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Curiosidade Matemática #5 - Método de Pitágoras para Calcular a Potência de Grau 2 de um Número

novembro 19th, 2006

A potenciação nos fornece um meio simples, prático e rápido para calcularmos a potência de grau 2 de um número inteiro, comumente conhecida como o quadrado desse número.

Como todos sabem, o meio em questão, corresponde ao produto (multiplicação) do número por ele mesmo, ou seja:

5² = 5 x 5 = 25

Mas, Pitágoras, filósofo e matemático grego, século VI antes de Cristo, inventou uma regra diferente (e um pouco mais complicada, convenhamos) para obter o resultado da potência de grau 2 de um número, que consiste em:

O quadrado de um número inteiro n é igual a soma dos n primeiros números inteiros ímpares.

Para números pequenos vemos, facilmente, que a afirmação é verdadeira, através do uso direto do enunciado. Vejam:

• 1² = 1 (n = 1)
• 2² = 1 + 3 = 2 x 2 = 4 (n = 2)
• 5² = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 5 x 5 = 25 (n = 5)
• 7² = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 = 7 x 7 = 49 (n = 7)

E como saber que a afirmação é válida para o número 5.227, por exemplo? No “braço” é extremamente trabalhoso comprovar, pois teríamos que somar os primeiros 5.227 números inteiros ímpares e, após, verificar que o resultado é igual ao quadrado de 5.227.

No entanto, se observarmos com um pouquinho mais de atenção veremos que a sequência formada pelos primeiros n números ímpares:

(1, 3, 5, 7, …., a_n)

é uma Progressão Aritmética (PA) de razão r = 2, onde a_n representa o enésimo termo ou o enésimo número ímpar.

Desse fato é suficiente, agora, utilizarmos das propriedades de uma PA. Mais especificamente das fórmulas do termo geral e da soma dos termos de uma PA finita, para demonstrarmos que Pitágoras esta com toda a razão (não a da PA).

Primeiro vamos determinar o valor de a_n em função de n:

a_n = a₁ + (n - 1)r = 1 + (n - 1)2 = 2n - 1

Para concluirmos, mostrando que a soma S_n é igual a n²:

S_n = [(a₁ + a_n)n]/2 = [(1 + 2n - 1)]n/2 = 2n²/2 = n²

Pronto! não é que o homem tinha razão?

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Categorias: Curiosidades, Matemática, Técnico

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