Matematica feeds

Curiosidade Matemática #5 – Método de Pitágoras para Calcular a Potência de Grau 2 de um Número

novembro 19th, 2006

A potenciação nos fornece um meio simples, prático e rápido para calcularmos a potência de grau 2 de um número inteiro, comumente conhecida como o quadrado desse número.

Como todos sabem, o meio em questão, corresponde ao produto (multiplicação) do número por ele mesmo, ou seja:

52 = 5 x 5 = 25

Mas, Pitágoras, filósofo e matemático grego, século VI antes de Cristo, inventou uma regra diferente (e um pouco mais complicada, convenhamos) para obter o resultado da potência de grau 2 de um número, que consiste em:

O quadrado de um número inteiro n é igual a soma dos n primeiros números inteiros ímpares.

Para números pequenos vemos, facilmente, que a afirmação é verdadeira, através do uso direto do enunciado. Vejam:

  • 12 = 1 (n = 1)
  • 22 = 1 + 3 = 2 x 2 = 4 (n = 2)
  • 52 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 5 x 5 = 25 (n = 5)
  • 72 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 = 7 x 7 = 49 (n = 7)

E como saber que a afirmação é válida para o número 5.227, por exemplo? No “braço” é extremamente trabalhoso comprovar, pois teríamos que somar os primeiros 5.227 números inteiros ímpares e, após, verificar que o resultado é igual ao quadrado de 5.227.

No entanto, se observarmos com um pouquinho mais de atenção veremos que a sequência formada pelos primeiros n números ímpares:

(1, 3, 5, 7, …., an)

é uma Progressão Aritmética (PA) de razão r = 2, onde an representa o enésimo termo ou o enésimo número ímpar.

Desse fato é suficiente, agora, utilizarmos das propriedades de uma PA. Mais especificamente das fórmulas do termo geral e da soma dos termos de uma PA finita, para demonstrarmos que Pitágoras esta com toda a razão (não a da PA).

Primeiro vamos determinar o valor de an em função de n:

an = a1 + (n – 1)r = 1 + (n – 1)2 = 2n – 1

Para concluirmos, mostrando que a soma Sn é igual a n2:

Sn = [(a1 + an)n]/2 = [(1 + 2n - 1)]n/2 = 2n2/2 = n2

Pronto! não é que o homem tinha razão?

Visite o Cabeçolinha – a bola (de gude) da vez.

Artigos Relacionados:

  1. Curiosidade Matemática #12 – Desafio dos quatro 4
  2. Curiosidade Matemática #11 – Fatos Curiosos
  3. Curiosidade Matemática #9 – 1089: O Número (dito) Mágico
  4. Curiosidade Matemática #7 – Tabelas ‘Binárias’ Que Adivinham
  5. Curiosidade Matemática #3 – Como Pode??
  6. Curiosidade Matemática #2 – A Tabuada de Pitágoras
  7. Curiosidade Matemática #1

Posts relacionados trazidos a você pelo Yet Another Related Posts Plugin.

Categorias: Curiosidades,Matemática,Técnico

Imprima este artigo Envie este artigo para um(a) amigo(a) Adicionar ao Rec6 Adicionar ao del.icio.us Adicionar ao Linkk 35.718 views

38 Comentários Adicione o seu

  • 1. Micox&hellip  |  novembro 20th, 2006 at 07:18:07

    hehe. Truque muito bom.

  • 2. Cesar&hellip  |  novembro 20th, 2006 at 09:35:25

    Caramba, muito boa essa.. =]

  • 3. Lucas Alves&hellip  |  novembro 20th, 2006 at 12:51:47

    É realmente interessante. Pena que para números grandes a coisa já fica complexa.
    Mas é uma boa dica.

  • 4. Marcus Danillo&hellip  |  novembro 22nd, 2006 at 22:26:18

    Boa dica. Eu aprendi isso para calcular raiz quadrada, não tinha pensado nessa possibilidade.

  • 5. senis de souza&hellip  |  novembro 27th, 2006 at 13:53:28

    Gostaria de saber como faço pra resolver esta os termos desta P.G. , ( calcular a soma dos 7 primeiros termos da P.G :(1,3.9,…)
    ficarei aguardando e deste já agradeço…senis

  • 6. brunno&hellip  |  dezembro 11th, 2006 at 21:15:32

    gostaria de saber com fasso para fazer essa PG:

    Numa PG,a diferença entre o 2° e o 1° termo é 9 e a diferença entre o 5° e o 4° é 576.O primeiro termo da progreção é:

    estou aguardando anciosamente…mas desde de já agradeçendo..
    vlw..

  • 7. Newton de Góes Horta&hellip  |  dezembro 11th, 2006 at 22:54:57

    Dados do problema:

    a2 – a1 = 9
    a5 – a4 = 576

    Pela fórmula do termo geral de uma PG, podemos reescrever as igualdades acima como:

    a1q – a1 = 9 => a1(q – 1) = 9 => q – 1 = 9/a1 [1]

    a1q4 – a1q3 = 576 => a1q3( q – 1) = 576 [2]

    Substituindo [1] em [2]:

    a1q3(9/a1) = 576
    => q3 = 576/9 = 64 => q = 4

    Logo, o valor de a1 é igual a 3, calculado substituindo o valor de q em [1].

  • 8. brunno&hellip  |  dezembro 11th, 2006 at 23:14:15

    Em uma pg, o primeiro termo é 2 e o quarto termo é 54.O quinto termo dessa pg é:

  • 9. brunno&hellip  |  dezembro 12th, 2006 at 08:19:36

    gostaria de saber como fasso para fazer essa pg.

    Em uma pg, o primeiro termo é 2 e o quarto termo é 54.O quinto termo dessa pg é:

    desde já agradesso..vlw

  • 10. loise&hellip  |  fevereiro 6th, 2007 at 17:08:23

    gostaria de saber como se calcula o quinto termoda sequencia tal que a1=1,a2=-1 e 2.Ai-1.Ai+1,ieN E I >2?

  • 11. CRISTIANE&hellip  |  março 4th, 2007 at 22:18:46

    GOSTARIA DE SABER A HISTÓRIA DAS POTÊNCIAS E RAÍZES

  • 12. jessica&hellip  |  março 5th, 2007 at 15:22:58

    pq vcs nao poem uma calculadora neste site fikaria mais facil de entender!!!

  • 13. barbara&hellip  |  março 11th, 2007 at 14:40:36

    tem comu voceis me mandarem um istorico completo dos numeros inteiro?!?!?

    é p/ um trabalho de matematica
    ok???
    brigadu
    tchau

  • 14. renata moreira braz&hellip  |  março 14th, 2007 at 20:56:04

    eu gostaria de saber as historia da potencia

  • 15. Milton Jr.&hellip  |  março 28th, 2007 at 22:29:52

    Algo sobre noções basicas de Teoria dos Números, ex. Divisibilidade, MDC, MMC e algoritmo da divisão. Aguardo RESPOSTAS uRGENTE SE POSSIVEL. oBRIGADO.

  • 16. Henrique&hellip  |  abril 1st, 2007 at 13:28:17

    por favor, resolve pra mim esse problema!!! (até 08/04/07 de preferencia) URGENTE!!!

    Em uma P.G. de termos positivos, a diferença entre o 4º termo e o 1º termo é 21, e a diferença entre o 3º termo e o 1º termo é 9. Qual é a soma dessa progressão?

    Obrigado

  • 17. Henrique&hellip  |  abril 1st, 2007 at 14:32:45

    mais uma coisa, em cima pede-se a soma dos primeiro 8 termos.
    a resposta é 765, mas preciso da resolução….

  • 18. Flávio Silva Almeida&hellip  |  abril 3rd, 2007 at 20:02:25

    Gostei do método de Pitágoras para calcular o Quadrado de um numero natural, mas interessante mesmo é o método de Alcides para calcular o Quadrado de qualquer número terminado em cinco.
    O método de Alcides diz que todo número terminado em cinco ao quadrado é igual a dezena vezes a sua sucessora mais o vinte e cinco atrás.

    Ex.: 25²==> 2*3 ==> 6 ==>625
    35²==> 3*4 ==> 12 ==> 1225
    45²==> 4*5 ==> 20 ==> 2025
    75²==> 7*8 ==> 56 ==> 5625
    125²=> 12*13 ==> 156 ==> 15625

    A5 ==> A.(A+1) ==> (a²+a)25

    Mais informações ou caso queira me Desafiar:

    flavioemx1@yahoo.com.br

    Lesgaaaaaaaaaaaalllll!!!!!!!!!!!!1

  • 19. Camila&hellip  |  abril 14th, 2007 at 19:00:02

    Achei incrível como as coisas saõ especificas neste site! Porém sou da 7ª série e nada aqui me interessa

    Achei bacana, mais to saindo daqui já!

    Fui.

  • 20. Flávio Silva Almeida&hellip  |  abril 20th, 2007 at 21:00:53

    A lei de Alcides
    para calcular o quadrado dos números terminados em cinco

    “Todo número terminado em cinco ao quadrado é igual ao produto do algarismo da dezena pelo seu sucessor com vinte e cinco atrás”

    Para provamos está afirmação vamos partir da representação de um número qualquer N terminado em cinco:

    N = 10m+5

    Vamos agora elevar este número ao quadrado:

    N² = (10m+5)²
    N² = 100m²+100m+25
    N² = 100(m²+m) +25
    N² = 100[m(m+1)] +25

    Logo teremos:

    N² = 100m(m+1) +25
    Ou
    N² = 25[4m(m+1) +1]

    O que prova que para qualquer número terminado em cinco sempre teremos o seu quadrado a partir do produto do algarismo da dezena com seu posterior com o número 25 atrás deste resultado.

    Flávio Silva Almeida

  • 21. Flávio Silva Almeida&hellip  |  abril 20th, 2007 at 21:06:49

    Para quem pode…

    Qual o resultado da soma:

    10³+11³+12³+13³+…+98³+99³100³ =?

  • 22. Davi&hellip  |  junho 17th, 2007 at 10:59:46

    Gostaria de saber a historia das potencias e raizes… ficaria grato c me manderem

  • 23. lu&hellip  |  junho 26th, 2007 at 08:57:35

    Achei interessante . Mas fiquei triste porque não vale a pena esse monte de cálculos só para uma pequena coisa , além de ser difícil .

  • 24. Teresinha Volpini&hellip  |  outubro 12th, 2007 at 09:55:54

    gostaria que houvesse orientação de como enviar problemas
    para serem resolvidos ,por exempo:estou começando a navegar agora,por isso,ainda não sei alguns comandos
    seria difícil uma orientação?
    Poderei mandar neste espaço?
    Parabèns por essa oportunidade, estão
    promovendo a educação.Deus os abençoe!

  • 25. ludi&hellip  |  janeiro 7th, 2008 at 12:10:35

    mtO interessante o truque curti

  • 26. Kelvia&hellip  |  abril 7th, 2008 at 10:21:11

    Matemática é uma coisa que pega em obrigada por vc existir mate

  • 27. paloma&hellip  |  maio 25th, 2008 at 22:38:38

    horrivel vezes horrivel que é igual a horrivel =c
    rsrsrs horrivel
    estou apenas falando oq acho simplismente…………..!!!

  • 28. aline kimberly.&hellip  |  agosto 18th, 2008 at 11:02:22

    É legal e facíl.

  • 29. Arthur José&hellip  |  agosto 19th, 2008 at 20:34:17

    a soma desse resultado é 8004, quem é que nao consegue fazer,xd!!!

  • 30. Antonio Rodrigo dos Santo&hellip  |  janeiro 9th, 2009 at 16:35:20

    “O método de Alcides diz que todo número terminado em cinco ao quadrado é igual a dezena vezes a sua sucessora mais o vinte e cinco atrás.”
    Deveria haver uma mudança na definição, em caso de números com três ou mais dígitos não basta pegar o algarismo da dezena, mas também os algarismos da centena, milhar, etc.

    Por exemplo temos o número 105 ao quadrado:
    a) eliminaríamos o último algarismo (5)
    10
    b) multiplicaríamos o número pelo seu sucessor:
    10 x 11 = 110
    c) adicionaríamos 25 ao final
    11025

    Outro exemplo, temos o número 1105 ao quadrado:
    a) eliminaríamos o último algarismo (5)
    110
    b) multiplicaríamos o número pelo seu sucessor:
    110 x 111 = 12210
    c) adicionaríamos 25 ao final
    1221025

    Segue uma sugestão de definição:

    “O método de Alcides diz que para calcular um número terminado em cinco ao quadrado teremos que eliminar o último algarismo (5). Devemos depois multiplicar o novo número pelo seu sucessor. E por fim adicionaríamos 25 ao final.”

    Abraços!

  • 31. Damiana&hellip  |  março 21st, 2009 at 15:53:26

    como reescrever em forma de potencia raiz quadrada

  • 32. vitor&hellip  |  março 23rd, 2009 at 13:41:04

    oi, muitos bom os exemplos da pra entender muitos mas fácil…

  • 33. allephus&hellip  |  maio 29th, 2009 at 08:35:26

    Venerável Mestre Pitágoras!!!! ele tem sempre a razão

  • 34. alguem&hellip  |  junho 4th, 2009 at 22:00:54

    descobrir uma formula para calcular qualquer potencia. o que fazer?

  • 35. rosemar conceição da si&hellip  |  julho 30th, 2009 at 13:50:20

    gostaria de saber como pode ser resolvido o seguinte exercício pois tenho a resposta mas não tenho o andamento(a+b)elevado a oitava potencia obrigada.

  • 36. renata&hellip  |  outubro 30th, 2009 at 23:35:48

    assim p/ falá a verdade eu to fazendo uma pesquisa para a 6 série e não encontrei nada do interesse EU PEÇO QUE FAÇAM UMA COISA específica desse jeito. mas mesmo assim o que eu tava com dúvida deu pra esclarecer esse lado POR FAVOR. XAU BEIJOS GLOS!!!!!

  • 37. Clara Mara&hellip  |  março 20th, 2010 at 17:54:29

    Não sabia que foi ele que inventou.. Apartir de hj sou fã dele… Tenho 13 anos e amo fazer PA aprendi nas turmas específicas que eu participava, na minha escola ! ÉR SHOW !

  • 38. paulo&hellip  |  setembro 1st, 2010 at 13:22:32

    eu queri saber o resultado de 1001 com a potencia sendo 2

Deixe seu Comentário

Obrigatório

Obrigatório, (não publicado)

São permitidas as seguintes tags:
<a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>

Trackback this post  |  Subscribe to the comments via RSS Feed

Notifica, via E-Mail, sobre novos artigos publicados no VICHE. Ao fazer sua inscrição você receberá uma mensagem em inglês no E-Mail informado abaixo, com um link, para que o serviço seja ativado. Basta então clicar nesse link para que você passe a receber as notificações.

Delivered by FeedBurner