A história nos mostra que desde muito tempo o homem sempre teve a preocupação em contar objetos e ter registros numéricos. Seja através de pedras, ossos, desenhos, dos dedos ou outra forma qualquer, em que procurava abstrair a natureza por meio de processos de determinação de quantidades.

E essa procura pela abstração da natureza foi fundamental para a evolução, não só, mas também, dos conjuntos numéricos. E é sobre eles que passamos a dissertar.

Conjunto dos Números Naturais

Como decorrência da necessidade de contar objetos surgiram os números naturais que é simbolizado pela letra N e é formado pelos números 0, 1, 2, 3, …, ou seja:

N = {0; 1; 2; 3; …}

Um subconjunto de N muito usado é o conjunto dos números naturais menos o zero, ou seja N – {0} = conjuntos dos números naturais positivos, que é representado por N*.

Observações:

  • Em N são definidas apenas as operações de adição e multiplicação;
  • Isto é fato pois se a e b são dois números naturais então a + b e a.b são também números naturais. Esta propriedade é conhecida como fechamento da operação;
  • Valem as propriedades associativa, comutativa e elemento neutro (0 para a adição e 1 para a multiplicação) para as duas operações e a distributiva para a multiplicação em N. Veja o artigo Produtos Notáveis para maiores detalhes sobre essas propriedades, no caso da multiplicação, onde o conjunto universo considerado é o dos números reais, que abordaremos mais abaixo, e que são válidas para N;
  • Em N a subtração não é considerada uma operação, pois se a diferente de zero pertence a N o simétrico -a não existe em N.

Como consequência, surge um novo conjunto para atender essa necessidade.

Conjunto dos Números Inteiros

Chama-se o conjunto dos números inteiros, representado pela letra Z, o seguinte conjunto:

Z = {…, -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; …}

No conjunto Z distinguimos alguns subconjuntos notáveis que possuem notação própria para representá-los:

  1. Conjunto dos inteiros não negativos: Z+ = {0; 1; 2; 3; …};
  2. Conjunto dos inteiros não positivos: Z- = {…; -3; -2; -1; 0};
  3. Conjunto dos inteiros não nulos: Z* = {…, -3; -2; -1; 1; 2; 3; …};
  4. Conjunto dos inteiros positivos Z+* = {1; 2; 3; …};
  5. Conjunto dos inteiros negativos Z-* = {…; -3; -2; -1}.

Note que Z+ = N e, por essa razão, N é um subconjunto de Z.

Observações:

  • No conjunto Z, além das operações e suas propriedades mencionadas para N, vale a propriedade simétrico ou oposto para a adição. Isto é: para todo a em Z, existe -a em Z, de tal forma que a + (-a) = 0;
  • Devido a este fato podemos definir a operação de subtração em Z: a – b = a + (-b) para todo a e b pertencente a Z;
  • Note que a noção de inverso não existe em Z. Em outras palavras, dado q pertencente a Z, diferente de 1 e de -1, 1/q não existe em Z;
  • Por esta razão não podemos definir divisão no conjunto dos números inteiros;
  • Outro conceito importante que podemos extrair do conjunto Z é o de divisor. Isto é, o inteiro a é divisor do inteiro b – simbolizado por b | a – se existe um inteiro c tal que b = ca;
  • Os números inteiros podem ser representados por pontos de uma reta orientada ou eixo, onde temos um ponto de origem, o zero, e à sua esquerda associam-se ordenadamente os inteiros negativos e à sua direita os inteiros positivos, separados por intervalos de mesmo comprimento;
  • Cada ponto da reta orientada é denominado de abcissa;
  • Em Z podemos introduzir o conceito de módulo ou valor absoluto: |x| = x se x >= 0 e |x| = -x se x < 0, para todo x pertencente a Z. Como decorrência da definição temos que |x| >= 0 para qualquer número inteiro.

Conjunto dos Números Racionais

O conjunto dos números racionais, simbolizado pela letra Q, é o conjunto dos números que podem ser escritos na forma de uma fração p/q, com p e q inteiros quaisquer e q diferente de zero:

Conjunto dos Números Racionais

Como todo número inteiro pode ser escrito na forma p/1, então Z é um subconjunto de Q. Valem também para o conjuntos dos números racionais as notações Q* (conjunto dos números racionais não nulos), Q+ (conjunto dos números racionais não negativos) e Q- (conjunto dos números racionais não positivos).

Observações:

  • São válidas todas as propriedades vistas para o conjunto dos números inteiros;
  • Além disso é válida a propriedade simétrico ou inverso para a multiplicação. Isto é, para todo a/b pertencente a Q, a/b diferente de zero, existe b/a em Q tal que (a/b)(b/a) = 1;
  • Decorre da propriedade acima que é possível definir a operação de divisão em Q* da seguinte forma (a/b):(c/d) = (a/b).(d/c), para quaisquer a, b, c e d pertencente a Q;
  • Todo número racional p/q pode ser escrito como um número decimal exato (ex: 1/2 = 0,5) ou como uma dízima periódica (1/3 = 0,333…).

Números Irracionais

Como o próprio nome sugere um número irracional é todo número não racional, isto é, todo número que não pode ser escrito na forma de uma fração p/q, onde p e q são inteiros e q diferente de zero.

São exemplos de números irracionais a raiz quadrada de 2 e a raiz cúbica de 3, ou seja, nenhum deles pertence a Q.

A título de ilustração vamos demonstrar, pela teoria do absurdo, que a raiz quadrada de 2 não pertence a Q.

Suponhamos que raiz quadrada de 2 é racional e admitamos que possa ser escrita como uma fração irredutível a/b, b diferente de zero:

Demonstração

Da expressão acima concluímos que a ao quadrado é par e que, portanto, a é par. Logo a = 2m, com m inteiro. Substituindo o valor de a na expressão anterior vem que:

Demonstração

Da mesma forma obtemos que b também é par, o que é um absurdo pois a/b é irredutível, ou seja, a e b são primos entre si, e portanto têm como divisor comum apenas o número 1, isto é, mdc(a,b) = 1.

Caso deseje obter maiores informações sobre as operações com números irracionais consulte os artigos publicados no blog na categoria Matemática.

Conjunto dos Números Reais

O conjunto dos números reais, simbolizado pela letra R, é o formado por todos os números racionais e por todos os números irracionais:

R = {x | x é racional ou x é irracional}

Desse modo todos os conjuntos numéricos (N, Z e Q), bem como o conjunto dos números irracionais são subconjuntos de R.

Da mesma forma destacamos três outros subconjuntos de R: R* = conjunto dos reais não nulos, R+ = conjunto dos reais não negativos e R- = conjunto dos reais não positivos.

Conjunto dos Números Complexos

O conjunto dos números complexos, simbolizado pela letra C, foi criado para dar sentido às raízes de índice par de números negativos, com a definição da unidade imaginária i igual a raiz quadrada de -1, e são constituídos de elementos na forma a + bi, onde a e b são reais. Desse fato temos que R está contido em C.

Referências:

  1. Fundamentos de Matemática Elementar, Gelson Iezzi, Osvaldo Dolce & Carlos Murakami, São Paulo, Atual Editora Ltda, edição 1977;
  2. Matemática para o Ensino Médio: Volume Único, Manoel Jairo Bezerra, São Paulo, Editora Scipione, 2001.