Curiosidade Matemática #5 – Método de Pitágoras para Calcular a Potência de Grau 2 de um Número
novembro 19th, 2006
A potenciação nos fornece um meio simples, prático e rápido para calcularmos a potência de grau 2 de um número inteiro, comumente conhecida como o quadrado desse número.
Como todos sabem, o meio em questão, corresponde ao produto (multiplicação) do número por ele mesmo, ou seja:
52 = 5 x 5 = 25
Mas, Pitágoras, filósofo e matemático grego, século VI antes de Cristo, inventou uma regra diferente (e um pouco mais complicada, convenhamos) para obter o resultado da potência de grau 2 de um número, que consiste em:
O quadrado de um número inteiro n é igual a soma dos n primeiros números inteiros ímpares.
Para números pequenos vemos, facilmente, que a afirmação é verdadeira, através do uso direto do enunciado. Vejam:
- 12 = 1 (n = 1)
- 22 = 1 + 3 = 2 x 2 = 4 (n = 2)
- 52 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 5 x 5 = 25 (n = 5)
- 72 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 = 7 x 7 = 49 (n = 7)
E como saber que a afirmação é válida para o número 5.227, por exemplo? No “braço” é extremamente trabalhoso comprovar, pois teríamos que somar os primeiros 5.227 números inteiros ímpares e, após, verificar que o resultado é igual ao quadrado de 5.227.
No entanto, se observarmos com um pouquinho mais de atenção veremos que a sequência formada pelos primeiros n números ímpares:
(1, 3, 5, 7, …., an)
é uma Progressão Aritmética (PA) de razão r = 2, onde an representa o enésimo termo ou o enésimo número ímpar.
Desse fato é suficiente, agora, utilizarmos das propriedades de uma PA. Mais especificamente das fórmulas do termo geral e da soma dos termos de uma PA finita, para demonstrarmos que Pitágoras esta com toda a razão (não a da PA).
Primeiro vamos determinar o valor de an em função de n:
an = a1 + (n – 1)r = 1 + (n – 1)2 = 2n – 1
Para concluirmos, mostrando que a soma Sn é igual a n2:
Sn = [(a1 + an)n]/2 = [(1 + 2n - 1)]n/2 = 2n2/2 = n2
Pronto! não é que o homem tinha razão?
Visite o Cabeçolinha – a bola (de gude) da vez.
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38 Comentários Adicione o seu
1. Micox&hellip | novembro 20th, 2006 at 07:18:07
hehe. Truque muito bom.
2. Cesar&hellip | novembro 20th, 2006 at 09:35:25
Caramba, muito boa essa.. =]
3. Lucas Alves&hellip | novembro 20th, 2006 at 12:51:47
É realmente interessante. Pena que para números grandes a coisa já fica complexa.
Mas é uma boa dica.
4. Marcus Danillo&hellip | novembro 22nd, 2006 at 22:26:18
Boa dica. Eu aprendi isso para calcular raiz quadrada, não tinha pensado nessa possibilidade.
5. senis de souza&hellip | novembro 27th, 2006 at 13:53:28
Gostaria de saber como faço pra resolver esta os termos desta P.G. , ( calcular a soma dos 7 primeiros termos da P.G :(1,3.9,…)
ficarei aguardando e deste já agradeço…senis
6. brunno&hellip | dezembro 11th, 2006 at 21:15:32
gostaria de saber com fasso para fazer essa PG:
Numa PG,a diferença entre o 2° e o 1° termo é 9 e a diferença entre o 5° e o 4° é 576.O primeiro termo da progreção é:
estou aguardando anciosamente…mas desde de já agradeçendo..
vlw..
7. Newton de Góes Horta&hellip | dezembro 11th, 2006 at 22:54:57
Dados do problema:
a2 – a1 = 9
a5 – a4 = 576
Pela fórmula do termo geral de uma PG, podemos reescrever as igualdades acima como:
a1q – a1 = 9 => a1(q – 1) = 9 => q – 1 = 9/a1 [1]
a1q4 – a1q3 = 576 => a1q3( q – 1) = 576 [2]
Substituindo [1] em [2]:
a1q3(9/a1) = 576
=> q3 = 576/9 = 64 => q = 4
Logo, o valor de a1 é igual a 3, calculado substituindo o valor de q em [1].
8. brunno&hellip | dezembro 11th, 2006 at 23:14:15
Em uma pg, o primeiro termo é 2 e o quarto termo é 54.O quinto termo dessa pg é:
9. brunno&hellip | dezembro 12th, 2006 at 08:19:36
gostaria de saber como fasso para fazer essa pg.
Em uma pg, o primeiro termo é 2 e o quarto termo é 54.O quinto termo dessa pg é:
desde já agradesso..vlw
10. loise&hellip | fevereiro 6th, 2007 at 17:08:23
gostaria de saber como se calcula o quinto termoda sequencia tal que a1=1,a2=-1 e 2.Ai-1.Ai+1,ieN E I >2?
11. CRISTIANE&hellip | março 4th, 2007 at 22:18:46
GOSTARIA DE SABER A HISTÓRIA DAS POTÊNCIAS E RAÍZES
12. jessica&hellip | março 5th, 2007 at 15:22:58
pq vcs nao poem uma calculadora neste site fikaria mais facil de entender!!!
13. barbara&hellip | março 11th, 2007 at 14:40:36
tem comu voceis me mandarem um istorico completo dos numeros inteiro?!?!?
é p/ um trabalho de matematica
ok???
brigadu
tchau
14. renata moreira braz&hellip | março 14th, 2007 at 20:56:04
eu gostaria de saber as historia da potencia
15. Milton Jr.&hellip | março 28th, 2007 at 22:29:52
Algo sobre noções basicas de Teoria dos Números, ex. Divisibilidade, MDC, MMC e algoritmo da divisão. Aguardo RESPOSTAS uRGENTE SE POSSIVEL. oBRIGADO.
16. Henrique&hellip | abril 1st, 2007 at 13:28:17
por favor, resolve pra mim esse problema!!! (até 08/04/07 de preferencia) URGENTE!!!
Em uma P.G. de termos positivos, a diferença entre o 4º termo e o 1º termo é 21, e a diferença entre o 3º termo e o 1º termo é 9. Qual é a soma dessa progressão?
Obrigado
17. Henrique&hellip | abril 1st, 2007 at 14:32:45
mais uma coisa, em cima pede-se a soma dos primeiro 8 termos.
a resposta é 765, mas preciso da resolução….
18. Flávio Silva Almeida&hellip | abril 3rd, 2007 at 20:02:25
Gostei do método de Pitágoras para calcular o Quadrado de um numero natural, mas interessante mesmo é o método de Alcides para calcular o Quadrado de qualquer número terminado em cinco.
O método de Alcides diz que todo número terminado em cinco ao quadrado é igual a dezena vezes a sua sucessora mais o vinte e cinco atrás.
Ex.: 25²==> 2*3 ==> 6 ==>625
35²==> 3*4 ==> 12 ==> 1225
45²==> 4*5 ==> 20 ==> 2025
75²==> 7*8 ==> 56 ==> 5625
125²=> 12*13 ==> 156 ==> 15625
A5 ==> A.(A+1) ==> (a²+a)25
Mais informações ou caso queira me Desafiar:
flavioemx1@yahoo.com.br
Lesgaaaaaaaaaaaalllll!!!!!!!!!!!!1
19. Camila&hellip | abril 14th, 2007 at 19:00:02
Achei incrível como as coisas saõ especificas neste site! Porém sou da 7ª série e nada aqui me interessa
Achei bacana, mais to saindo daqui já!
Fui.
20. Flávio Silva Almeida&hellip | abril 20th, 2007 at 21:00:53
A lei de Alcides
para calcular o quadrado dos números terminados em cinco
“Todo número terminado em cinco ao quadrado é igual ao produto do algarismo da dezena pelo seu sucessor com vinte e cinco atrás”
Para provamos está afirmação vamos partir da representação de um número qualquer N terminado em cinco:
N = 10m+5
Vamos agora elevar este número ao quadrado:
N² = (10m+5)²
N² = 100m²+100m+25
N² = 100(m²+m) +25
N² = 100[m(m+1)] +25
Logo teremos:
N² = 100m(m+1) +25
Ou
N² = 25[4m(m+1) +1]
O que prova que para qualquer número terminado em cinco sempre teremos o seu quadrado a partir do produto do algarismo da dezena com seu posterior com o número 25 atrás deste resultado.
Flávio Silva Almeida
21. Flávio Silva Almeida&hellip | abril 20th, 2007 at 21:06:49
Para quem pode…
Qual o resultado da soma:
10³+11³+12³+13³+…+98³+99³100³ =?
22. Davi&hellip | junho 17th, 2007 at 10:59:46
Gostaria de saber a historia das potencias e raizes… ficaria grato c me manderem
23. lu&hellip | junho 26th, 2007 at 08:57:35
Achei interessante . Mas fiquei triste porque não vale a pena esse monte de cálculos só para uma pequena coisa , além de ser difícil .
24. Teresinha Volpini&hellip | outubro 12th, 2007 at 09:55:54
gostaria que houvesse orientação de como enviar problemas
para serem resolvidos ,por exempo:estou começando a navegar agora,por isso,ainda não sei alguns comandos
seria difícil uma orientação?
Poderei mandar neste espaço?
Parabèns por essa oportunidade, estão
promovendo a educação.Deus os abençoe!
25. ludi&hellip | janeiro 7th, 2008 at 12:10:35
mtO interessante o truque curti
26. Kelvia&hellip | abril 7th, 2008 at 10:21:11
Matemática é uma coisa que pega em obrigada por vc existir mate
27. paloma&hellip | maio 25th, 2008 at 22:38:38
horrivel vezes horrivel que é igual a horrivel =c
rsrsrs horrivel
estou apenas falando oq acho simplismente…………..!!!
28. aline kimberly.&hellip | agosto 18th, 2008 at 11:02:22
É legal e facíl.
29. Arthur José&hellip | agosto 19th, 2008 at 20:34:17
a soma desse resultado é 8004, quem é que nao consegue fazer,xd!!!
30. Antonio Rodrigo dos Santo&hellip | janeiro 9th, 2009 at 16:35:20
“O método de Alcides diz que todo número terminado em cinco ao quadrado é igual a dezena vezes a sua sucessora mais o vinte e cinco atrás.”
Deveria haver uma mudança na definição, em caso de números com três ou mais dígitos não basta pegar o algarismo da dezena, mas também os algarismos da centena, milhar, etc.
Por exemplo temos o número 105 ao quadrado:
a) eliminaríamos o último algarismo (5)
10
b) multiplicaríamos o número pelo seu sucessor:
10 x 11 = 110
c) adicionaríamos 25 ao final
11025
Outro exemplo, temos o número 1105 ao quadrado:
a) eliminaríamos o último algarismo (5)
110
b) multiplicaríamos o número pelo seu sucessor:
110 x 111 = 12210
c) adicionaríamos 25 ao final
1221025
Segue uma sugestão de definição:
“O método de Alcides diz que para calcular um número terminado em cinco ao quadrado teremos que eliminar o último algarismo (5). Devemos depois multiplicar o novo número pelo seu sucessor. E por fim adicionaríamos 25 ao final.”
Abraços!
31. Damiana&hellip | março 21st, 2009 at 15:53:26
como reescrever em forma de potencia raiz quadrada
32. vitor&hellip | março 23rd, 2009 at 13:41:04
oi, muitos bom os exemplos da pra entender muitos mas fácil…
33. allephus&hellip | maio 29th, 2009 at 08:35:26
Venerável Mestre Pitágoras!!!! ele tem sempre a razão
34. alguem&hellip | junho 4th, 2009 at 22:00:54
descobrir uma formula para calcular qualquer potencia. o que fazer?
35. rosemar conceição da si&hellip | julho 30th, 2009 at 13:50:20
gostaria de saber como pode ser resolvido o seguinte exercício pois tenho a resposta mas não tenho o andamento(a+b)elevado a oitava potencia obrigada.
36. renata&hellip | outubro 30th, 2009 at 23:35:48
assim p/ falá a verdade eu to fazendo uma pesquisa para a 6 série e não encontrei nada do interesse EU PEÇO QUE FAÇAM UMA COISA específica desse jeito. mas mesmo assim o que eu tava com dúvida deu pra esclarecer esse lado POR FAVOR. XAU BEIJOS GLOS!!!!!
37. Clara Mara&hellip | março 20th, 2010 at 17:54:29
Não sabia que foi ele que inventou.. Apartir de hj sou fã dele… Tenho 13 anos e amo fazer PA aprendi nas turmas específicas que eu participava, na minha escola ! ÉR SHOW !
38. paulo&hellip | setembro 1st, 2010 at 13:22:32
eu queri saber o resultado de 1001 com a potencia sendo 2
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