Viche Responde #2 – Questão de Progressão Aritmética
novembro 11th, 2007
A categoria Viche Responde estava submersa. Na tentativa de trazê-la a tona farei um esforço para publicar a solução de uma ou mais questões por semana ou, na pior circunstância, uma ou mais por quinzena, selecionadas entre as propostas pelos leitores nos comentários dos artigos e, claro, que estejam relacionadas ao assunto lá abordado.
Retomo com uma questão de Progressão Aritmética relativamente simples, pelo menos para mim ;-), agregando à solução em si o detalhamento de um método de como penso se deva proceder para interpretar e resolver questões de matemática.
- Proponente
- Marcelo Augusto
- Questão
- Quantos números inteiros compreendidos entre 1 e 500 são divisíveis por 3 e por 7 ao mesmo tempo?
Condições – O que se tem:
O primeiro passo é o estabelecimento das condições iniciais da questão, as quais podem ser extraídas facilmente do enunciado:
- Os números inteiros são divisíveis por 3 e 7 ao mesmo tempo;
- E estão compreendidos entre 1 e 500.
Parece óbvio esse passo, e é na maioria das vezes, mas se trata de um procedimento essencial da solução.
Tese – O que se quer:
A quantidade de números inteiros que satisfazem as condições iniciais.
Solução:
a) Analisando a Condição 1:
Para que um número inteiro seja divisível por outros dois números inteiros ao mesmo tempo é suficiente que ele seja divisível pelo mínimo múltiplo comum entre eles. Como os números 3 e 7 são primos entre si, uma vez que o m.d.c.(3,7) = 1, os números que satisfazem essa condição devem ser múltiplos de 3 x 7 = 21 = m.m.c.(3,7).
Desse fato concluimos que os números formam a sequência:
(21, 42, 63, …, an)
e que essa sequência é uma PA de razão r = 21, pois a diferença entre um termo, a partir do segundo, e seu antecedente é sempre 21 e onde, por enquanto, desconhecemos quanto valem an e n, os quais serão determinados a partir da condição 2. Note que n é a quantidade procurada.
b) Analisando a condição 2:
Como os números devem estar compreendidos entre 1 e 500 temos que:
a1 = 21 > 1 e an < 500
Para concluir a solução do problema basta, então, determinar o valor de n.
E isso é feito a partir da fórmula do termo geral de uma PA:
an = a1 + (n – 1)r = 21 + (n – 1)21 = 21 + 21n – 21 = 21n < 500
Da desigualdade acima obtemos que:
n < 500/21 => n < 23,809…
E, finalmente, que o maior termo (an = 21 x 23 = 483) da seqüência que satisfaz a condição 2 é o obtido quando n = 23, que é a quantidade de números procurada.
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- Progressões – Parte I
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Categorias: Matemática,VICHE Responde
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13 Comentários Adicione o seu
1. Filipe&hellip | novembro 11th, 2007 at 11:59:32
Muito legal a iniciativa de publicar esas soluções :)
2. Ivan&hellip | novembro 12th, 2007 at 18:44:27
Vlw por estar fazendo estas soluções, mas vc poderia me ajudar com essa questão tb de PA
“Uma seqüência de quatro termos forma uma PG. Subtraindo-se 2 do primeiro termo e k
do quarto termo, transforma-se a seqüência original em uma PA. Uma terceira seqüência é obtida
somando-se os termos correspondentes da PG e da PA. Finalmente, uma quarta seqüência, uma
nova PA, é obtida a partir da terceira seqüência, subtraindo-se 2 do terceiro termo e sete do quarto.
Determine os termos da PG original.” brigado desde ja
3. nathalia julia&hellip | dezembro 19th, 2007 at 03:30:53
bom eu achei esse site super bacana…
eu tenho um pouco de dificudade em matematica minha cabeça fica toda enrolada…em que vocêis podem me ajudar??
beijos
fica com deus
*** JESUS AMA TODOS VOCEIS****
4. nathalia julia&hellip | dezembro 19th, 2007 at 03:34:38
OI VC PODE ME EXPLICAR EQUAÇÕES EXPONENCIAIS
5. corsaria&hellip | dezembro 20th, 2007 at 06:21:09
Muy buena explicación. :-)
Felices fiestas. ;-)
6. Edson Adriano ( lindão )&hellip | dezembro 21st, 2007 at 08:41:12
ow professor, vamo colocar artigo sobre tabless
hehehe!
Abraço!
7. José Carlos&hellip | abril 1st, 2008 at 14:03:40
Sou estudante de Matemática estou gostando muito dess blog, pois precisamos de momentos virtuais como esse, contemplando as considerações e as fazendo ou seja interação necessária. Também, preciso saber com resolver as seguintes questões de P.A:”Calcule o 4º termo da P.A. em que “a10=18″ e ” a12=10″.
2. “Calcule a razão da P.A. em que “a5=8 e a12 = 43″
Obs.: os nº dos termos”a5, a10 e a12″ são underline.
Obrigado desdejá. Vou colaborar mais vezes!
8. Sérgio&hellip | abril 23rd, 2008 at 13:25:25
21) Numa floricultura, Giulia gastou R$ 35,00 para comprar meia dúzia de rosas e 10 cravos. Se ela tivesse comprado meia dúzia de cravos e 10 rosas, pagaria R$ 37,00. Nessa floricultura, a diferença entre os preços unitários dessas flores é de:
9. suzilaine&hellip | julho 8th, 2008 at 18:07:49
o site e muito informativo contem tudo que eu necessito
10. Rodolfo&hellip | agosto 2nd, 2008 at 16:27:15
Achei um site que constroi uma PA completa:
http://www.calculadoraonline.com.br/view/progressao-aritmetica.php
11. Nathália Cristina&hellip | agosto 17th, 2008 at 18:48:56
Adorei esse site, salvou minha vida!
Tenho prova amanhã e não sabia como estudar, então achei vocês!!!!
Muito Obrigada, e bastante sucesso com site!!!!!!!!!!!!
12. Thalita&hellip | dezembro 26th, 2008 at 16:57:54
geente eu num entendi muiita coisa não . é qi eu sou meio lenta mesmo, me ajudem pelo amor DE DEUS ! terça feira tenho prova e não sei nd sobre PA ! agradeço desde já bjs
13. elizia&hellip | dezembro 4th, 2009 at 17:06:03
ainda não entende sobre o assunto
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