Curiosidade Matemática #8 – Tem Algo de Errado

10
abr

Curiosidade Matemática #8 – Tem Algo de Errado

Tenho visto em alguns sites e blogs colocações que causam um certo “espanto” e que podem levar a supor que há inconsistências na Matemática.

Para jogar mais lenha na fogueira apresento, a seguir, duas demonstrações aparentemente corretas, mas que contêm uma passagem que contrariam princípios simples e, porque não dizer, triviais da Matemática, para que você se habilite a explicar o que tem de errado nelas.

Na primeira vou “demonstrar” que a + b = b, partindo da suposição de que a = b.

Inicialmente, multiplicamos os membros da igualdade a = b por a para obtermos:

a² = ab

Em seguida, subtraímos b² nos dois lados da igualdade anterior:

a² – b² = ab – b²

Do produto notável a² – b² = (a + b)(a – b) e colocando-se b em evidência no segundo membro da igualdade acima, vem:

(a + b)(a – b) = b(a – b)

E, finalmente, simplificando-se a – b nos dois membros da igualdade concluímos que:

a + b = b

Observe, agora, que se a = b = 1 então 2 = 1, ou se a = b = 2 que 4 = 2 e por aí vai.

E que tal “mostrar” que 1/9 > 1/3.

Obviamente é fato que 2 > 1. Multiplicando a desigualdade pelo logaritmo decimal de 1/3 vem:

2log(1/3) > log(1/3)

Pela propriedade dos logaritmos:

log(1/3)² > log(1/3)

Daqui, eliminando-se o logaritmo em ambos os membros:

(1/3)² > 1/3

E, finalmente:

1/9 > 1/3

Realmente tem algo de errado. Quem se habilita?

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7 Respostas para “Curiosidade Matemática #8 – Tem Algo de Errado”

Henrique novembro 2, 2009

A matemática poder vista de vários angulos, apesar de ser uma ciência exata.

Tio_Wlad julho 2, 2007

Parece aquela coisa de três num bar 30 reais de conta e fica sempre faltando 1 real…..

Dennis Lindgren junho 6, 2007

concordo c/ nossos colegas Douglas e Leandro.

“ilusionismo” apenas para os que não analisam a questão, que não deixa de ser admirável à primeira vista!

Leandro A. Lichtenfelz abril 19, 2007

Os erros são tão triviais quanto as “demonstrações”.

Na primeira, como observou o Douglas, o erro está em se dividir por zero.
Na segunda, o erro vem simplesmente do fato de que o logaritmo decimal de 1/3 é um número negativo, e como sabemos desde o jardim da infância, ao multiplicarmos uma inequação por um número negativo, invertemos seu sinal.

Ricardo Murari abril 14, 2007

É evidente que à primeira vista todo o raciocinio está correto, mas se olharmos com atenção, encontramos a falha: Quando se aplica os logaritmos a ambos os membros da desigualdade, nada é afirmado relativamente à base do mesmo. Pois se for considerado log de base entre 0 e 1, o raciocinio é inválido.
De fato loga((1/2)2)

Newton de Góes Horta abril 13, 2007

Teste MimeTeX em comentários – raízes da equação do segundo grau $ax^2+bx+c=0$ :

$\Large x=\frac{b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

Coloque o mouse sobre as imagens para ver a expressão LaTeX correspondente.

Douglas Fernando Rieger abril 10, 2007

Na primeira demonstração, começa-se a desenvolver a partir da suposição que a=b. O desenvolvimento toma um rumo incorreto quando simplifica-se por (a-b) os dois lados da igualdade. Se a=b, a-b=0. Obviamente que multiplicando os dois lados da equação por 0 que a igualdade é verdadeira. A partir da retirada do zero, não está ocorrendo uma simplificação correta e a equação torna-se absurda. Ex: 8×0=5×0 (simplificando por 0, estaremos dividindo por 0, o que está errado).

Na segunda demonstração ainda não achei o erro. Parece-me que o erro está na aplicação da propriedade dos logaritmos, que não seria aplicável nessa inequação.