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Produtos Notáveis

setembro 23rd, 2006

Nos cálculos algébricos são frequentes a presença de alguns produtos (multiplicações) que, por conta desse fato, obtiveram destaque especial e receberam o nome de Produtos Notáveis.

Como se vê não há nada de excepcional. Decorrem, como o próprio expressa, de uma operação aritmética, a multiplicação, com a qual todos se deparam no início de sua formação.

Envolve, também, como veremos, a definição de Potenciação com expoente inteiro e que já foi abordada aqui no Blog Viche. E, também, nestas condições, nada mais é do que uma multiplicação.

Assim, é natural lembrá-los das propriedades da multiplicação que serão utilizadas (ou não) nas demonstrações dos Produtos Notáveis mais comuns apresentados abaixo.

Propriedades da Multiplicação em R

  • Comutativa – A ordem dos fatores não altera o resultado final da operação ou produto: a.b = b.a, para todo a e b reais;
  • Associativa – O agrupamento de fatores não altera o resultado: a.(b.c) = (a.b).c, para qualquer a, b e c reais;
  • Distributiva – O produto de um número por uma soma ou diferença de dois outros números é igual a soma ou diferença entre o produto desse número por cada uma das parcelas: a.(b + c) = a.b + a.c ou a.(b – c) = a.b – ac;
  • Elemento Neutro – O número (fator) 1 é o elemento neutro da multiplicação: 1.x = x, para qualquer x real;
  • Elemento Opositor – O número -1 transforma o produto em seu oposto: -1.x = -x, para qualquer x real diferente de zero;
  • Fechamento – O produto de dois números reais é, sempre, um número real;
  • Anulação – O número 0 anula o produto: 0.x = 0, para qualquer x real.

Produtos Notáveis Mais Comuns

PN1. Quadrado da soma de dois números reais a e b quaisquer – a mais b ao quadrado é igual ao quadrado do primeiro mais duas vezes o primeiro vezes o segundo, mais o quadrado do segundo:

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

Demonstração:

Pela definição de potenciação temos que:

(a + b)2 = (a + b)(a + b)

Utilizando-se da propriedade distributiva da multiplicação:

(a + b)2 = a(a + b) + b(a + b) = a2 + ab + ba + b2

E, finalmente pela propriedade comutativa vem:

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

PN2. Quadrado da diferença de dois números reais a e b quaisquer – a menos b ao quadrado é igual ao quadrado do primeiro menos duas vezes o primeiro vezes o segundo, mais o quadrado do segundo:

(a – b)2 = a2 – 2ab + b2

PN3. O Produto da soma pela diferença de dois números reais a e b quaisquer é igual ao quadrado do primeiro termo (a) menos o quadrado do segundo (b):

(a + b)(a – b) = a2 – b2

Demonstração:

Novamente é decorrência das propriedades distributiva e comutativa da multiplicação:

(a + b)(a – b) = a(a – b) + b(a – b) = a2 – ab + ba – b2 = a2 – b2

PN4. Cubo da soma de dois números reais a e b quaisquer – a mais b ao cubo é igual ao cubo do primeiro mais três vezes o quadrado do primeiro vezes o segundo, mais três vezes o primeiro vezes o quadrado do segundo, mais o cubo do segundo:

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Demonstração:

Da definição de potenciação:

(a + b)3 = (a + b)(a + b)2

Pela propriedade PN1:

(a + b)3 = (a + b)(a2 + 2ab + b2)

Da propriedade distributiva da multiplicação vem:

(a + b)3 = a(a2 + 2ab + b2) + b(a2 + 2ab + b2)

=> (a + b)3 = a3 + 2a2b + ab2 + ba2 + 2ab2 + b3

Somando os termos comuns com o uso da propriedade comutativa:

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

PN5. Cubo da diferença de dois números reais a e b quaisquer – a menos b ao cubo é igual ao cubo do primeiro menos três vezes o quadrado do primeiro vezes o segundo, mais três vezes o primeiro vezes o quadrado do segundo, menos o cubo do segundo:

(a + b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3

PN6. Produto de Stevin:

(x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab

PN7. Produtos de Warring:

[1] a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2)

[2] a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2)

Demonstração de [1]:

Da propriedade PN4 temos que:

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Por outro lado:

(a + b)3 = (a + b)(a + b)2 = (a + b)(a2 + 2ab + b2)

Substituindo na igualdade anterior vem:

a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)(a2 + 2ab + b2)

Ajustando a igualdade e colocando os termos comuns em evidência:

a3 + b3 = (a + b)(a2 + 2ab + b2) – 3a2b – 3ab2

=> a3 + b3 = (a + b)(a2 + 2ab + b2) – 3ab(a + b)

=> a3 + b3 = (a + b)(a2 + 2ab + b2 – 3ab) = (a + b)(a2 – ab + b2)

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Categorias: Matemática,Técnico

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81 Comentários Adicione o seu

  • 1. Lucas Alves&hellip  |  setembro 25th, 2006 at 09:18:51

    Bom dia amigo, Show de bola eim…
    A Matemática é fantastica.

  • 2. Eugenio Grigolon&hellip  |  setembro 29th, 2006 at 08:05:25

    Cara, cheguei no seu blog através do blog do Maujor.

    Simplesmente adorei! Tema matemática para mim é muito legal. Só que na época da escola não fui um aluno muito estudioso, sempre mediano. Mas gosto muito de matemática.

    Considere-me um visitante diário de seu blog. Abraços.

  • 3. micaella kelly&hellip  |  outubro 20th, 2006 at 09:46:52

    tipow, tudo bem?
    sou de patos paraIBA, ADOREI MUITO o site, ate pq ajuda muito nao só as pessoa, mais tambem os alunos que gostam de estudar.
    braço!!!!!111

  • 4. Viche » Conjuntos N&hellip  |  fevereiro 2nd, 2007 at 23:11:04

    [...] Valem as propriedades associativa, comutativa e elemento neutro (0 para a adição e 1 para a multiplicação) para as duas operações e a distributiva para a multiplicação em N. Veja o artigo Produto Notáveis para maiores detalhes sobre essas propriedades, no caso da multiplicação, onde o conjunto universo considerado é o dos números reais, que abordaremos mais abaixo, e que são válidas para N; [...]

  • 5. alan jesus lima arguelo&hellip  |  fevereiro 17th, 2007 at 20:42:30

    o site me ajudou muito .tirou muitas duvidas muito obrigado

  • 6. Suzana&hellip  |  fevereiro 27th, 2007 at 11:10:58

    A Matemática é simplesmente uma ciência fantástica tanto que esta muito presente no nosso dia a dia . Quem não precisa da matemática ?

  • 7. Victor Muniz&hellip  |  março 13th, 2007 at 22:24:10

    PArabéns pelo blog é sensacional. Não sou bom em matemática, porém tenho me esforçado o bastante.Na ultima aula q tive o professor usou produto notaveis p/ a seguinte questão:
    2
    X +X-2 e achou (x+2)(x+1)

    Poderia me dizer como ele fez para achar esse valor?
    Ele falou q usou produto notáveis, mas fiquei com duvidas

  • 8. Victor Muniz&hellip  |  março 13th, 2007 at 22:31:51

    Seu blog é sensacional!
    Pode me dizer como meu professor achou o produto notavel de:
    2
    X + X – 2 ele achou ( X + 2 ) ( X – 1 )

    Eu queria saber como detalhadamente.
    Agradeço desde já;

  • 9. mauricio&hellip  |  março 25th, 2007 at 11:20:16

    quem conseguir resolver esta conta por favor me enviem.

    mostre que:

    A^n – B^n/A-B = A^n-1 + A^n-2 . B + A^n-3 . B^2 + … + B^n-1

  • 10. jean carlos hannoff duart&hellip  |  maio 15th, 2007 at 09:31:43

    nossaaaaa…..
    isso e muito massa cara …
    continue assim…

  • 11. kaioby&hellip  |  maio 22nd, 2007 at 10:11:29

    alguem ou mesmo o proprio autor poderia fazer-me o favor de
    indicar o endereço de uma livraria onde pudesse adquirir o li-
    vro do Prof.Marcio Barbosa intitulado MANUAL DE CALCULOS
    NOTAVEIS.Quando estive em Recife-PE telefonei para o numero
    indicado por este professor,que se apresentava em um programa de televisão,porém fui informado que o mesmo tinha trocado de
    numero.Quem souber, responda para o meu e-mail.
    Obrigado.Prof.Kaioby

  • 12. Weliton dos Reis&hellip  |  junho 11th, 2007 at 11:34:39

    Bom dia tudo, bem!!!
    Eu tenho uma dúvida sobre a fórmula de uma taxa de retorno da seguinte forma:
    EU SEI A RESPOSTA POIS FIZ NA CALCULADORA HP-12C E ESTÁ CORRETA: 31,29%. PORÉM NÃO ESTOU SABENDO CHEGAR DE FORMA MANUAL QUERDO DESCOBRIR O R. E O R=31,29%. É ASSIM:
    A pessoa investe 100 e tem ganhos de 70 – 50 e 40 – ou seja é um fluxo de caixa nessa sequência:
    O desenvolvimento da fórmula é assim:
    100/1=70/(1+r)^1+50/(1+r)^2+40/(1+r)^3
    ou seja:
    70/(1+r)^1+50/(1+r)^2+40/(1+r)^3-100/1=0
    essa é a fórmula, se tivesse apenas três numeros eu conseguiria ou seja: (1+i)^2, porém não é.
    VOCÊ POR FAVOR PODERIA ME AJUDAR???? POR FAVOR VÊ O QUE O SENHOR PODE FAZER, PELO MENOS UMA DICA.

    Atenciosamente
    e-mail: weliton@nanet.com.br ou weliton767@hotmail.com
    Weliton dos Reis

  • 13. maria aparecida ramos de &hellip  |  junho 14th, 2007 at 21:16:04

    gostaria que registrasem os objetivos gerais e especificos dos produtos notaveis
    atenciosamente
    cida

  • 14. antonio signorelli filho&hellip  |  junho 20th, 2007 at 11:21:09

    gostaria de obter as apostilas de marcio babosa
    sig

  • 15. thi&hellip  |  junho 27th, 2007 at 08:49:52

    oi

  • 16. jéssica&hellip  |  julho 2nd, 2007 at 14:44:49

    deixe mais contas pra resolver!

  • 17. rose&hellip  |  julho 9th, 2007 at 17:43:10

    Moss…
    muito mass isso bem explicativo.
    gostaria de saber como se resolve:

    (x² +1)². (x-1²)²

    queria saber mais sobre isso..

  • 18. leticia&hellip  |  julho 10th, 2007 at 10:24:56

    show
    mais… e com frações ?
    valewww

  • 19. Eliane Antunes&hellip  |  julho 31st, 2007 at 20:57:06

    Olá, preciso urgentemente encontrar uma aplicação para o quadrado da soma de dois numeros. Uma maneira de passar para o cotidiano dos alunos. Help-me please! Obrigado.

  • 20. JACK&hellip  |  agosto 29th, 2007 at 17:05:22

    LEGAL AJUDA PRA CARAMBA, DA PRA RECORDAR MUITA COISA

  • 21. Fabrizio&hellip  |  agosto 31st, 2007 at 13:07:07

    Chefe,

    Ve essa ai pra mim. Estou quebrando a cabeca nas propriedades:

    Se V(3-2x) = V(2x) + 1 entao 4x^2=

    (a) 1
    (b) 4
    (c) 2-2x
    (d) 4x-2
    (e) 6x-1

    Onde “V” eh raiz quadrada do numero entre parenteses e “^2″ eh elevado ao quadrado.

    Valeu..

  • 22. milla&hellip  |  setembro 20th, 2007 at 16:00:09

    mtu bom,de grande auxilio para mim!!!!!

  • 23. mariana oliveira da rocha&hellip  |  outubro 6th, 2007 at 17:37:00

    sera q da para vcs botarem uma coisa mais definida?????????????? sabe por que???? porque SOU DA QUINTA SERIE!!!

  • 24. mariana oliveira da rocha&hellip  |  outubro 6th, 2007 at 17:39:23

    DESCULPE A GROSSERIA.

  • 25. Rodrigo&hellip  |  outubro 8th, 2007 at 09:15:15

    pow demais esse site perfeito euto estudando produto notavel agora da hora

  • 26. nathalya camacho&hellip  |  fevereiro 14th, 2008 at 11:12:09

    eu amo matematica……..
    nunca gostei tanto de uma materia…….
    matematica no ensino medio é show…….
    beijin da nathy……..
    e estude muitoooooooooooo……………

  • 27. Anderson&hellip  |  março 31st, 2008 at 16:04:27

    Ola Td bem Sou Jovem de 13 anos curso a 7 serie

    Gostaria De saber A formula direta dos produtos notaveis

  • 28. Anderson&hellip  |  março 31st, 2008 at 16:12:10

    Vicor olha Nu caso eu armei fazendo a distributiva

    (x+2) (x-1)=x ao quadrado -x +2x -2

    Tomara qui eut enha lhi ajudado apesar ti ter encontrado resultados diferentesOlha sou 7 serie

  • 29. Nilmara Moreira&hellip  |  abril 1st, 2008 at 16:26:50

    Eu gostei muito do site muito interessante,aprendi varias coisas . ;]

  • 30. Nilmara Moreira&hellip  |  abril 1st, 2008 at 16:32:53

    Ajuda bastante estou eswtudando produtos notaveis e estou apredendo tudinho de vez em quando eu me complico com algumas coisas mais queria saber mais sobre produtos notaveis ;]
    *:

  • 31. gabriel&hellip  |  abril 9th, 2008 at 15:16:45

    Adorei me ajudou muito mesmo tava precisando disso pra relembrar matéria antiga que vou estudar novamente.
    Muito bem explicado e criativo, seu blogo é muito bom
    parabéns!

  • 32. aline silva dos santos&hellip  |  abril 10th, 2008 at 11:47:56

    valeu!!vocês são demais!!!bjs

  • 33. gracy&hellip  |  maio 4th, 2008 at 22:00:28

    OTIMO ADOREI

  • 34. Jonhy Syllas&hellip  |  maio 5th, 2008 at 18:54:54

    Olá amigos matemáticos, por favor alguém sabe se existe uma demostração da propriedade do elemento absorvente da multiplicação. ou seja porque x.0=0 para todo x real

  • 35. natalia&hellip  |  maio 13th, 2008 at 18:49:15

    gostei muito de saber algumas coisas a mais aqui assim da p ver que internet tambem serve p estudar e acabei aprendendo mais um pouco disso estou no 8 ANO BEJU A TODOS XAU.

  • 36. vania&hellip  |  junho 11th, 2008 at 21:37:17

    BOM diiimassssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssss!

  • 37. Gunther&hellip  |  junho 12th, 2008 at 21:48:17

    Nuoossa MuitO legal Seu Blog ^^ Preodutos notáveis eh massa *-* ate xegar equação de 2° grau ¬¬ !!

    Maix vlw ae Bom blog ^^

  • 38. Stephany Lorrany&hellip  |  julho 1st, 2008 at 22:36:38

    Muito bom esse blog, mais faltou uma coisaque todo mundo te, duvida >>>>>>>>
    (x + 1)² + (x – 1)² + 2.(x + 1).(x-1)<<<<<<<<<<
    Isso ai todos que conheço tem duvidas inclusive eu.
    Pois matematica em termos é um bicho de 7 cabeças

  • 39. Elemar&hellip  |  agosto 14th, 2008 at 10:44:57

    Gostei… mas gostaria de saber como se resolve este (1+x) elevado a y. tenho procurado saber mas ainda não tive exito. tem como me ajudar ? obrigado.

  • 40. De&hellip  |  agosto 16th, 2008 at 21:44:01

    NAo entendi muito bem
    Ajustando a igualdade e colocando os termos comuns em evidência:

    a3 + b3 = (a + b)(a2 + 2ab + b2) – 3a2b – 3ab2

    => a3 + b3 = (a + b)(a2 + 2ab + b2) – 3ab(a + b)

    => a3 + b3 = (a + b)(a2 + 2ab + b2 – 3ab) = (a + b)(a2 – ab + b2)

    Como que ( na segunda linha do problema) o : -3ab(a+b) passa para o subtraindo (a2 + 2ab + b2 – 3ab) se ele está multiplicando (a+b) .O que ocorre com (a+b)?
    Por favor me ajude entender!

  • 41. bodé&hellip  |  agosto 17th, 2008 at 11:33:19

    simplifiqui as operacões ?

    a)(x+y)-(x2+y2)2

  • 42. thiago&hellip  |  agosto 18th, 2008 at 16:47:58

    como resolvo as propriedades comutativa, elemento neutro, distributiva e associativa na matemática para 7ª série??
    tenho q fazer um trabalho sobre isso e preciso saber o que é e preciso também dar exemplos, alguém pode me ajudar?
    é para amanhã, me ajudem urgente!!!!
    obrigado…..

  • 43. caio&hellip  |  agosto 24th, 2008 at 00:15:38

    nao consigo fazer um trabalho sobre numeros notaveis ^^alguem me ajuda …

  • 44. marcelo&hellip  |  agosto 26th, 2008 at 17:55:19

    ola qr saber como fazer esse exercicio
    sendo f(x)=3*x^2 calcule f(x+h)-f(x)

  • 45. Eliza&hellip  |  agosto 29th, 2008 at 17:31:27

    Odeio essa matéria

  • 46. rsabela moura&hellip  |  setembro 18th, 2008 at 18:49:19

    Adorei fazer essa pedquisa pois pretento fazer mais e mis vezes

  • 47. Roberto&hellip  |  setembro 20th, 2008 at 17:51:49

    Eu vi em um lugar q inves de fazer essa formula toda do prod notavel era + simples faze

    a ao quadrado + 2 ab + b ao quadrado!!!

    isso funcionou com algumas q tentei + num sei se é 100% confiavel!!!

  • 48. Luiz Wagner verissimode o&hellip  |  setembro 22nd, 2008 at 00:07:03

    muito bom mais incompleto. precisa ter mais exemplos objetivos. com situaçoes reais.

  • 49. 007 Anonimo&hellip  |  setembro 24th, 2008 at 18:39:26

    meuuuuuuuuuuuuuuuu!
    prescisa de mais assuntos de produtos notáveis!!!!!!
    mas algumas características (exemplos) são bons,mas podem melhorar !!!!!
    dica de um internauta fã de matemática

    obs:[obrigada pela compreensão],.

  • 50. Babii&hellip  |  setembro 28th, 2008 at 16:00:51

    (5x+b).(5xy-3x)= ?

  • 51. Monica Rocha&hellip  |  outubro 25th, 2008 at 20:38:28

    OI tenho que fazer um trabalho sobre Produtos Notaveis ,e não estou consiguindo =( me ajudem ! ( O que significa produtos notaveis ?)

  • 52. stephanie&hellip  |  outubro 27th, 2008 at 15:34:37

    temos q tentar ñ é……
    aprender é facil dificil é resolver!!!
    boa tarde

  • 53. mandy&hellip  |  novembro 5th, 2008 at 16:44:13

    cara blog foda me ajudou muuuuuuuuuuuuuuuuuuuito mesmo tava certa de tirar 0 ou no maximo 2 na prova final,dei uma olhada aqui prestei atençao e tentei fazer igualzinho na prova né que deu certo tirei 8 marca historica

  • 54. SHEILA&hellip  |  novembro 11th, 2008 at 13:14:59

    NÃO ME LEMBRO COMO FAÇO PARA SEPARAR O X DO Y

    EX: 3X+5Y=11

    VC PODE ME AJUDAR?
    OBRIGADO

  • 55. givanildo sebastiao da si&hellip  |  novembro 28th, 2008 at 10:48:09

    estou com duvida na resouluçao de soma de produtos notaveis com um termo vc pode me ajudar? ainda hoje? Obj

  • 56. joaozin&hellip  |  janeiro 10th, 2009 at 15:26:52

    ai a resposta e 4 letra “b”

  • 57. tiago souza&hellip  |  março 18th, 2009 at 12:52:52

    gostei tirou minhas duvida

  • 58. stefany&hellip  |  abril 5th, 2009 at 17:11:41

    eu adorei..tirei varias duvidas para prova de amanha obrigado valeuuu

  • 59. Looorena&hellip  |  maio 31st, 2009 at 22:19:04

    é bem legal.
    eu estou na 7º serie e nao entendo muito eu gostaria de saber:

    (a+b)^5, 6, 7 , 8 , 9 ,10.

  • 60. anahhh...&hellip  |  junho 13th, 2009 at 16:25:42

    olha, me ajudou bastante viu !!!
    valeu por publicar esta matéria !!!!!!!!!
    byyyyyyy

  • 61. leonardo&hellip  |  junho 15th, 2009 at 09:29:34

    esse vai responder oq vc quer esse é muito bom

  • 62. karollina&hellip  |  junho 18th, 2009 at 17:52:32

    eu estou na 7 serie e ta meio dificil pra mim entender essa materia mas isso mi deu uma ajuda i tanta agradeço muito por botar essa explicaçao

  • 63. anne karoline&hellip  |  junho 22nd, 2009 at 14:42:20

    estou do no 8º/7º e estou estudando essa materia e entreiii no site e agradeço por ter existido este site pq foi ele q me ajudou a tirar total na prova de matematica!!! brigadaaa

  • 64. mayaramartins&hellip  |  julho 5th, 2009 at 19:09:51

    oie estou na 7 serie e eu acho essa matéria muito chata mas esse site me ajudou muito e eu fui a unica da sala a gabarita !bj

  • 65. Curiosidade Matemática #&hellip  |  agosto 15th, 2009 at 00:38:57

    [...] repare bem, bem mesmo, na primeira expressão entre parêntesis, lembre-se do velho e conhecido Produtos Notáveis e conclua comigo [...]

  • 66. endrew&hellip  |  agosto 26th, 2009 at 20:07:56

    eu gostei muito de se sate muito enteressante

  • 67. brunakelly&hellip  |  agosto 30th, 2009 at 11:21:26

    esse saite é otimo é uma maravilha gostei muito.

  • 68. Gihbraz'&hellip  |  setembro 16th, 2009 at 20:19:07

    Nossa! estou estudando essa matéria e não estava intendendo nada! esse site me ajudo de mais

    Obrigada ;D Beijos

  • 69. bia&hellip  |  outubro 3rd, 2009 at 17:05:24

    bom eu ñ ententi nada dessa gestao aki (xy-10)elevado a2quem pode me ajudar por favor ?
    (x-0,2)elevado a2 qual a reposta ja tentei ñ consigui por favor

  • 70. Luana&hellip  |  outubro 20th, 2009 at 21:15:38

    explica bastante coisa,mais eu queria saber com se calcula produtos notáveis com fração.

  • 71. Inaaa&hellip  |  novembro 25th, 2009 at 15:04:05

    Achei bem interessante este site, mais acho que seria mais viável se ouvesse o desmanche dos alculos para que o aluno percebece com mais claresa os cálculos matemáticos!

  • 72. Barbara&hellip  |  dezembro 20th, 2009 at 20:43:49

    foi muito util pra mim eu gostei nao eu ameiiiiiiiiiiii

  • 73. Sabrina&hellip  |  janeiro 5th, 2010 at 12:46:15

    DIFICIL , mas e facinaante quando se resolve :D

  • 74. Sabrina&hellip  |  janeiro 5th, 2010 at 16:30:15

    Teeenho uma prova final amanha , e o assunto e pordutod notaveis e fatoração
    sendo que eu não seeii :S’

  • 75. Maiaa '&hellip  |  janeiro 5th, 2010 at 16:33:43

    voo fazer uma porva com esse asunto,
    neen sei mt beem mas to estudando Bastante :D

  • 76. KARLA '&hellip  |  janeiro 5th, 2010 at 17:01:24

    tenho uma prova amnha e não quero reporva PORDUTOS NOTAVEIS !’ ajuuda ae chat :DD

  • 77. Hudson&hellip  |  janeiro 19th, 2010 at 21:28:20

    muito bom, sua pessoa tem twitter?

  • 78. shamara&hellip  |  maio 7th, 2010 at 10:17:06

    Obrigada p resposta anterior.

    Se possível gostaria q respondesse essas 3 questoes abaixo:

    1) 4x^2-20x+c=0, qual valor de “c” sabendo q a diferença de suas raízes é 7? Resp.: -24

    2) y=2x^2+mx+1, qual é a soma das raízes sabendo q as mesmas são positivas e uma é o dobro da outra? Resp.: 1,5

    3) x^2-6x+10=0, qual valor de 1/m+1/n? “m” e “n” são suas raízes. Resp.: 3/5.

    Estou em Angola, quatro horas a mais q no Brasil. Agradeço se vc conseguir me responder logo, pois vou precisar p hoje ainda.
    Estou sem livros p pesquisa.

    Muito grata.

    Shamara costa.

  • 79. fernanda&hellip  |  junho 26th, 2010 at 19:10:12

    me ajudemmm,por favooor

    sabendo-se que o volume de um paralelepipedo é calculado atraves do produto de suas tres dimensões.obtenha a expressão algébrica silplificada que represente o volume de uma peça mecânica composta por tres paralelepipedos superpostos,cuja dimensões são:

    do primeiro: (x +y),(x+2)e (y-3)
    do segundo: (x-y),(x+1)e (y+5)
    do terceiro: (y-x),(x-3)e(y+2)

  • 80. fernanda&hellip  |  junho 26th, 2010 at 19:16:08

    por fvaoor,questoes de um trabalho valendo 8 pontos

    o polinomio ax² +bx+c é o quociente exato da divisao de 2x³-2x²-11x-7 por x+1 determine o valor de |a+b+c|.

    grata,fernanda

  • 81. Carolina Oliveira Dias&hellip  |  julho 11th, 2010 at 12:33:59

    gente me ajuda por favor vale dez pontos preciso urgente da resposta
    2 2 2
    (x+1) + (x+2) – (2x+1)

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