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Frações: Redução – Parte II

setembro 15th, 2007

Vamos abordar neste post as propriedades referentes à redução de frações. Alguns conceitos aqui utilizados encontram-se no post Frações – Parte I que podem – e devem – ser consultados em caso de dúvidas.

Redução de Frações

Reduzir uma fração é transformá-la em uma outra equivalente.

Tá legal. Mas o que são frações equivalentes? São aquelas que mantêm a mesma proporção de outra fração, ou seja, é a fração obtida, de uma outra, multiplicando-se ou dividindo-se o seu numerador e o denominador por um mesmo número diferente de zero (veja propriedade 6 da primeira parte).

Exemplo: \frac{3}{5} = \frac{9}{15}. Veja que a segunda fração é obtida a partir da primeira multiplicando-se o seu numerador e seu denominador por 3. Inversamente, a primeira é obtida da segunda dividindo-se o seu numerador e seu denominador, também, por 3.

Os principais procedimentos de redução de frações são:

  1. Reduzir inteiros a frações impróprias;
  2. Reduzir números mistos a frações impróprias;
  3. Extrair inteiros de frações impróprias;
  4. Simplificar frações;
  5. Reduzir frações ao mesmo denominador.

1. Reduzir inteiros a frações impróprias

Simples. É suficiente multiplicar o número inteiro escolhido por outro número inteiro – de preferência diferente de um – e compor a fração imprópria com o numerador igual ao produto obtido e o denominador igual ao multiplicador – o outro número.

Exemplo. Seja reduzir 7 inteiros a terços:

7 = \frac{7}{1} = \frac{7\times3}{3} = \frac{21}{3}.

2. Reduzir números mistos a frações impróprias

Para se reduzir um número misto a fração imprópria, multiplica-se a sua parte inteira pelo denominador da parte fracionária e, ao produto adiciona-se o numerador da parte fracionária. Ao total obtido dá-se por denominador o da parte fracionária.

Exemplo. Seja reduzir 5 inteiros e 3/8 (três oitavos) a oitavos.

Como a unidade vale 8 oitavos, 5 unidades valem 5×8 ou 40 oitavos, os quais adicionados aos três oitavos dão 43 oitavos:

5\frac{3}{8} = 5 + \frac{3}{8} = \frac{(8\times5) + 3}{8} = \frac{43}{8}

3. Extrair inteiros de frações impróprias

Para se extrair os inteiros de uma fração imprópria, isto é, transformá-la em um número misto, divide-se primeiro o numerador pelo denominador. O quociente dessa divisão representa os inteiros – parte inteira do número misto – e, caso haja resto, este será o numerador da parte fracionária cujo denominador é o da fração original.

Exemplo. Extrair os inteiros da fração imprópria 43/8.

Como a unidade vale 8 oitavos (8/8), temos na fração dada 5 unidades que cabem em 43 (5 x 8 = 40) e sobram 3 oitavos. Em outras palavras, a divisão de 43 por 8 tem como quociente o inteiro 5 e resto 3. Portanto, pela regra, vem;

\frac{43}{8} = 5 + \frac{3}{8} = 5\frac{3}{8}

4. Simplificar frações

Simplificar uma fração é reduzir esta fração à uma fração mais simples mantendo-se a proporção da fração original. E o princípio que norteia a simplificação de frações é: uma fração não se altera quando dividimos seus termos por um mesmo número diferente de zero (veja propriedade 6 do artigo anterior).

Observe que para simplificar frações é necessário que haja um divisor comum, além da unidade, aos seus termos. E, torná-la irredutível é obter a fração equivalente em que o único divisor comum aos seus termos é a unidade, ou seja, quando o mdc – máximo divisor comum – entre o numerador e o denominador é igual a 1, o que é o mesmo que os seus dois termos serem primos entre si.

Exemplo. Simplificar a fração 6/18.

Primeiro observe que seus termos são múltiplos de 2. E, portanto, ela pode ser simplificada efetuando-se a divisão de seus termos por 2:

\frac{6}{18} = \frac{\frac{6}{2}}{\frac{18}{2}} = \frac{3}{9}

O procedimento acima é, de fato, uma simplificação, uma vez que houve a redução a uma fração mais simples em que a proporção foi mantida. No entanto, ainda não se encontra em sua forma irredutível, pois o 3 é um divisor comum aos termos da fração resultante. Assim, efetuando mais uma simplificação, dividindo-se os termos por 3, vem:

\frac{6}{18} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}

obtendo-se a sua forma irredutível, uma vez que o mdc(3,1) = 1, isto é, 1 e 3 são primos entre si.

Teorema 1. Para reduzir uma fração à sua forma irredutível, é suficiente dividir os seus dois termos pelo seu mdc.

De fato, ao se dividir os dois termos de uma fração pelo seu mdc, obtem-se quocientes primos entre si, e portanto formam uma fração irredutível. Além do mais, essa fração é igual à fração original uma vez que foi obtida dividindo-se seus dois termos por um mesmo número.

No exemplo anterior o mdc(18,6) = 6 = 2 x 3, os fatores utilizados para se determinar a forma irredutível da fração dada. O mesmo resultado, claro, seria obtido se efetuassemos a divisão por 6.

5. Reduzir frações ao mesmo denominador

Reduzir frações ao mesmo denominador é determinar frações equivalentes às frações dadas e que tenham o mesmo denominador.

Novamente, o princípio em que se baseia a redução de frações ao mesmo denominador é o estabelecido na propriedade 6 do artigo anterior: Uma fração não se altera quando os seus dois termos são multiplicados pelo mesmo número diferente de zero.

Regra 1. A regra mais simples de se reduzir várias frações ao mesmo denominador é multiplicar os dois termos de cada uma pelo produto dos denominadores de todas as outras.

Exemplo 1. Reduzir ao mesmo denominador as frações 3/5 e 6/7.

Aplicando a regra 1, vem:

\frac{3}{5} = \frac{3\times7}{5\times7} = \frac{21}{35} e \frac{6}{7} = \frac{6\times5}{7\times5} = \frac{30}{35}

Como você é esperto deve ter notado que as frações obtidas são equivalentes às primitivas, pois resultaram da propriedade acima apontada e têm o mesmo denominador, igual ao produto dos denominadores das frações originais.

Exemplo 2. Reduzir ao mesmo denominador as frações 1/2, 2/3, 3/4.

Pela regra 1:

\frac12 = \frac{1\times(3\times4)}{2\times(3\times4)} = \frac{12}{24}

\frac23 = \frac{2\times(2\times4)}{3\times(2\times4)} = \frac{16}{24}

\frac34 = \frac{3\times(2\times3)}{4\times(2\times3)}=\frac{18}{24}

Regra 2. Redução de frações ao mesmo denominador comum utilizando-se o mmc (mínimo múltiplo comum). Pela própria definição de mmc o denominador assim obtido será o menor denominador comum das frações equivalentes, o que só ocorrerá pela regra 1 se os denominadores das frações dadas forem primos entre si. Passos:

  • Simplificar as frações (não necessário, mas recomendado, pois facilita os cálculos);
  • Determinar o mmc dos denominadores das frações originais ou simplificadas. Este será o denominador comum das frações equivalentes;
  • Multiplicar o numerador de cada fração pelo quociente entre o mmc e o denominador desta fração. Este procedimento determina o numerador das frações equivalentes.

Exemplo. Reduzir ao mesmo denominador as frações do exemplo 2 da regra 1.

Primeiro passo: não se faz necessário pois todas as frações estão na forma irredutível.

Segundo passo: O mmc(2,3,4) = 12. Este será o denominador comum.

Terceiro passo: N1 = (12/2)x1 = 6; N2 = (12/3)x2 = 8; N3 = (12/4)x3 = 9, onde N1, N2 e N3 são os numeradores das frações equivalentes.

Logo as frações equivalentes são: 6/12; 8/12 e 9/12.

Referências:

Elementos de Aritmética, Curso Superior – Para o curso colegial e admissão às escolas superiores, do Irmão Isidoro Dumont, Coleção de Livros Didáticos F. T. D, publicado em 26/10/1945

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Categorias: Matemática,Técnico

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53 Comentários Adicione o seu

  • 1. Alexandre Costa dos Santo&hellip  |  setembro 16th, 2007 at 18:25:25

    eu tirei minhas duvidas através desse recurso

    muito obrigado!!!!!!!!!!!!!!!!

  • 2. rafaela dos santos coelho&hellip  |  setembro 17th, 2007 at 14:27:32

    aqui não tem nada do que eu quero eu queria saber o que era frações equivalentes algumas pergunta e respostas vcs precizam melhorar
    eu não estou pedindo e sim mandando tá?
    vcs não pensam.
    por favor façam direito.
    rumm

  • 3. Dacles&hellip  |  setembro 28th, 2007 at 18:23:09

    Muito bom esses “tutoriais” de matemática!
    Parabéns!

  • 4. Beatriz&hellip  |  outubro 2nd, 2007 at 21:02:19

    ui ui ui rafaela..
    ic ic ?
    cara.. vc naum manda em nada aki.. beleza ?
    a unica coisa em que vc manda é na tua bunda e onde vc enfia ela.. se vc naum sabe matematica vc que se foda nas provas esse site é muito bom e vc naum tem direito de ficar falando asneira dele falows ?
    se mata garota..

  • 5. Beatriz&hellip  |  outubro 2nd, 2007 at 21:03:47

    éaah.. ja percebi que vc toma ”rum” néah ?
    até fica colocando ele em sites e blablabla..
    aFF.. ^ ^
    num vi mais tosca..

  • 6. Viche » Frações: &hellip  |  outubro 12th, 2007 at 18:01:13

    [...] da regra 2 de redução de frações ao mesmo denominador comum (veja a Parte II), temos que o mmc(3,6,8) = 24 [...]

  • 7. ci&hellip  |  novembro 5th, 2007 at 23:06:44

    oi , estou precisando muito de ajuda pois ñ saco nada de mátemática e gostaria de saber como faço pra transformar uma fraçao impropria para numeros mistos cujo são: 15 2

    urgente!!!!!

  • 8. leticia rodrigues cavalca&hellip  |  novembro 26th, 2007 at 18:55:45

    nao escuta a Rafaella nao ela nao sabe de nada eu achei tudo q eu queria
    e ate muito mais meu trabalho vai ficar um maximoo

  • 9. Bruna&hellip  |  novembro 28th, 2007 at 10:00:08

    Tenho prova hj e ñ sei simplificar a porcaria da fração me ajudaa?

  • 10. Ana&hellip  |  dezembro 3rd, 2007 at 14:47:17

    tens razao rafaela!tens muita razao!
    aqui nao tem nada sobre frasoes equivalentes!!!
    PRECISAO DE MELHORAR!!

  • 11. ilda&hellip  |  janeiro 31st, 2008 at 16:31:20

    obrigado.
    consegui entender e preciso muito….obrigado

  • 12. catarina&hellip  |  fevereiro 12th, 2008 at 14:50:33

    quero saber como posso tranformar uma fração em n} inteiros será que podem tirar minha dúvida ?

    muito obrigada !!!

  • 13. marcia&hellip  |  março 10th, 2008 at 22:28:54

    acho que o site yhoo tinha que dar exemplos de varias cisas

  • 14. camilla&hellip  |  abril 13th, 2008 at 17:58:46

    nao tem nadaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa….

  • 15. Arthur&hellip  |  abril 29th, 2008 at 17:57:33

    qual é a fração equivalente à 6/10 que o numerador seja 21? Errei na minha prova e gostaria de saber.
    Obrigado

  • 16. Pedro&hellip  |  abril 30th, 2008 at 13:36:00

    Aki naun tem nada sobre reduzir fração ao menor denominador comum =/ Site de …

  • 17. Tiago&hellip  |  junho 3rd, 2008 at 13:34:41

    muito útil, já tirei as duvidas que precisava.
    estou me preparando para o exame :p

  • 18. vanessa barreto bomfim&hellip  |  junho 5th, 2008 at 17:42:58

    É EU GOSTEI MUITO DESSE SITE,MAS EU QUERIA SABER MAIS SOBRE “O NUMERO E O SEU DENOMINADOR”
    BOM FORA ISSO ESSE SITE FOI APROVADO POR MIM !!!!!!!!

    OBS:adorei esse site,gostei bastante#

    *BEIJOS*

  • 19. thaine&hellip  |  junho 6th, 2008 at 17:31:43

    eu nao to conseguindo entender esse negocio de fraçao equivalente…
    podem me ajudarrrrrr???/////

  • 20. Edson Torres&hellip  |  junho 26th, 2008 at 21:16:43

    Grande Professor Newton….

    Depois de algum tempo sem acessar o blogViche, tive uma surpresa agradável ao pesquisar no google um assunto no qual precisava relembrar para tirar algumas dúvidas de minha filha (estudante da 4ª série), muito bom saber que o blog continua bombando… rsrsrsrsrs…
    Um grande abraço chefe Newton…

    Att
    Edson Torres

  • 21. giovanna&hellip  |  junho 29th, 2008 at 00:10:17

    quero apreender mais sobre fraçoes

  • 22. ELANE&hellip  |  julho 8th, 2008 at 18:53:10

    COMO FAÇO PRA ENSINAR DA MELHOR MANEIRA A MINHA FILHA SOBRE FRAÇÃO EQUIVALENTE EAL TA NA 4ª SÉRIE.

  • 23. Luizah&hellip  |  setembro 10th, 2008 at 01:03:26

    bom nao era isso que estava procurando..
    eu queria aprender o m.m.c de fração segunda tem prova disso e eu nao seeii
    queria saber mais ..
    mais não existe nenhum site que ensine
    a matematima m.m.c de frações
    u preciso aprender isso urgente
    por favor quem sabe manda um comentario me ensinando ta bom
    beijooh
    may neymi ys Luizáh
    meu msn > luizinha_blota@hotmail.com

  • 24. caroline&hellip  |  setembro 26th, 2008 at 11:45:32

    não consegui cnompreender muito bem .teria que uma melhor explicação

  • 25. caroline&hellip  |  setembro 26th, 2008 at 12:10:29

    não consegui compreender masaprovo este site

  • 26. Ina&hellip  |  outubro 13th, 2008 at 17:07:17

    Não gostei da explicação, achei péssima.
    Por este motivo não irei mais acessar este saite e muito menos recomendar para amigos e pessoas que me perguntarema respeito de matemática.

  • 27. esther&hellip  |  outubro 22nd, 2008 at 17:54:42

    esse site e orrivel odiei num intemdi nada

  • 28. isa&hellip  |  outubro 29th, 2008 at 20:01:00

    por favor explica 1 pocu melhor a fração irredutivel, vai me ajuda pro trab de mat

  • 29. Neyre: Prfª de matemáti&hellip  |  novembro 5th, 2008 at 23:05:07

    Eu gostaria de trocar esperiências com outros professores da área de matemática.

  • 30. jesileine&hellip  |  novembro 18th, 2008 at 15:31:04

    eu gostaria de lembrar tudo isso na rova de mat

  • 31. jonathan&hellip  |  novembro 19th, 2008 at 07:54:43

    sou uma criansa de 12 anos ,da 6 serie, e quero muito aprender o mmc , ou ceja multiplo minimo comun, me ajude por favor.

  • 32. jessica&hellip  |  novembro 26th, 2008 at 19:29:19

    eu presciso saber mais de matematica pra mim poder passar de ano !!!
    Eu Aprender!!!

  • 33. Barbara Pereira&hellip  |  dezembro 3rd, 2008 at 18:25:16

    não consigo fazer por favor me ajude!
    a)5/6 de360
    b)3/4 de 900
    c)2/8 de2400
    d)7/9 de 5400

  • 34. thayane mirian silva&hellip  |  janeiro 3rd, 2009 at 18:54:53

    gostei muito, quero aprender mais matematica *-*

    continuem assim ai outras crianças vão aprender mais*-*

  • 35. Dessa&hellip  |  fevereiro 26th, 2009 at 15:30:23

    Oi , eu queria aprender á fazer a Simplificação de frações ..
    tenho 12 anos estou na 6° série e queria tirar essa dúvida tem como me ajudar ??

  • 36. Paula&hellip  |  março 30th, 2009 at 21:51:04

    por favor me ajude a resolver a seguinte questão:
    escreva cada número decimal na forma de fração irredutivel:
    a)1,25 b)8,5 c)-1,4

  • 37. sindra c pereira&hellip  |  abril 1st, 2009 at 14:38:16

    eu achei este site muito bom adorei

  • 38. Marcos Monte&hellip  |  abril 15th, 2009 at 15:12:30

    Boa terde eu não esto conseguindo fezer é a Regra prática para a fatoração.vcis pondem me esplicar por favor .

  • 39. felipe&hellip  |  abril 19th, 2009 at 15:09:32

    a fraçao 3/8 eh igual a que porcentagem

  • 40. Izabella&hellip  |  maio 19th, 2009 at 22:50:00

    OUU Esse site me ajudo a gahar 1.0 na matematica (trabalho)

    Muito obrigadoo

  • 41. CARLA DE LIMA&hellip  |  junho 28th, 2009 at 20:04:44

    Tenho bastante dificuldades em matematica pois estou muito tempo sem pratica-las, preciso atualizar-me, gostei bastante destes informativos na internet.

  • 42. José Lima Cavalcante&hellip  |  julho 12th, 2009 at 05:49:44

    muito bom mesmo, para quem gosta de matemática é ótimo e curioso. grato

  • 43. Salles&hellip  |  julho 21st, 2009 at 22:07:07

    to na 7° serie E to renovando aKi esses assuntos muito fácil …

  • 44. kessia&hellip  |  agosto 16th, 2009 at 11:58:22

    gotei muito é muito bom pra mim e pros outros q gostam de matematica ::

  • 45. luciane oliveira&hellip  |  setembro 13th, 2009 at 20:39:13

    Gostei muito da explicação dos exercícios, mas quero sugerir que utilizem mais gráficos para a explicação de frações, pois se faz entender melhor.

  • 46. Bravo com um leão!&hellip  |  setembro 22nd, 2009 at 14:48:06

    Gostei de todos os assuntos, mas, como eu sou novo nesse site, não encontrei sobre frações originais.

  • 47. juliana&hellip  |  setembro 25th, 2009 at 11:30:14

    eu gostaria de saber como se faz a reduçao

  • 48. anne&hellip  |  janeiro 6th, 2010 at 10:46:00

    cara esse site ta OTIMO pra estudar

  • 49. bruna&hellip  |  maio 11th, 2010 at 00:02:40

    maneiro *.*

  • 50. rafa&hellip  |  maio 26th, 2010 at 11:40:44

    Eu amei este site ,eu entende mas so sei que esse site e´ mara pra quem quiser estudar

  • 51. manuella&hellip  |  maio 31st, 2010 at 17:22:38

    eu queria saber se voce poderia adiçionar exercicios para melhorar os estudos,mais tirando isso o site é mt bom
    adorei bjs

  • 52. resumo do aluno Marcelo &&hellip  |  junho 23rd, 2010 at 17:38:46

    [...] da regra 2 de redução de frações ao mesmo denominador comum (veja a Parte II), temos que o mmc(3,6,8) = 24 [...]

  • 53. luiza&hellip  |  agosto 4th, 2010 at 22:15:14

    nao me ajudo em nd………..mentira !ajudo simmm………….bjkinhasss

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