Nos cálculos algébricos são frequentes a presença de alguns produtos (multiplicações) que, por conta desse fato, obtiveram destaque especial e receberam o nome de Produtos Notáveis.
Como se vê não há nada de excepcional. Decorrem, como o próprio expressa, de uma operação aritmética, a multiplicação, com a qual todos se deparam no início de sua formação.
Envolve, também, como veremos, a definição de Potenciação com expoente inteiro e que já foi abordada aqui no Blog Viche. E, também, nestas condições, nada mais é do que uma multiplicação.
Assim, é natural lembrá-los das propriedades da multiplicação que serão utilizadas (ou não) nas demonstrações dos Produtos Notáveis mais comuns apresentados abaixo.
Propriedades da Multiplicação em R
- Comutativa – A ordem dos fatores não altera o resultado final da operação ou produto: a.b = b.a, para todo a e b reais;
- Associativa – O agrupamento de fatores não altera o resultado: a.(b.c) = (a.b).c, para qualquer a, b e c reais;
- Distributiva – O produto de um número por uma soma ou diferença de dois outros números é igual a soma ou diferença entre o produto desse número por cada uma das parcelas: a.(b + c) = a.b + a.c ou a.(b – c) = a.b – ac;
- Elemento Neutro – O número (fator) 1 é o elemento neutro da multiplicação: 1.x = x, para qualquer x real;
- Elemento Opositor – O número -1 transforma o produto em seu oposto: -1.x = -x, para qualquer x real diferente de zero;
- Fechamento – O produto de dois números reais é, sempre, um número real;
- Anulação – O número 0 anula o produto: 0.x = 0, para qualquer x real.
Produtos Notáveis Mais Comuns
PN1. Quadrado da soma de dois números reais a e b quaisquer – a mais b ao quadrado é igual ao quadrado do primeiro mais duas vezes o primeiro vezes o segundo, mais o quadrado do segundo:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Demonstração:
Pela definição de potenciação temos que:
(a + b)2 = (a + b)(a + b)
Utilizando-se da propriedade distributiva da multiplicação:
(a + b)2 = a(a + b) + b(a + b) = a2 + ab + ba + b2
E, finalmente pela propriedade comutativa vem:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
PN2. Quadrado da diferença de dois números reais a e b quaisquer – a menos b ao quadrado é igual ao quadrado do primeiro menos duas vezes o primeiro vezes o segundo, mais o quadrado do segundo:
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
PN3. O Produto da soma pela diferença de dois números reais a e b quaisquer é igual ao quadrado do primeiro termo (a) menos o quadrado do segundo (b):
(a + b)(a – b) = a2 – b2
Demonstração:
Novamente é decorrência das propriedades distributiva e comutativa da multiplicação:
(a + b)(a – b) = a(a – b) + b(a – b) = a2 – ab + ba – b2 = a2 – b2
PN4. Cubo da soma de dois números reais a e b quaisquer – a mais b ao cubo é igual ao cubo do primeiro mais três vezes o quadrado do primeiro vezes o segundo, mais três vezes o primeiro vezes o quadrado do segundo, mais o cubo do segundo:
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Demonstração:
Da definição de potenciação:
(a + b)3 = (a + b)(a + b)2
Pela propriedade PN1:
(a + b)3 = (a + b)(a2 + 2ab + b2)
Da propriedade distributiva da multiplicação vem:
(a + b)3 = a(a2 + 2ab + b2) + b(a2 + 2ab + b2)
=> (a + b)3 = a3 + 2a2b + ab2 + ba2 + 2ab2 + b3
Somando os termos comuns com o uso da propriedade comutativa:
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
PN5. Cubo da diferença de dois números reais a e b quaisquer – a menos b ao cubo é igual ao cubo do primeiro menos três vezes o quadrado do primeiro vezes o segundo, mais três vezes o primeiro vezes o quadrado do segundo, menos o cubo do segundo:
(a + b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3
PN6. Produto de Stevin:
(x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab
PN7. Produtos de Warring:
[1] a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2)
[2] a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2)
Demonstração de [1]:
Da propriedade PN4 temos que:
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Por outro lado:
(a + b)3 = (a + b)(a + b)2 = (a + b)(a2 + 2ab + b2)
Substituindo na igualdade anterior vem:
a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)(a2 + 2ab + b2)
Ajustando a igualdade e colocando os termos comuns em evidência:
a3 + b3 = (a + b)(a2 + 2ab + b2) – 3a2b – 3ab2
=> a3 + b3 = (a + b)(a2 + 2ab + b2) – 3ab(a + b)
=> a3 + b3 = (a + b)(a2 + 2ab + b2 – 3ab) = (a + b)(a2 – ab + b2)
ago 20, 2012 @ 14:31:42
issso que e amigo me deu um caderno chei de resposta aqui
ago 20, 2012 @ 14:01:12
quero fazer uma tarefa aqui prof nem passo o exemplo (x+6) alquadrado
ago 06, 2012 @ 07:35:14
bastante interativo e legal.
jul 13, 2012 @ 10:50:51
responda isso para mim por favor.soma ao cubo 24m de comprimento 50c de largura e 65c de altura.qual e a resposta.
jun 19, 2012 @ 19:48:52
mim ajudou muito!obg amei
abr 21, 2012 @ 17:04:15
gostei muito pois a materia esta bem explicada o conteudo bem simples de entender obrigado !!!!!!!
dez 08, 2011 @ 16:36:32
muito obrigado pela ajuda
estou de recuperação e a ajuda ajudou muito
dez 06, 2011 @ 15:55:03
eu presiso de ajuda vou ficar de dependemcia se eu não aprender isso agora!!!!!!!!!!!
ago 23, 2011 @ 16:04:28
achei muito bom por que esta tudo esplicado!!!
ago 18, 2011 @ 14:49:26
me ajudem me dando dez questoes de produtos notaveis é pra terça-feira!! rs rs rs
jun 04, 2011 @ 14:55:44
Eu adorei esse site!!!Mas estou em duvida de uma conta se puderem me ajudar muito
obrigada!!!ai vai a conta: 2abx(230x²y³² + 43²x³y²z² – 0,32abc³¹).(72-34²x³y + 43²x²y²z²)=
ME AJUDEM !!!!!!POR FAVOR rsrss
ago 18, 2011 @ 14:50:30
não é assim eu tambem nao sei ta legal
abr 06, 2011 @ 20:46:44
karaka aí muito nerd isso
nov 15, 2010 @ 13:06:10
meu deus, poderia colocar, explos de livro, exercicios.,…
out 17, 2010 @ 11:36:06
estou na duvida nessa conta (5aacima 4bc acima3).(-bc acima 2c).(+4a acima2 c
maio 31, 2011 @ 17:27:07
Olá, voce poderia usar o 8º caso dos produtos notaveis! Assim voce saberia a resposta amigo! Prestar atenção na aula é muito importante! ;)
set 24, 2010 @ 23:02:56
como se calcula 71 . 69 usando o produto da soma pela difrença de dois numeros
jun 14, 2011 @ 21:11:56
Não tem como, pois nenhum deles tem Raiz Quadrada exata
set 13, 2010 @ 23:05:59
respostas dos exercicios de matematica sobre produtos notaveis
set 10, 2010 @ 10:26:56
me dei o resultado da soma de cubos (a ao cubo+b ao cubo)
set 09, 2010 @ 22:56:00
aaah, esqueci o e-mail pra adc, hihi *-* gi.lokkka@hotmail.com , meeee addddd, ainda hoje, minha recuperação é amanhaa !!
set 09, 2010 @ 22:53:10
gostei mt desse site, e preciso muuuito de uma ajudinha minha prova de recuperação é amanhã. (10.09.2010) as matérias que vão cair é: geometria plana, produtos notaveis, polinomio, binomio, e tudo mais com mio, aaah cara eu n sei quase nada, sei até que bem a geometri plana, mais nãe é só isso a prova né.. eu to gostando muito muito de um guri ae, mais a minha mae ta enchendo o saco pra deixa eu sai pra festa, mais EU TENHO QUE SAI, pra pode encontrar com ele, minha mae até deixa, aah mais eu quero ir bem muito bem no colegio, eu preciso de ajudaaa, por favor as pessoas que lerem isso me ajudem, eu preciso, tanto pelo mateus (meu meninoo, hehe) como por toda minha familia.. todos querem o meu bem, e se eu roda esse ano eu vo ta muiiiito fudidaa, por favor me adc no orkut, mais dai poem la nos recadinhos de quando tu adc, que tu viu isso aque escrito aqui, porqe se não eu não aceito (só ceito conhecidos) mais dai quem fala que viu o meu comentario aqui eu aceito *–* então por favor, ME AJUDEM !
bj, giovana mendes !
jul 11, 2010 @ 12:33:59
gente me ajuda por favor vale dez pontos preciso urgente da resposta
2 2 2
(x+1) + (x+2) – (2x+1)
ago 27, 2011 @ 18:53:24
a resposta é= 4.
jun 26, 2010 @ 19:16:08
por fvaoor,questoes de um trabalho valendo 8 pontos
o polinomio ax² +bx+c é o quociente exato da divisao de 2x³-2x²-11x-7 por x+1 determine o valor de |a+b+c|.
grata,fernanda
jun 26, 2010 @ 19:10:12
me ajudemmm,por favooor
sabendo-se que o volume de um paralelepipedo é calculado atraves do produto de suas tres dimensões.obtenha a expressão algébrica silplificada que represente o volume de uma peça mecânica composta por tres paralelepipedos superpostos,cuja dimensões são:
do primeiro: (x +y),(x+2)e (y-3)
do segundo: (x-y),(x+1)e (y+5)
do terceiro: (y-x),(x-3)e(y+2)
jun 10, 2012 @ 17:05:16
eu odeio mat e produtos notaveis as professora nao bate bem????????????
maio 07, 2010 @ 10:17:06
Obrigada p resposta anterior.
Se possível gostaria q respondesse essas 3 questoes abaixo:
1) 4x^2-20x+c=0, qual valor de “c” sabendo q a diferença de suas raízes é 7? Resp.: -24
2) y=2x^2+mx+1, qual é a soma das raízes sabendo q as mesmas são positivas e uma é o dobro da outra? Resp.: 1,5
3) x^2-6x+10=0, qual valor de 1/m+1/n? “m” e “n” são suas raízes. Resp.: 3/5.
Estou em Angola, quatro horas a mais q no Brasil. Agradeço se vc conseguir me responder logo, pois vou precisar p hoje ainda.
Estou sem livros p pesquisa.
Muito grata.
Shamara costa.
jan 19, 2010 @ 21:28:20
muito bom, sua pessoa tem twitter?
jan 05, 2010 @ 17:01:24
tenho uma prova amnha e não quero reporva PORDUTOS NOTAVEIS !’ ajuuda ae chat :DD
jan 05, 2010 @ 16:33:43
voo fazer uma porva com esse asunto,
neen sei mt beem mas to estudando Bastante :D
jan 05, 2010 @ 16:30:15
Teeenho uma prova final amanha , e o assunto e pordutod notaveis e fatoração
sendo que eu não seeii :S’
jan 05, 2010 @ 12:46:15
DIFICIL , mas e facinaante quando se resolve :D
dez 20, 2009 @ 20:43:49
foi muito util pra mim eu gostei nao eu ameiiiiiiiiiiii
nov 25, 2009 @ 15:04:05
Achei bem interessante este site, mais acho que seria mais viável se ouvesse o desmanche dos alculos para que o aluno percebece com mais claresa os cálculos matemáticos!
out 20, 2009 @ 21:15:38
explica bastante coisa,mais eu queria saber com se calcula produtos notáveis com fração.
out 03, 2009 @ 17:05:24
bom eu ñ ententi nada dessa gestao aki (xy-10)elevado a2quem pode me ajudar por favor ?
(x-0,2)elevado a2 qual a reposta ja tentei ñ consigui por favor
set 16, 2009 @ 20:19:07
Nossa! estou estudando essa matéria e não estava intendendo nada! esse site me ajudo de mais
Obrigada ;D Beijos
ago 30, 2009 @ 11:21:26
esse saite é otimo é uma maravilha gostei muito.
ago 26, 2009 @ 20:07:56
eu gostei muito de se sate muito enteressante
Curiosidade Matemática #11 – Fatos Curiosos « Viche
ago 15, 2009 @ 00:38:57
[…] repare bem, bem mesmo, na primeira expressão entre parêntesis, lembre-se do velho e conhecido Produtos Notáveis e conclua comigo […]
jul 05, 2009 @ 19:09:51
oie estou na 7 serie e eu acho essa matéria muito chata mas esse site me ajudou muito e eu fui a unica da sala a gabarita !bj
jun 22, 2009 @ 14:42:20
estou do no 8º/7º e estou estudando essa materia e entreiii no site e agradeço por ter existido este site pq foi ele q me ajudou a tirar total na prova de matematica!!! brigadaaa
jun 18, 2009 @ 17:52:32
eu estou na 7 serie e ta meio dificil pra mim entender essa materia mas isso mi deu uma ajuda i tanta agradeço muito por botar essa explicaçao
jun 15, 2009 @ 09:29:34
esse vai responder oq vc quer esse é muito bom
jun 13, 2009 @ 16:25:42
olha, me ajudou bastante viu !!!
valeu por publicar esta matéria !!!!!!!!!
byyyyyyy
maio 31, 2009 @ 22:19:04
é bem legal.
eu estou na 7º serie e nao entendo muito eu gostaria de saber:
(a+b)^5, 6, 7 , 8 , 9 ,10.
abr 05, 2009 @ 17:11:41
eu adorei..tirei varias duvidas para prova de amanha obrigado valeuuu
mar 18, 2009 @ 12:52:52
gostei tirou minhas duvida
jan 10, 2009 @ 15:26:52
ai a resposta e 4 letra “b”
nov 28, 2008 @ 10:48:09
estou com duvida na resouluçao de soma de produtos notaveis com um termo vc pode me ajudar? ainda hoje? Obj
nov 11, 2008 @ 13:14:59
NÃO ME LEMBRO COMO FAÇO PARA SEPARAR O X DO Y
EX: 3X+5Y=11
VC PODE ME AJUDAR?
OBRIGADO
nov 05, 2008 @ 16:44:13
cara blog foda me ajudou muuuuuuuuuuuuuuuuuuuito mesmo tava certa de tirar 0 ou no maximo 2 na prova final,dei uma olhada aqui prestei atençao e tentei fazer igualzinho na prova né que deu certo tirei 8 marca historica
out 27, 2008 @ 15:34:37
temos q tentar ñ é……
aprender é facil dificil é resolver!!!
boa tarde
out 25, 2008 @ 20:38:28
OI tenho que fazer um trabalho sobre Produtos Notaveis ,e não estou consiguindo =( me ajudem ! ( O que significa produtos notaveis ?)