Intervalos na Reta Real
abril 10th, 2007
Para complementar o artigo escrito sobre Conjuntos Numéricos iremos abordar agora o conceito de intervalo na reta real R. Ou seja, dos subconjuntos de R que satisfazem à seguinte propriedade:
se x e y pertencem a I C R, x ≤ y, então para todo z tal que x ≤ z ≤ y, então z pertence a I
Sem entrar em detalhes, e apenas como informação adicional, a propriedade estabelece que os intervalos são subconjuntos conexos de R, como também o é o próprio R, ou subconjuntos contínuos de R.
Em forma de conjunto a propriedade acima pode ser escrita como:
I = {z ε R | x ≤ z ≤ y}
Os intervalos podem ser classificados por suas características topológicas – abertos, fechados e semi abertos (fechados ou abertos à esquerda ou à direita) – e por suas características métricas – comprimento nulo, finito não nulo ou infinito.
Notação em símbolos de um intervalo
Habitualmente se utilizam os colchetes – “[" e "]” – para indicar que um dos extremos do intervalo é parte deste intervalo e os parênteses – “(” e “)” – ou, também, os colchetes invertidos – “]” e “[" para indicar o contrário.
Assim, por exemplo, dados a e b números reais, com a ≤ b, o intervalo I = (a,b] = ]a,b] representa o conjunto dos x ε R, tal que a < x ≤ b. Note que a não faz parte do intervalo.
Representação de um intervalo na reta real
Um intervalo é representado na reta real utilizando-se de uma pequena “bolinha vazia” para indicar que um dos pontos extremos não pertence ao intervalo e de uma “bolinha cheia” para indicar que o ponto extremo pertence.
Tipos de Intervalos
Dados a e b números reais, com a ≤ b, x pertencente ao intervalo e c o seu comprimento, podemos classificar os intervalos como:
a) Intervalo Fechado de comprimento finito c = b – a:
[a,b] = {x ε R | a ≤ x ≤ b}
b) Intervalo fechado à esquerda e aberto à direita de comprimento finito c = b – a:
[a,b[ = [a,b) = {x ε R | a ≤ x < b}
c) Intervalo aberto à esquerda e fechado à direita de comprimento finito c = b - a:
(a,b] = ]a,b] = {x ε R | a < x ≤ b}
d) Intervalo aberto de comprimento finito c = b – a:
]a,b[ = (a,b) = {x ε R | a < x < b}
e) Intervalo aberto à direita de comprimento infinito:
]-∞,b[ = (-∞,b) = {x ε R | x < b}
f) Intervalo fechado à direita de comprimento infinito:
]-∞,b] = (-∞,b] = {x ε R | x ≤ b}
g) Intervalo fechado à esquerda de comprimento infinito:
[a,+∞) = [a,+∞[ = {x ε R | a ≤ x}
h) Intervalo aberto à esquerda de comprimento infinito:
]a,+∞[ = (a,+∞) = {x ε R | x > a}
i) Intervalo aberto de comprimento infinito:
]-∞,+∞[ = (-∞,+∞) = R
j) Intervalo fechado de comprimento nulo:
Como o comprimento é nulo e o intervalo fechado, então a = b e esse intervalo corresponde ao conjunto unitário {a}, isto é, a um ponto da reta real.
Concluo a classificação dos intervalos com a seguinte pergunta para vocês: E o intervalo vazio como seria definido?
União e Intersecção de Intervalos
Como intervalos são conjuntos é natural que as operações mencionadas possam ser realizadas. E, trata-se de um procedimento muito comum na resolução de alguns problemas.
E a maneira mais fácil e intuitiva de realizar essas operações é através da representação gráfica dos intervalos envolvidos. Vamos à um exemplo prático de como efetuar tais operações.
Sejam A = [-1,6] = {x ε R | -1 ≤ x ≤ 6} e B = (1,+∞) = {x ε R | x > 1} dois intervalos e vamos determinar A U B e A ∩ B.
Primeiramente, marcamos todos os pontos que são extremos ou origens dos intervalos em uma mesma reta. Em seguida, abaixo dessa reta, traçamos os intervalos que representam graficamente os conjuntos A e B. E, por fim, é só utilizar a definição de união e intersecção para determinar os trechos que estão em pelo menos um intervalo e os trechos comuns aos dois intervalos, respectivamente. Veja a solução de A ∩ B na figura a seguir e de onde é também facilmente observado o resultado de A U B:
A ∩ B = {x ε R | 1 < x ≤ 6} e A U B = {x ε R | -1 ≤ x}
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Categorias: Matemática,Técnico
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84 Comentários Adicione o seu
1. LINCOLN FERNANDEZ ALRINDO&hellip | abril 13th, 2007 at 11:44:40 | 200.234.73.79
EU ACHO MUITO LEGAL VC’S AJUDAREM NA EDUCÇÃO INFANTIL.
2. Jonatam Silveira Neves&hellip | abril 25th, 2007 at 20:28:53 | 201.51.113.241
primeira vez que vejo internet
3. wagner&hellip | maio 8th, 2007 at 17:23:45 | 200.217.165.18
[2,10]intercesao[10,2] responder:
4. André Gustavo Ribeiro&hellip | maio 31st, 2007 at 19:58:57 | 201.92.134.41
Gostaria de outros exemplos e exercícios resolvidos de concursos para poder exemplificar melhor esta teoria de intervalos
5. ivanete souza&hellip | junho 6th, 2007 at 11:44:00 | 200.223.166.37
eu axo otimo pra ajudar os alunos,mi ajudou bastante esse site estava com bastante duvidas!!pq as vezes a gente tem vergonha de perguntar ao professor…
6. douglas&hellip | junho 12th, 2007 at 07:35:53 | 201.79.35.190
e um pouco bom
7. Ricardo&hellip | junho 12th, 2007 at 20:53:30 | 201.68.89.151
parabens pelo site achai muito bom.
8. hugo&hellip | julho 18th, 2007 at 16:17:57 | 200.131.68.7
esse e o´pior site que eu ja vi.
9. eliane&hellip | setembro 9th, 2007 at 18:01:08 | 189.12.101.157
achei muito legal o questionário
agora estarei sempre frequentando pois, sou péssima
em matemática e preciso melhorar muito, e tenho certeza
q este site irá me ajudar!
10. jessica dias&hellip | setembro 24th, 2007 at 10:29:51 | 200.154.199.83
este site é muito bom para eu me relaciona mas com a matematica
11. Anahi&hellip | outubro 29th, 2007 at 22:40:37 | 201.88.125.141
gosteii muito .. tudo bem explicado, todo o que precisava … Vcs estao de parabéns!!
12. Andressa Ramos&hellip | novembro 29th, 2007 at 12:44:42 | 201.89.7.112
Achei bom pois ajuda muito….
Valeu Bjossss!
13. Bob&hellip | março 3rd, 2008 at 12:26:27 | 200.171.38.181
lagal
14. jamille&hellip | março 26th, 2008 at 23:47:25 | 200.193.102.132
eu gostaria de mais exemplos, obrigada.
15. Rayanne&hellip | março 31st, 2008 at 14:45:00 | 200.140.127.166
Acho q ñ entendi muita coisa ~~n!
♥
16. Sú&hellip | abril 1st, 2008 at 17:22:07 | 201.79.112.64
Acredite! pode parecer muito simples mas todos precisam disso até na faculdade.
Parabéns pela iniciativa achei muito bom! E sem falar que me ajudou muitíssimo, não me lembrava mais como que faz a intercesão…
17. Camila&hellip | abril 5th, 2008 at 22:57:38 | 201.89.173.112
Foi muito útil :)
Pois tinha que estudar pra prova, e não tinha a matéria no caderno ;
18. Rafael&hellip | abril 6th, 2008 at 23:36:27 | 200.163.86.16
Excelente postagem e explicação…Obrigado e continue assim!
Abraços!
19. luciene&hellip | abril 7th, 2008 at 19:56:56 | 201.11.241.13
gostaria de mais exercicios na reta!!!
vlw..tah muitoo boa as explicaçoes!!
continuem assim..!!
20. kelly&hellip | abril 7th, 2008 at 20:00:54 | 201.11.241.13
tao mt boas as explicaçoes…!!!!
foi mt útil..tenho provaa e eu nao tava entendendo nada na aula…agora com essas explicaçoes ficaram mais faceis os exercicios..e tomara que eu consiga pasar na provaa!!! ;D
21. monique&hellip | abril 12th, 2008 at 18:06:27 | 200.222.151.19
eu achei legal este site, pq ñ entendia este assunto e depois q visitei este site consegui entender!! vlw!!
22. Romário&hellip | abril 22nd, 2008 at 13:56:36 | 189.82.98.220
Vlw pelo site, Sempre que preciso fazer um trabalho, Procuro nesse site e sempre axo o que eu quero,=D
23. Daiane&hellip | maio 14th, 2008 at 17:30:03 | 200.149.163.112
oie
está matéria foi de muita importância para mim
obligada pela ajuda
bjs
24. Lívia&hellip | maio 16th, 2008 at 10:50:30 | 189.25.29.76
Esse site ajuda não só aos alunos como também aos professores que querem interagir e buscar novidades no mundo da matemática para repassar aos seus alunos.Já que dou aulas para adolescentes, sabem o quanto pe dificil prender a atenção dessa turma agitada e em fases explosivas nas aulas AINDA mais de matemática
25. Marianna&hellip | agosto 7th, 2008 at 11:57:31 | 201.40.116.160
Achei o site muito bom sim, mas como e um site que acredito tenha como objetico ajudar alunos em alguns momentos usa uma linguagem muito tecnica, o que pode dificultar a compreencao.
Mas,estao de parabens
26. Carlota Joaquina&hellip | agosto 13th, 2008 at 16:54:21 | 189.102.167.25
como eu acho um terço na reta real ?
27. Bianca&hellip | agosto 15th, 2008 at 11:45:54 | 201.16.206.1
continuo sem entender nada sobre esse assunto :/
28. thays&hellip | agosto 19th, 2008 at 19:04:59 | 189.110.243.176
isso e otimo gostei das fraçoes
29. Lourenço da Mata&hellip | agosto 26th, 2008 at 14:22:49 | 66.110.113.61
Agradeço a criação desse site, pois vem abrir o leque de diversos estudantes e professora no conhecimento humano da Matématica, espero encontrar outros iguais ou melhor, mto obrigado
30. augusto&hellip | setembro 30th, 2008 at 18:29:47 | 201.88.124.3
gostei, simplis e complexo
31. Julia&hellip | outubro 14th, 2008 at 10:47:45 | 189.104.14.181
achei o site bom, me ajudou muito em algumas coisas. mas eu ainda nao sei o que é reta real !*
32. francilma&hellip | novembro 3rd, 2008 at 13:32:24 | 189.122.34.157
Porque voces naum dão respostas mais completas e claras ??
exercício resolvido !!
33. Patricia&hellip | fevereiro 12th, 2009 at 20:22:28 | 201.80.33.207
aaaffee . nao ajudoou nada ¬¬
34. bruna campos liima&hellip | março 2nd, 2009 at 18:02:38 | 200.202.255.142
Obrigada! AJudou mto..
mais queria saber sobre os parenteses! Podem ser usados iguais colchetes?
Obrigada desde ja!
35. mari&hellip | março 2nd, 2009 at 21:41:53 | 200.97.116.37
Nãoo ajudou em nadaa
36. Alex Alexandrino&hellip | março 5th, 2009 at 13:35:45 | 201.92.224.9
Bruna, vc só pode usar parenteses se o intervalo for aberto.
( ) = ] [ .
OK?
37. mikaela&hellip | março 5th, 2009 at 20:57:51 | 200.202.115.210
eu não entendi muita coisa precisava ser mais objetivo!!
38. esther&hellip | março 9th, 2009 at 16:10:50 | 189.83.149.126
odiei o site nao me ajudou em nda
39. Jaqueline Almeida&hellip | março 9th, 2009 at 23:08:43 | 200.181.185.118
Olha, axei bm intressant ec topco pq tirei algums duvds q tnha em relaçao a ec assunt! ;¬)
agora vc tbm podia flar sobre como memorizar matmatik..!
Vlw
40. Paulo Roberto Jardim&hellip | março 23rd, 2009 at 18:26:13 | 200.182.231.182
A explicação é muito complexa, deveria ser de mais facil entendimento!!!!!
41. anderson luis de andrade&hellip | março 30th, 2009 at 00:03:02 | 201.24.158.132
Olha eu aprendin sim muita coisa que eu estava com duvidas mas consegui superar essa barreira ok e muito obrigado..
42. william&hellip | abril 1st, 2009 at 01:26:03 | 200.175.217.148
??? num intendii ndaa #)
43. Eduardo&hellip | abril 2nd, 2009 at 00:15:01 | 200.101.115.181
Excelente explicação, me ajudou muito
obrigado.
Continue assim
44. L uiza L Siqueira&hellip | abril 7th, 2009 at 18:41:10 | 201.66.34.72
Gostaria de saber quando é que numa união ou intersecção
troca as bolinhas vazias para as fechadas ou vice -versa
45. jonthan xavier&hellip | abril 12th, 2009 at 22:38:55 | 200.225.164.207
Éssa explicação me ajudou muito
tirei varias duvidas
Obs : Exelente trabalho.
46. natalia&hellip | abril 14th, 2009 at 13:25:26 | 201.18.53.170
ficou ótimo
xauuu
47. luziiiii&hellip | abril 15th, 2009 at 19:31:06 | 189.104.140.49
n entendi,como saber A é n unido a B
48. lilian&hellip | abril 16th, 2009 at 22:19:25 | 201.47.37.57
nao da p entender nada,.voce deveria ter feiro separado primeiro A ∩ B e depois A U B !!
tah confuso isso!
49. Ana&hellip | maio 21st, 2009 at 11:16:16 | 189.70.16.133
Muito obrigada vocês me ajudaram muitooooooooooo!
50. Thais Mirella&hellip | maio 24th, 2009 at 10:33:38 | 201.18.62.11
Vcs que falaram que não entenderam nada, é por que com certeza vcs não tiveram nenhuma introdução do assunto….
Tá muito boa essa postagem!!
PARABÉNS!!
51. DANIELA&hellip | maio 25th, 2009 at 15:22:47 | 200.201.112.43
ACHEI MUITO INTERESSANTE E CONSEGUI OBTER MUITO MAIS CONHECIMENTO SOBRE ESSE TEMA TAO DISCUTIVEL NA MATEMATICA.
52. Mauro Jr.&hellip | junho 13th, 2009 at 16:14:56 | 189.4.101.226
Odeio MTM :D
53. Angelica&hellip | junho 17th, 2009 at 16:13:34 | 200.223.178.62
Isso Ai em Cima E MuitO Bom Aprende Muita Coisa!
54. luis gustavo&hellip | junho 23rd, 2009 at 18:36:22 | 200.100.176.144
gostei muito de aprender intervalos,quando vc presta muito atençao vc sabe fazer é muito legal
55. elimar reis&hellip | julho 17th, 2009 at 08:36:02 | 189.93.130.249
rapido, pratico e facil de absorver,aprendi muito com essa explicação
56. camila passos&hellip | julho 29th, 2009 at 20:42:47 | 189.105.12.71
esplica beem ! mais poderi ater uma linguagem mais facil pra intendermos melhos
57. Mayse Fonseca&hellip | agosto 16th, 2009 at 14:46:56 | 201.32.48.38
Gostei muito, muito bem explicado, mas acho que deveria ter uma liguagem mais simples…
58. Thaílla&hellip | agosto 18th, 2009 at 22:01:54 | 200.253.241.4
eu prefiro que isso seja exolicado em uma linguagem mais formal , para que assim possamos assimilar melhor o conteúdo.
59. Joan&hellip | setembro 25th, 2009 at 13:52:50 | 189.59.108.224
oi eu n entendi uma coisa quando que eu uso intervalo fechado e aberto e por que vcs n poderiam me explicar?eu to no 1º grau e to com dificuldades para aprender isso vai cai na prova
60. jefferson&hellip | novembro 10th, 2009 at 10:14:43 | 200.164.230.106
oi muito interessante
61. lais&hellip | dezembro 20th, 2009 at 17:26:21 | 189.15.214.166
seria mais interessante e ajudaria muito mais se tivesse as esplicaçoes nas retas….
62. Blacks0n&hellip | fevereiro 18th, 2010 at 16:15:08 | 94.246.127.23
P0h tava um kaduh facil de intender, se vces explicacem de um m0do mais simples seria melhor
63. Carlos Ferreira&hellip | fevereiro 22nd, 2010 at 10:21:53 | 200.151.169.2
valeu.gostei
muito da dica sobre união e intersecção de intervalos ajudou bastante.
64. Mariana&hellip | fevereiro 24th, 2010 at 15:37:23 | 187.24.225.198
muito interessante. Contribuiu para tirar varias duvidas. Obg !
65. Kazekage-sama&hellip | março 1st, 2010 at 20:46:10 | 201.86.12.109
matematica me condena D:
66. jose valmir&hellip | março 6th, 2010 at 19:54:20 | 189.73.90.48
nao entendi
67. jpjellifister&hellip | março 13th, 2010 at 20:20:12 | 189.80.137.50
Na verdade estava procurando operaçoes com intervalos,gostaria de ter encontrado A-B representado na reta real.
68. Fernanda&hellip | março 14th, 2010 at 19:03:23 | 189.104.36.143
Odeioo matematiicaa maiis ee necessario fazer o que !?
taa bem explicadoo gosteii parabeens !
PRODIGIANOOS ! HASUHASUHASUHASUHASUHASUHAS !
69. Gustavo&hellip | março 25th, 2010 at 00:03:02 | 189.75.7.164
Muito explicativo, e deu para passar a idéia de forma clara e objetiva. Muito bom!
É, realmente estudar matemática é um saco, gosto muito de física por que tem sempre um propósito direto, mas isso que se aprende no ensino médio em matemática pouquíssimas pessoas vão usar em suas vidas depois de algumas eventuais provas…
70. Aparecida Terezinha Cania&hellip | março 26th, 2010 at 20:59:24 | 201.89.197.81
Para trabalhar essa aula é necesario de um professor do lado.
71. Gabrilella&hellip | março 31st, 2010 at 15:52:19 | 189.26.213.133
Faltaram os exercícios pra gente fazer né ?!
72. roseli ferreira dos santo&hellip | abril 5th, 2010 at 12:08:22 | 189.18.189.160
gostaria que as eplicações fossem em videos
73. annandy raquel&hellip | abril 5th, 2010 at 14:25:55 | 200.137.2.254
muito legal……….
74. Renan&hellip | abril 23rd, 2010 at 13:03:26 | 201.8.194.119
Obrigado, serviu para meu trabalho ! :D
75. David&hellip | abril 23rd, 2010 at 19:51:48 | 187.90.2.144
Achei muito interessante e muito bem explicado..
so que devia colocar na forma de venn euler
76. Thiago duprat&hellip | abril 25th, 2010 at 21:39:26 | 200.242.181.197
Mtoo booaa essa explicaçãao me ajudoou msmoo ‘ ‘—–
77. walter cruz&hellip | abril 26th, 2010 at 12:23:04 | 41.72.26.224
quero saber materia sobre conjuntos numerico
78. Taturango&hellip | abril 28th, 2010 at 21:03:37 | 200.160.195.58
Não achei muito bom, mas do que achei na internet foi o melhorzinho…
79. MARIA DOS PRAZERES&hellip | maio 5th, 2010 at 10:17:47 | 200.144.30.94
Bom dia,
Por favor, podem ajudar-me nessa resolução?
X elevado a 3 = 2.744
Como monto essa equação?
grata
80. amanda&hellip | maio 10th, 2010 at 17:50:21 | 201.35.178.236
nao entendi nada boiei legal na explicaçao eu só queriacom retas seria mais facil…
81. augusto&hellip | maio 19th, 2010 at 18:26:57 | 187.77.255.169
ACHEI MUITO BACANA;TIROU TODAS AS MINHAS DUVIDAS.
82. lucas&hellip | maio 29th, 2010 at 18:52:33 | 189.104.33.34
muito bom , e interessante tirei minhas duvidas sobre esse assunto……… :D
83. Marly&hellip | junho 22nd, 2010 at 15:49:10 | 187.42.132.179
gostei mt tha bem explicado wleu
84. Hose Maria&hellip | junho 27th, 2010 at 19:39:52 | 79.101.66.231
ayaya, gostei muito de aprender intervalos,quando vc presta muito atençao vc sabe fazer é muito legal!!
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