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Adição

É a operação que tem por fim determinar uma fração que contenha todas as unidades e partes de unidades de várias parcelas de mesma natureza.

Entende-se por mesma natureza as frações que exprimem as mesmas partes da unidade, ou seja, que tenham o mesmo denominador, também conhecidas como homogêneas (2/8, 3/8 e 5/8 é um exemplo de tais frações).

Distinguem-se três casos na adição de frações.

A1. Soma ou adição de frações homogêneas ou de mesmo denominador.

Como fazer – Somam-se os numeradores e conserva-se o denominador comum.

Exemplo:

\frac{2}{8}+\frac{3}{8}=\frac{2 + 3}{8}=\frac{5}{8}

Como o denominador representa em quantas partes a unidade foi dividida, lembram-se, basta, para obter o número das partes, somar os numeradores.

Na figura a seguir temos uma pizza – prato comum em Brasília – servida para você e um amigo dividida em oito partes iguais (faça um esforço!). Se você come dois pedaços e seu amigo três, os dois juntos consumiram cinco partes em oito, ou seja, cinco oitavos da pizza.

Adição

A2. Adição de frações que não têm o mesmo denominador comum (frações heterogêneas).

Inicialmente, atente que não podemos somar quantidades de “coisas” diferentes e expressar o resultado em uma dessas “coisas”. Clareando: não podemos somar 5 maçãs e 3 bananas e dizer que o resultado é 8 maças ou 8 bananas.

Assim para somar frações heterogêneas é necessário, primeiro, transformar cada parcela nas mesmas partes da unidade, isto é, em frações que tenham o mesmo denominador comum.

Em resumo:

Como fazer – Para somar frações que não tenham o mesmo denominador, é preciso reduzi-las ao mesmo denominador e aplicar, então, a regra do primeiro caso A1.

Exemplo: Somar as frações 2/3, 5/8 e 1/6.

Utilizando-se da regra 2 de redução de frações ao mesmo denominador comum (veja a Parte II), temos que o mmc(3,6,8) = 24 e:

\frac{2}{3}+\frac{5}{8}+\frac{1}{6}=\frac{16}{24}+\frac{15}{24}+\frac{4}{24}=\frac{16+15+4}{24}=\frac{35}{24}

A3. Somar números mistos.

Como fazer:

  • Método 1: Para somar números mistos, somam-se primeiro as partes fracionárias, depois as partes inteiras, acrescentando-lhes também os inteiros obtidos na adição das partes fracionárias;
  • Método 2: Para somar números mistos, reduza-os, primeiro, a frações impróprias e após proceda como no caso A2.

Exemplo: Somar os números mistos 3\frac{1}{5} e 5\frac{2}{3}, pelo método 1. E você resolve pelo método 2, ok :-).

Pelo dito no método 1, temos:

3\frac{1}{5}+5\frac{2}{3}=3+5+\frac{1}{5}+\frac{2}{3}=8+\frac{3+10}{15}=8\frac{13}{15}=\frac{133}{15}

Subtração

É a operação que tem por objetivo tirar de um número dado todas as unidades e partes da unidade de outro número de mesma natureza.

Observação: No que se segue não serão considerados os casos em que o minuendo é menor do que o subtraendo, pois requer o conhecimento da teoria dos números relativos. Mas as regras em si permanecem válidas para quem é detentor do assunto.

Da mesma forma que na adição temos três casos que se distinguem na subtração.

S1. Subtração de duas frações com o mesmo denominador.

Como fazer – Subtrai-se o numerador da menor do numerador da maior e conserva-se o denominador comum.

Exemplo:

\frac{7}{12}-\frac{5}{12}=\frac{7-5}{12}=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}

S2. Subtração de duas frações que não têm o mesmo denominador.

Lembrem-se, como colocado para a adição, que somente podemos subtrair quantidades de mesma natureza.

Como fazer – Da mesma forma que na adição, para se obter a subtração de frações heterogêneas, é preciso, primeiro, reduzi-las ao mesmo denominador, e, então, aplicar o caso S1.

Exemplo:

\frac{6}{7}-\frac{2}{5}=\frac{30}{35}-\frac{14}{35}=\frac{30-14}{35}=\frac{16}{35}

S3. Subtração de números mistos

  • Método 1: Para subtrair dois números mistos, subtraem-se primeiro as partes fracionárias, depois as partes inteiras e somam-se os resultados;
  • Método 2: Para subtrair dois números mistos, reduza-os, primeiro, a frações impróprias e após proceda como no caso S2.

Exemplo (método 2): Convertendo os números mistos dados na subtração para frações impróprias:

9\frac{2}{3}-2\frac{3}{5}=\frac{(9\times3)+2}{3}-\frac{(2\times5)+3}{5}=\frac{29}{3}-\frac{13}{5}

E reduzindo ao mesmo denominador comum – mmc(3,5)=15:

9\frac{2}{3}-2\frac{3}{5}=\frac{145}{15}-\frac{39}{15}=\frac{145-39}{15}=\frac{106}{15}

Multiplicação

A multiplicação de frações é a operação na qual partindo-se de duas frações dadas se obtem uma terceira que corresponde ao produto das duas anteriores.

M1. Multiplicar uma fração por outra.

Como fazer. Para se multiplicar uma fração por outra, multiplicam-se seus numeradores para obter o numerador da fração produto e seus denominadores para obter o denominador da fração produto.

Exemplo:

\frac{3}{8}\times\frac{5}{9}=\frac{3\times5}{8\times9}=\frac{15}{72}=\frac{5}{24}

Observação: Para se multiplicar um inteiro por uma fração ou uma fração por um inteiro basta multiplicar esse inteiro pelo numerador da fração ou o numerador da fração por esse inteiro. É só notar que um numero inteiro pode ser representado por uma fração cujo denominador é um, por exemplo, 5 = 5/1, e chegamos no caso M1, em que o denominador não se altera uma vez que é multiplicado por um.

M2. Produto de várias frações: É o resultado obtido multiplicando a primeira fração pela segunda; depois este produto pela terceira, e assim sucessivamente, até a última fração.

Observe que o produto de frações se faz da mesma forma que o produto de números inteiros e que o resultado, no caso das frações, é obtido pela aplicação repetida do caso M1.

Como fazer – Multiplicam-se os numeradores entre si para obter o numerador do produto e os denominadores entre si para obter o denominador do produto.

Exemplo:

\frac{2}{5}\times\frac{3}{8}\times\frac{5}{6}=\frac{2\times3\times5}{5\times8\times6}=\frac{30}{240}=\frac{1}{8}

Os cálculos acima poderiam ser simplificados, suprimindo-se os fatores comuns ao numerador e ao denominador, antes de efetuá-los, como indicado a seguir:

\frac{2}{5}\times\frac{3}{8}\times\frac{5}{6}=\frac{\not2^1\times\not3^1\times\not5^1}{\not5_1\times\not8_4\times\not6_2}=\frac{1\times1\times1}{1\times4\times2}=\frac{1}{8}

Divisão

Divisão de frações é a operação que tem por fim, dadas duas frações, dividendo e divisor, achar uma terceira, o quociente, tal que multiplicada pelo divisor, reproduza o dividendo.

D1. Dividir uma fração por um inteiro

Como fazer – Para se dividir uma fração por um inteiro multiplica-se o denominador pelo iinteiro.

Exemplo:

\frac{5}{6}\div3=\frac{5}{6\times3}=\frac{5}{18}

D2. Dividir um inteiro por uma fração.

Como fazer – Multiplica-se o inteiro pela fração invertida.

Exemplo:

5\div\frac{7}{3}=5\times\frac{3}{7}=\frac{5\times3}{7}=\frac{15}{7}

D3. Dividir uma fração por outra.

Como fazer – Multiplica-se a fração do dividendo pela fração do divisor invertida. Em outras palavras conserva-se a primeira (dividendo) e multiplica-se pelo inverso da segunda (divisor).

Exemplo:

\frac{\frac{3}{5}}{\frac{4}{7}}=\frac{3}{5}\div\frac{4}{7}=\frac{3}{5}\times\frac{7}{4}=\frac{3\times7}{5\times4}=\frac{21}{20}

Observações Finais

  • O inverso de um número é o quociente de 1 por este número. Exemplos: o inverso de 2 é 1/2, o inverso de 3/5 é 5/3 e o de 1/5 é 5;
  • Duas frações são inversas quando o numerador de cada uma é o denominador da outra;
  • Quando duas frações têm o mesmo denominador, o quociente entre elas é igual à fração formada pelo numerador da primeira sobre o da segunda. Exemplo (1/5):(3/5) = 1/3;
  • O produto de dois números inversos é sempre 1;
  • Dois números são recíprocos quando o seu produto é igual à unidade.

Referências:

Elementos de Aritmética, Curso Superior – Para o curso colegial e admissão às escolas superiores, do Irmão Isidoro Dumont, Coleção de Livros Didáticos F. T. D, publicado em 26/10/1945.

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Categoria : Matemática / Técnico





68 Respostas para “Frações: Operações – Parte III”


anna dezembro 20, 2009

eu queria sabe o que é fração:operação,potenciação,expressões

leticia dezembro 13, 2009

EU ACHEI ESSE SITE MUITO OTIMO MAS TINLHA QUE TER MAS OPERAÇOES COMO POTENCIAÇAO, RADICIAÇAO ,SO MAS SE VC COLOCAR VC VAI VER VAI SER MUITO MAS ASESSADO ……………..

eu adorei as explicações que deram espero procurar mais coisas e que vocês possam dar as explicações sejam vocês.

beijos de : Juliana

gleiçe dezembro 8, 2009

Ameiii a explicaçãoo

arthur dezembro 7, 2009

gostei do conteúdo

Bruno dezembro 1, 2009

E como faço para diminuir uma fração de um numero inteiro.

Por Exemplo: 6/4 – 9

(6/4 é 6 sobre 4) menos numero inteiro 9

Dario Santos dos Anjos novembro 15, 2009

Obrigado, é muito bom ter na rede páginas como esta. Encontrei exemplos ótimos parabens!

Iara novembro 10, 2009

ótimo o site, achei tudo que queria e muito bem explicado
parabens!

sanara outubro 6, 2009

Gostei !!! Muito obrigada .. BjOss ..

elisa setembro 23, 2009

eu não achei o que eu procurava

cinthia setembro 14, 2009

eu nao achei o que eu bem procurava
mas eu apredi muito
beijooooooooooooooossssssssss!!!!!!!!!!
fuiiiiiiiiiiiiiiii!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Thiago setembro 7, 2009

Eu não achei bem o que eu procurava

mateus&hellip setembro 2, 2009

gostei muito desse troso to na 5 serie ea minha professora e um grudeeeeeeeeeeeeeeeeeee!!!!!!!!!!!!

jullyana agosto 20, 2009

euu naoo entendii nadaa dessee troosoo hojee tenhoo provaa e numm seii nadaa aff

Vitória agosto 12, 2009

Eu qeero so operaçoes

wellington tatsunori asahide julho 24, 2009

esse site é bom , + c vc vai fasera faculdade entre no site http://www.scribd.com , eu achei esse site pelo bing (msm coisa que google , + é um novo)+ acho q vai dar certo vc entra pelo site direto

natasha julho 23, 2009

do seu salario de332,40vc gasta 2/8com mroradia3/8com alimentação sobrando para as demais despeza

vitor junho 15, 2009

Queria saber como se faz para obter frações inversas….
Eleva a -1?