemática para o Ensino Médio: Volume Único, Manoel Jairo Bezerra, São Paulo, Editora Scipione, 2001.
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Categorias: Matemática,Técnico
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58 Comentários Adicione o seu
1. Nailson&hellip | novembro 17th, 2006 at 13:26:00
O comentário não é sobre o artigo não, é só para elogiar o layout… fade in e fade out nos menus ficou legal…esse é meu chefe!
2. cleiton ZUCOLOTTO DE PAIV&hellip | novembro 25th, 2006 at 21:53:53
que site legal!
Muito bom para que gosta de matemática e estuda como eu, hehe! Abraço amigo. tanho alguns teoremas loucos para nÃvel superior, se lhe interessar! Abraço
3. Daniel Mello&hellip | fevereiro 25th, 2007 at 01:00:24
Oi amigo! eu gostaria de Saber como realizar essa operação na tabela verdade
(A-C)U(B-C) = (AUB)-C , onde A B e C são conjuntos quaisquer
o diagrama foi feito.. falta fazer relação em tabela da verdade
o meu problema é saber o seguinte: A-C, A-B é igual a que expressão do tipo AinterB ou AUB? .. pq sendo assim.. inter é “e” ^ e U é “ou” v
qlqr informação eu agradeço!!
abraço
4. vanderlei ribeiro&hellip | fevereiro 28th, 2007 at 10:52:53
este site da anglo vestibulares é muito bom, pois ele ensina bemresumido de uma forma que qualquer aluno possa entender.
5. Tiago&hellip | março 14th, 2007 at 17:15:16
Nossa, estou atorando as matérias desse site…ele ensina não como aqueles professores burro de ensino medio… ensina o porque e isso nós faz gostar de matématica… valew pelo site… continue melhorando cada vez mais que vcs vão longe…
6. Felizangelo Pereira&hellip | abril 8th, 2007 at 19:22:50
Qual e o diagrama dessa representação desse conjuntos associativa: ( AUC) U B
7. metusalem&hellip | abril 12th, 2007 at 19:23:47
o sit é bem interessante essa parte de demonstrações na vida de um matemático desesperado para resolver algumas questoes de Algebra pura tem me ajudado bastante.
8. daiana&hellip | abril 18th, 2007 at 12:56:51
olá , site maneiro , mas eu gostaria q vc mandasse se for possivel para o meu Email 2 problemas envolvendo operações com conujuntos
desde já agradeço!!!
9. Bruno&hellip | maio 9th, 2007 at 19:12:48
gostei muito do site pena que nao e muito conhecido
10. Leila Oliveira&hellip | junho 13th, 2007 at 10:29:01
gostei muito so site, mas gostaria que enviassem probelmas com operações entre conjuntos resolvidos para meu e-mail (se possivel ) Obrigada
11. *brendinha*&hellip | junho 21st, 2007 at 19:41:21
poxa legal esse site me ajudou mto…amei mesmu*=]~
esse site me ensinou mto tbm adorei continue melhorando pra que eu possa senpre aprender! =]*
12. =Rita&hellip | julho 11th, 2007 at 11:26:58
Gostaria que resolvesse este problema:
Em uma escola que tem 415 alunos, 221 estudam inglês, 163 estudam francês, e 52 estudam ambas as lÃnguas. Quantos alunos estudam inglês ou francês? Quantos alunos não estudam nenhuma das duas?
Resposta com resolução.
Obrigada!
13. lucas&hellip | julho 17th, 2007 at 16:03:21
Desculpe perguntar isso que nao tem a ver com a materia mas, eu queria saber como resolver isto:
A dá a B tantos reais quantos B possui e A da a C tantos reais quantos C possui.Depois B da a A e a C tantos reais quantos cada um possui e C finalmente faz a mesma coisa.Se no final,terminam todos com 16 reais e sabendo que C começou com 50% de B mais um real, então A começou com?
Por favor responda a minha pergunta!
Obrigado
14. Felipe J. Marcilio&hellip | novembro 18th, 2007 at 15:47:38
o que é produto notável?
15. Alessandra Martins&hellip | janeiro 10th, 2008 at 10:39:41
Achei ótimo esses resumos de matemática, pois estou estudando pra concurso e isso tem me ajudado bastante.
16. Ana&hellip | janeiro 26th, 2008 at 10:59:13
Olá, por favor se alguém poder mim ajudar, explique como fazer este exercicio, a muitos dias que quebro a cabeça.
Num grupo de 99 esportitstas, 40 jogam vôlei, 20 jogam vôlei e xadrez, 22 jogam xadrez e tênis, 18 jogam vôlei e tênis, 11 jogam as três modalidades. O número doas pessoa que jogam xadrez é igual ao numero de pessoas que jogam tênis.
a) quantos esportistas jogam tênis e não jogam volei?
b) quantos jogam xadrez ou tênis e não jogam vôlei?
c) quantos jogam vôlei e não jogam xadrez?
Resposta do livro:
a) 36
b) 59
c)20
Desde já obrigada
17. Ana&hellip | janeiro 26th, 2008 at 11:07:06
Olá por favor mim ajuda a resolver esta questão:
Num grupo de 99 esportistas, 40 jogam vôlei, 20 jogam vôlei e xadrez, 22 jogam xadrez e tênis, 18 jogam v^lei e tênis e 11 jogam as três modalidades. O número de pessoas que jogam xadrez é igual ao numero de pessoas que jogam tênis.
a) quantos jogam tênis e não jogam vôlei?
b) quantos jogam xadrez ou tênis e não jogam vôlei?
c) quantos jogam vôlei e não jogam xadrez?
Reposta do livro:
a) 36
b) 59
c) 20
Por favor se alguem ppoder mim ajudar fico agradecida.
18. josiane&hellip | janeiro 30th, 2008 at 15:11:40
Gostei muito desse conteudo, tudo que vocês tiverem disponiveis sobre conjuntos me enviem por favor.Obrigado.
19. Thais&hellip | fevereiro 20th, 2008 at 16:44:23
Eu achei muito dificil!!!!É eu tenho prova terça agoraaa!!!!!
ME AJUDEM POR FAVORR
20. franklin&hellip | fevereiro 21st, 2008 at 16:21:48
umm
estou precisando das demontraçao das leis de morgan propriedade 4,5de compementar
21. Alessandra nascimento&hellip | março 5th, 2008 at 11:04:06
gostaria que me indicassem sites com exercicios de conjuntos com questoes bem complexas e que ja estejam resolvidos. pode enviar para o meu e-mail . Agradeçida
22. katrinne rose&hellip | março 5th, 2008 at 20:05:02
eu queria que vc mandasse problemas de matematica com conjuntos
23. Elisabete Ap. Mosqueira&hellip | março 11th, 2008 at 17:24:32
Vou fazer a prova do concurso Inss e gostaria de receber alguns problemas de operações com conjunto,cálculos com porcentagem,regra de três e juros simples e composto.Não precisa ser muita coisa,pois é só para rememorar, afinal já fazem uns bons 20 anos que não mexo com isso.
Desde já, agradeço,
Elisabete
24. Hannah&hellip | março 12th, 2008 at 02:47:07
Oiiii..vc poderia me mandar alguns exercicios de conjuntoo complementar?
estou com umas duvidas =/
agradeço.
bjusss
25. Hannah&hellip | março 12th, 2008 at 02:48:30
conjuntos numericos e dizima periodicaa tbmm
obrigadaa
26. rosemeyre grego&hellip | março 20th, 2008 at 00:33:39
desculpem, mas não consigo chegar na resposta do livro
a) – 36
b) – 59
c) – 20
obrigada
27. tatiana soares costa&hellip | março 23rd, 2008 at 17:54:54
gostaria q me mandasse exercicios de matematica de ensino fundamental com respostas.
28. Sueni&hellip | março 26th, 2008 at 12:27:05
Conjuntos, operações simples com conjuntos.
Números naturais, operações, múltiplos e divisores. Números primos, fatoração.
Frações, operações com frações. Números mistos.
Números decimais, operações.
Medidas: comprimento, superfÃcie, massa, capacidade. Sistema monetário brasileiro.
Geometria: ângulos, triângulos, polÃgonos. Sólidos simples.
gostaria que mandasse exercicios com respostas dessas matérias. obrigada
29. Sueni&hellip | março 26th, 2008 at 12:32:14
Site, está muito bem elaborado, e tem meajudado muito em meus estudos.
30. Antonio&hellip | março 30th, 2008 at 23:18:30
SUENI
servidor fazendário??
gostaria que mandasse as mesmas coisas que a usuária acima solicitou.
Conjuntos, operações simples com conjuntos.
Números naturais, operações, múltiplos e divisores. Números primos, fatoração.
Frações, operações com frações. Números mistos.
Números decimais, operações.
Medidas: comprimento, superfÃcie, massa, capacidade. Sistema monetário brasileiro.
Geometria: ângulos, triângulos, polÃgonos. Sólidos simples.
obrigado
31. adriana&hellip | março 31st, 2008 at 10:54:02
muito legal a maneira como o assuto é passado .seria melhor se colocassem exercicios comentados para a gente fazer e analisar as respostas. um beijo .
32. Lindamir Terezinha xavier&hellip | abril 1st, 2008 at 23:07:08
Gostaria de receber problemas sobre conjuntos,com resolução. Obrigada
33. samyr&hellip | abril 3rd, 2008 at 14:37:26
amigo como eu encontro esse resultado ” dado o conjunto A{A,3,0} determine o numero de elementos P(A)
34. samyr&hellip | abril 3rd, 2008 at 14:39:41
se n(A)=30,n(B)=4 e n(AuB) calcule (A^B)
35. tami&hellip | abril 5th, 2008 at 18:55:31
ola!!! a explicação de vcs esta mto boa mas eu gostaria de saber como fazer as propriedades distributivas num diagrama.
por favor, me ajundem!!!!!!
36. Thiago&hellip | abril 9th, 2008 at 17:15:20
ótimo site, está me ajudando muito para um concurso público
37. Meyra Sandes&hellip | abril 9th, 2008 at 17:30:17
gostaria que mandasse as mesmas coisas que a usuária acima solicitou.
Conjuntos, operações simples com conjuntos.
Números naturais, operações, múltiplos e divisores. Números primos, fatoração.
Frações, operações com frações. Números mistos.
Números decimais, operações.
Medidas: comprimento, superfÃcie, massa, capacidade. Sistema monetário brasileiro.
Geometria: ângulos, triângulos, polÃgonos. Sólidos simples.
obrigado
38. jose walter Pereira&hellip | abril 12th, 2008 at 23:12:56
Vou fazer o concurso Servidor Fazendário e gostaria de receber as mesmas coisas que os usuários acima solicitou.
Conjuntos, operações simples com conjuntos.
Números naturais, operações, múltiplos e divisores. Números primos, fatoração.
Frações, operações com frações. Números mistos.
Números decimais, operações.
Medidas: comprimento, superfÃcie, massa, capacidade. Sistema monetário brasileiro.
Geometria: ângulos, triângulos, polÃgonos. Sólidos simples
obrigado.
39. Eliane&hellip | abril 16th, 2008 at 12:14:29
Fostei muito do site só que seria mais completo se fosse colocado exercÃcios com suas respectivas soluções.
40. Angela&hellip | maio 5th, 2008 at 18:50:35
Muito pouco conteudo faltou maiis conteudo
huahauhuhuah♥
41. Mariana Ferreira&hellip | maio 24th, 2008 at 14:44:57
Olá gostei muito da matéria. Mas, se será que daria para colocar os diagramas de Venn? Porque assim dá pra aprender melho.Beijos, e obrigada
42. gilma santos&hellip | maio 26th, 2008 at 12:24:27
gostaria de aprender mais sobre operacoes com tres conjunto
43. Dinis Guibundana&hellip | julho 22nd, 2008 at 11:02:49
Gostei do artigo mas penso que é importante mostrar a aplicabilidade da teoria de conjuntos na resolução de problemas práticos do quotidiano. Aliás é preciso mostrar que a matemática serve para isso.
44. Dayane Siqueira Pinto&hellip | janeiro 23rd, 2009 at 22:15:54
Ola, gostei muito do site… me ajudou muito…
Mais gostaria de solicitar se fosse possÃvel mais questões como as que ja existem com respostas explicativas, pois nos ajuda muito…
45. millena&hellip | fevereiro 27th, 2009 at 15:37:02
adorei o site eu entrei para estudar
46. henrique_ChAoS&hellip | março 13th, 2009 at 10:41:12
muito legaL!!!!
;p
ajudo muito
by: henrique_ChAoS
47. Victor Martins&hellip | março 17th, 2009 at 16:32:38
ajudou muito, eu ñ estava entendendo nada, até ver o site
vlw……….
48. karoline&hellip | março 19th, 2009 at 18:22:50
mmmmmmuito obrigado, sua explicacao e otima aproveitei tudo!!!!
49. maria geralda eunice&hellip | março 27th, 2009 at 11:40:37
gostaria q resolvesse este problema:
um clube oferecea seus associados aulas de tres modalidades de esporte:nataçao ,tenis,futebol.Nenhum associado pode se escrever simultaneamente emtenis e futebol,pois por problemas administrativo,as aulas destes dois esporte serão dadas no mesmo horario.Encerando as escriçoes .verificou-se que:dos 85 inscritos em natação ,50 só faão natação;o total de inscritos para as aulas de tenis foi de 17 e, para futebol,de 38;o numero de inscritos só para as aulas de futebol exede em 10 o numero de inscrito só para as de tenis .qtos associados se inscreveram simultaneamente para aulas de futebol e natação?resolução por favor, abrigado
50. sandra&hellip | abril 5th, 2009 at 22:10:50
por favor gostaria q me dessem uma luz!!!!
o problema é esse problema….
“Ao término de uma excursão à s cidade A,B e C, o guia distribuiu um questionário aos turistas, e concluiu que:
a) 72 pessoas gostaram da cidade A
b) 54 pessoas gostaram da cidade B
c) 45 gostaram da cidade C
d)38 gostaram da cidade A e B
e)32 gostaram das cidades A e C
f)25 gostaram das cidades B e C
g)22 gostaram das cidades A,B e C
O numero de turistas que gostaram apenas de uma cidade é? e pq?
51. Luiz Soares&hellip | abril 10th, 2009 at 15:16:38
Achei seu site hoje no Google, e gostei mto! Já assinei seu RSS Feed! Continue com esse ótimo trabalho!
52. Dayane&hellip | maio 4th, 2009 at 21:32:21
Naõ entendir muito…. explique com mais exemplos
53. luiz&hellip | julho 14th, 2009 at 20:05:49
por favor explique com mais exemplos
54. Luiz Soares&hellip | julho 26th, 2009 at 15:28:55
Alou amigo! Fiz umas buscas no Google, e encontrei seu site! Gostei muito! Já salvei nos meus Favoritos! Continue assim!
55. luciano&hellip | setembro 14th, 2009 at 11:27:30
Cara adorei os lances da propriedade da uniao e inter…
vlw
56. Nany&hellip | março 17th, 2010 at 14:58:41
Está meio complicado, não comsegui entender muita coisa…
poderia ficar mais claro (exclicar um pouco melhor)…
57. DIONATAN&hellip | março 21st, 2010 at 19:56:54
Não está muito claro a explicação
58. suzane vigueira&hellip | abril 5th, 2010 at 17:49:06
bote respostas sobre todos os conjuntos ou seja uniao, intersecçao ,diferença etc…
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