Intervalos na Reta Real

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abr

Intervalos na Reta Real

Para complementar o artigo escrito sobre Conjuntos Numéricos iremos abordar agora o conceito de intervalo na reta real R. Ou seja, dos subconjuntos de R que satisfazem à seguinte propriedade:

se x e y pertencem a I C R, x ≤ y, então para todo z tal que x ≤ z ≤ y, então z pertence a I

Sem entrar em detalhes, e apenas como informação adicional, a propriedade estabelece que os intervalos são subconjuntos conexos de R, como também o é o próprio R, ou subconjuntos contínuos de R.

Em forma de conjunto a propriedade acima pode ser escrita como:

I = {z ε R | x ≤ z ≤ y}

Os intervalos podem ser classificados por suas características topológicas – abertos, fechados e semi abertos (fechados ou abertos à esquerda ou à direita) – e por suas características métricas – comprimento nulo, finito não nulo ou infinito.

Notação em símbolos de um intervalo

Habitualmente se utilizam os colchetes – “[" e "]” – para indicar que um dos extremos do intervalo é parte deste intervalo e os parênteses – “(” e “)” – ou, também, os colchetes invertidos – “]” e “[" para indicar o contrário.

Assim, por exemplo, dados a e b números reais, com a ≤ b, o intervalo I = (a,b] = ]a,b] representa o conjunto dos x ε R, tal que a < x ≤ b. Note que a não faz parte do intervalo.

Representação de um intervalo na reta real

Um intervalo é representado na reta real utilizando-se de uma pequena “bolinha vazia” para indicar que um dos pontos extremos não pertence ao intervalo e de uma “bolinha cheia” para indicar que o ponto extremo pertence.

Representação de um intervalo na reta

Tipos de Intervalos

Dados a e b números reais, com a ≤ b, x pertencente ao intervalo e c o seu comprimento, podemos classificar os intervalos como:

a) Intervalo Fechado de comprimento finito c = b – a:

[a,b] = {x ε R | a ≤ x ≤ b}

b) Intervalo fechado à esquerda e aberto à direita de comprimento finito c = b – a:

[a,b[ = [a,b) = {x ε R | a ≤ x < b}

c) Intervalo aberto à esquerda e fechado à direita de comprimento finito c = b - a:

(a,b] = ]a,b] = {x ε R | a < x ≤ b}

d) Intervalo aberto de comprimento finito c = b – a:

]a,b[ = (a,b) = {x ε R | a < x < b}

e) Intervalo aberto à direita de comprimento infinito:

]-∞,b[ = (-∞,b) = {x ε R | x < b}

f) Intervalo fechado à direita de comprimento infinito:

]-∞,b] = (-∞,b] = {x ε R | x ≤ b}

g) Intervalo fechado à esquerda de comprimento infinito:

[a,+∞) = [a,+∞[ = {x ε R | a ≤ x}

h) Intervalo aberto à esquerda de comprimento infinito:

]a,+∞[ = (a,+∞) = {x ε R | x > a}

i) Intervalo aberto de comprimento infinito:

]-∞,+∞[ = (-∞,+∞) = R

j) Intervalo fechado de comprimento nulo:

Como o comprimento é nulo e o intervalo fechado, então a = b e esse intervalo corresponde ao conjunto unitário {a}, isto é, a um ponto da reta real.

Concluo a classificação dos intervalos com a seguinte pergunta para vocês: E o intervalo vazio como seria definido?

União e Intersecção de Intervalos

Como intervalos são conjuntos é natural que as operações mencionadas possam ser realizadas. E, trata-se de um procedimento muito comum na resolução de alguns problemas.

E a maneira mais fácil e intuitiva de realizar essas operações é através da representação gráfica dos intervalos envolvidos. Vamos à um exemplo prático de como efetuar tais operações.

Sejam A = [-1,6] = {x ε R | -1 ≤ x ≤ 6} e B = (1,+∞) = {x ε R | x > 1} dois intervalos e vamos determinar A U B e A ∩ B.

Primeiramente, marcamos todos os pontos que são extremos ou origens dos intervalos em uma mesma reta. Em seguida, abaixo dessa reta, traçamos os intervalos que representam graficamente os conjuntos A e B. E, por fim, é só utilizar a definição de união e intersecção para determinar os trechos que estão em pelo menos um intervalo e os trechos comuns aos dois intervalos, respectivamente. Veja a solução de A ∩ B na figura a seguir e de onde é também facilmente observado o resultado de A U B:

A ∩ B = {x ε R | 1 < x ≤ 6} e A U B = {x ε R | -1 ≤ x}

União e Intersecção de Intervalos

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Categoria : Matemática / Técnico

84 Respostas para “Intervalos na Reta Real”

Thais Mirella maio 24, 2009

Vcs que falaram que não entenderam nada, é por que com certeza vcs não tiveram nenhuma introdução do assunto….

Tá muito boa essa postagem!!

PARABÉNS!!

Ana maio 21, 2009

Muito obrigada vocês me ajudaram muitooooooooooo!

lilian abril 16, 2009

nao da p entender nada,.voce deveria ter feiro separado primeiro A ∩ B e depois A U B !!
tah confuso isso!

luziiiii abril 15, 2009

n entendi,como saber A é n unido a B

natalia abril 14, 2009

ficou ótimo
xauuu

jonthan xavier abril 12, 2009

Éssa explicação me ajudou muito

tirei varias duvidas

Obs : Exelente trabalho.

L uiza L Siqueira abril 7, 2009

Gostaria de saber quando é que numa união ou intersecção
troca as bolinhas vazias para as fechadas ou vice -versa

Eduardo abril 2, 2009

Excelente explicação, me ajudou muito

obrigado.

Continue assim

william abril 1, 2009

??? num intendii ndaa #)

anderson luis de andrade março 30, 2009

Olha eu aprendin sim muita coisa que eu estava com duvidas mas consegui superar essa barreira ok e muito obrigado..

Paulo Roberto Jardim março 23, 2009

A explicação é muito complexa, deveria ser de mais facil entendimento!!!!!

Jaqueline Almeida março 9, 2009

Olha, axei bm intressant ec topco pq tirei algums duvds q tnha em relaçao a ec assunt! ;¬)
agora vc tbm podia flar sobre como memorizar matmatik..!
Vlw

esther março 9, 2009

odiei o site nao me ajudou em nda

mikaela março 5, 2009

eu não entendi muita coisa precisava ser mais objetivo!!

Alex Alexandrino março 5, 2009

Bruna, vc só pode usar parenteses se o intervalo for aberto.
( ) = ] [ .

OK?

mari março 2, 2009

Nãoo ajudou em nadaa

bruna campos liima março 2, 2009

Obrigada! AJudou mto..
mais queria saber sobre os parenteses! Podem ser usados iguais colchetes?

Obrigada desde ja!

Patricia fevereiro 12, 2009

aaaffee . nao ajudoou nada ¬¬

francilma novembro 3, 2008

Porque voces naum dão respostas mais completas e claras ??

exercício resolvido !!

Julia outubro 14, 2008

achei o site bom, me ajudou muito em algumas coisas. mas eu ainda nao sei o que é reta real !*

augusto setembro 30, 2008

gostei, simplis e complexo

Lourenço da Mata agosto 26, 2008

Agradeço a criação desse site, pois vem abrir o leque de diversos estudantes e professora no conhecimento humano da Matématica, espero encontrar outros iguais ou melhor, mto obrigado

thays agosto 19, 2008

isso e otimo gostei das fraçoes

Bianca agosto 15, 2008

continuo sem entender nada sobre esse assunto :/

Carlota Joaquina agosto 13, 2008

como eu acho um terço na reta real ?

Marianna agosto 7, 2008

Achei o site muito bom sim, mas como e um site que acredito tenha como objetico ajudar alunos em alguns momentos usa uma linguagem muito tecnica, o que pode dificultar a compreencao.
Mas,estao de parabens

Lívia maio 16, 2008

Esse site ajuda não só aos alunos como também aos professores que querem interagir e buscar novidades no mundo da matemática para repassar aos seus alunos.Já que dou aulas para adolescentes, sabem o quanto pe dificil prender a atenção dessa turma agitada e em fases explosivas nas aulas AINDA mais de matemática

Daiane maio 14, 2008

oie
está matéria foi de muita importância para mim
obligada pela ajuda
bjs

Romário abril 22, 2008

Vlw pelo site, Sempre que preciso fazer um trabalho, Procuro nesse site e sempre axo o que eu quero,=D

monique abril 12, 2008

eu achei legal este site, pq ñ entendia este assunto e depois q visitei este site consegui entender!! vlw!!

kelly abril 7, 2008

tao mt boas as explicaçoes…!!!!
foi mt útil..tenho provaa e eu nao tava entendendo nada na aula…agora com essas explicaçoes ficaram mais faceis os exercicios..e tomara que eu consiga pasar na provaa!!! ;D

luciene abril 7, 2008

gostaria de mais exercicios na reta!!!
vlw..tah muitoo boa as explicaçoes!!
continuem assim..!!

Rafael abril 6, 2008

Excelente postagem e explicação…Obrigado e continue assim!
Abraços!

Camila abril 5, 2008

Foi muito útil :)
Pois tinha que estudar pra prova, e não tinha a matéria no caderno ;

Sú abril 1, 2008

Acredite! pode parecer muito simples mas todos precisam disso até na faculdade.
Parabéns pela iniciativa achei muito bom! E sem falar que me ajudou muitíssimo, não me lembrava mais como que faz a intercesão…

Rayanne março 31, 2008

Acho q ñ entendi muita coisa ~~n!
♥

jamille março 26, 2008

eu gostaria de mais exemplos, obrigada.

Bob março 3, 2008

lagal

Andressa Ramos novembro 29, 2007

Achei bom pois ajuda muito….

Valeu Bjossss!

Anahi outubro 29, 2007

gosteii muito .. tudo bem explicado, todo o que precisava … Vcs estao de parabéns!!

jessica dias setembro 24, 2007

este site é muito bom para eu me relaciona mas com a matematica

eliane setembro 9, 2007

achei muito legal o questionário
agora estarei sempre frequentando pois, sou péssima
em matemática e preciso melhorar muito, e tenho certeza
q este site irá me ajudar!

hugo julho 18, 2007

esse e o´pior site que eu ja vi.

Ricardo junho 12, 2007

parabens pelo site achai muito bom.

douglas junho 12, 2007

e um pouco bom

ivanete souza junho 6, 2007

eu axo otimo pra ajudar os alunos,mi ajudou bastante esse site estava com bastante duvidas!!pq as vezes a gente tem vergonha de perguntar ao professor…

André Gustavo Ribeiro maio 31, 2007