No quarto número do Exercícios Resolvidos vamos colocar em prática a teoria apresentada no artigo sobre Logaritmo, o qual, sugiro, você deve consultar em caso de dúvidas, uma vez que serão apenas mencionadas as propriedades ali abordadas.

Exercício 1: Se logaba = 4, calcule:

Exercício 4 - Logaritmo

Solução:

Reescrevendo a expressão com o uso das propriedades dos logaritmos indicadas abaixo do sinal de igualdade, temos que:

Solução Exercício 1 - Logaritmo

Por outro lado, da condição inicial do exercício e da definição de logaritmo vem:

logaba = 4 => a = (ab)4 => a = a4b4 => b4 = 1/a3 => b = (1/a3)1/4 = 1/a3/4

Observe que acima foi considerado, apenas, o valor real de b maior do que zero na extração da raiz de índice 4 (condição de existência do logaritmo)

Substituindo o valor de b em logabb na expressão [1]:

Solução Exercício 1 - Logaritmo

Exercício 2: Se a, b e c são reais positivos com a diferente de 1 e ac diferente de 1, prove que:

logab = logacb(1 + logac)

Solução:

Note que a expressão do lado direito da igualdade possui um logaritmo na base ac. Assim, nada mais natural do que efetuarmos, incialmente, a mudança para essa base (L4) na expressão do lado esquerdo da igualdade. Assim:

Solução Exercício 2 - Logaritmo

Por raciocínio semelhante ao anterior, fazendo a mudança de base no denominador da fração para a base a, obtemos:

Solução Exercício 2 - Logaritmo

E, substituindo [2] em [1]:

Solução Exercício 2 - Logaritmo

Exercício 3: Se a e b são raízes da equação x2 – px + q = 0 (p, q > 0 e q diferente de 1), demonstre que:

logqaa + logqbb + logqab + logqba = p

Solução:

Aplicando a propriedade L3 ao primeiro membro da igualdade (definimos como A) vem:

A = alogqa + blogqb + blogqa + alogqb

Colocando os termos comuns em evidência:

A = (a + b)logqa + (a + b) logqb => A = (a + b)( logqa + logqb)

E, pela propriedade L1:

A = (a + b) logqab [1]

Como todos vocês sabem (espero) que em uma equação do segundo grau mx2 + nx + k = 0 a soma e o produto de suas raízes valem, respectivamente:

S = -n/m e P = k/m

vem, pelas condições iniciais do exercício, que:

a + b = p e a.b = q

Substituindo esses valores em [1]:

A = plogqq = p

Exercício 4: Se a, b e c são as medidas dos lados de um triângulo retângulo de hipotenusa de medida a e sabendo que a – b e a + b são diferentes de 1, demonstre que:

loga+bc + loga-bc = 2loga+bc.loga-bc

Solução:

Como o triângulo é retângulo, pelo Teorema de Pitágoras:

Solução Exercício 4 - Logaritmo

Efetuando a mudança de base (de a + b para a – b) da primeira parcela:

Solução Exercício 4 - Logaritmo

E substituindo no primeiro membro da igualdade a ser demonstrada:

Solução Exercício 4 - Logaritmo

E, por fim, de [1] e [2] vem que:

Solução Exercício 4 - Logaritmo

Exercício 5: Demonstrar que:

Solução Exercício 5 - Logaritmo

Solução:

A demonstração é consequência da propriedade L4 (mudança de base):

Solução Exercício 5 - Logaritmo

O exercício foi incluído, apesar de simples, por não ter sido tratado nas consequências da propriedade L4 do artigo sobre Logaritmo.

Exercício 6: Se a, b e c são reais positivos e diferentes de um e a = b.c, prove que:

Solução Exercício 6 - Logaritmo

Solução:

Pela propriedade L4 (mudança de base) temos:

Solução Exercício 6 - Logaritmo

Da condição inicial, aplicando-se o logaritmo na base b, obtemos:

logba = logbbc = logbb + logbc = 1 + logbc [2]

Substituindo [2] em [1]:

Solução Exercício 6 - Logaritmo

Referência:

  1. Fundamentos de Matemática Elementar, Gelson Iezzi, Osvaldo Dolce & Carlos Murakami, São Paulo, Atual Editora Ltda, edição 1977.

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