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Produtos Notáveis
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Nos cálculos algébricos são frequentes a presença de alguns produtos (multiplicações) que, por conta desse fato, obtiveram destaque especial e receberam o nome de Produtos Notáveis.
Como se vê não há nada de excepcional. Decorrem, como o próprio expressa, de uma operação aritmética, a multiplicação, com a qual todos se deparam no início de sua formação.
Envolve, também, como veremos, a definição de Potenciação com expoente inteiro e que já foi abordada aqui no Blog Viche. E, também, nestas condições, nada mais é do que uma multiplicação.
Assim, é natural lembrá-los das propriedades da multiplicação que serão utilizadas (ou não) nas demonstrações dos Produtos Notáveis mais comuns apresentados abaixo.
Propriedades da Multiplicação em R
- Comutativa – A ordem dos fatores não altera o resultado final da operação ou produto: a.b = b.a, para todo a e b reais;
- Associativa – O agrupamento de fatores não altera o resultado: a.(b.c) = (a.b).c, para qualquer a, b e c reais;
- Distributiva – O produto de um número por uma soma ou diferença de dois outros números é igual a soma ou diferença entre o produto desse número por cada uma das parcelas: a.(b + c) = a.b + a.c ou a.(b – c) = a.b – ac;
- Elemento Neutro – O número (fator) 1 é o elemento neutro da multiplicação: 1.x = x, para qualquer x real;
- Elemento Opositor – O número -1 transforma o produto em seu oposto: -1.x = -x, para qualquer x real diferente de zero;
- Fechamento – O produto de dois números reais é, sempre, um número real;
- Anulação – O número 0 anula o produto: 0.x = 0, para qualquer x real.
Produtos Notáveis Mais Comuns
PN1. Quadrado da soma de dois números reais a e b quaisquer – a mais b ao quadrado é igual ao quadrado do primeiro mais duas vezes o primeiro vezes o segundo, mais o quadrado do segundo:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Demonstração:
Pela definição de potenciação temos que:
(a + b)2 = (a + b)(a + b)
Utilizando-se da propriedade distributiva da multiplicação:
(a + b)2 = a(a + b) + b(a + b) = a2 + ab + ba + b2
E, finalmente pela propriedade comutativa vem:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
PN2. Quadrado da diferença de dois números reais a e b quaisquer – a menos b ao quadrado é igual ao quadrado do primeiro menos duas vezes o primeiro vezes o segundo, mais o quadrado do segundo:
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
PN3. O Produto da soma pela diferença de dois números reais a e b quaisquer é igual ao quadrado do primeiro termo (a) menos o quadrado do segundo (b):
(a + b)(a – b) = a2 – b2
Demonstração:
Novamente é decorrência das propriedades distributiva e comutativa da multiplicação:
(a + b)(a – b) = a(a – b) + b(a – b) = a2 – ab + ba – b2 = a2 – b2
PN4. Cubo da soma de dois números reais a e b quaisquer – a mais b ao cubo é igual ao cubo do primeiro mais três vezes o quadrado do primeiro vezes o segundo, mais três vezes o primeiro vezes o quadrado do segundo, mais o cubo do segundo:
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Demonstração:
Da definição de potenciação:
(a + b)3 = (a + b)(a + b)2
Pela propriedade PN1:
(a + b)3 = (a + b)(a2 + 2ab + b2)
Da propriedade distributiva da multiplicação vem:
(a + b)3 = a(a2 + 2ab + b2) + b(a2 + 2ab + b2)
=> (a + b)3 = a3 + 2a2b + ab2 + ba2 + 2ab2 + b3
Somando os termos comuns com o uso da propriedade comutativa:
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
PN5. Cubo da diferença de dois números reais a e b quaisquer – a menos b ao cubo é igual ao cubo do primeiro menos três vezes o quadrado do primeiro vezes o segundo, mais três vezes o primeiro vezes o quadrado do segundo, menos o cubo do segundo:
(a + b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3
PN6. Produto de Stevin:
(x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab
PN7. Produtos de Warring:
[1] a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2)
[2] a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2)
Demonstração de [1]:
Da propriedade PN4 temos que:
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Por outro lado:
(a + b)3 = (a + b)(a + b)2 = (a + b)(a2 + 2ab + b2)
Substituindo na igualdade anterior vem:
a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)(a2 + 2ab + b2)
Ajustando a igualdade e colocando os termos comuns em evidência:
a3 + b3 = (a + b)(a2 + 2ab + b2) – 3a2b – 3ab2
=> a3 + b3 = (a + b)(a2 + 2ab + b2) – 3ab(a + b)
=> a3 + b3 = (a + b)(a2 + 2ab + b2 – 3ab) = (a + b)(a2 – ab + b2)
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81 Respostas para “Produtos Notáveis”
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OI tenho que fazer um trabalho sobre Produtos Notaveis ,e não estou consiguindo =( me ajudem ! ( O que significa produtos notaveis ?)
(5x+b).(5xy-3x)= ?
meuuuuuuuuuuuuuuuu!
prescisa de mais assuntos de produtos notáveis!!!!!!
mas algumas características (exemplos) são bons,mas podem melhorar !!!!!
dica de um internauta fã de matemática
obs:[obrigada pela compreensão],.
muito bom mais incompleto. precisa ter mais exemplos objetivos. com situaçoes reais.
Eu vi em um lugar q inves de fazer essa formula toda do prod notavel era + simples faze
a ao quadrado + 2 ab + b ao quadrado!!!
isso funcionou com algumas q tentei + num sei se é 100% confiavel!!!
Adorei fazer essa pedquisa pois pretento fazer mais e mis vezes
Odeio essa matéria
ola qr saber como fazer esse exercicio
sendo f(x)=3*x^2 calcule f(x+h)-f(x)
nao consigo fazer um trabalho sobre numeros notaveis ^^alguem me ajuda …
como resolvo as propriedades comutativa, elemento neutro, distributiva e associativa na matemática para 7ª série??
tenho q fazer um trabalho sobre isso e preciso saber o que é e preciso também dar exemplos, alguém pode me ajudar?
é para amanhã, me ajudem urgente!!!!
obrigado…..
simplifiqui as operacões ?
a)(x+y)-(x2+y2)2
NAo entendi muito bem
Ajustando a igualdade e colocando os termos comuns em evidência:
a3 + b3 = (a + b)(a2 + 2ab + b2) – 3a2b – 3ab2
=> a3 + b3 = (a + b)(a2 + 2ab + b2) – 3ab(a + b)
=> a3 + b3 = (a + b)(a2 + 2ab + b2 – 3ab) = (a + b)(a2 – ab + b2)
Como que ( na segunda linha do problema) o : -3ab(a+b) passa para o subtraindo (a2 + 2ab + b2 – 3ab) se ele está multiplicando (a+b) .O que ocorre com (a+b)?
Por favor me ajude entender!
Gostei… mas gostaria de saber como se resolve este (1+x) elevado a y. tenho procurado saber mas ainda não tive exito. tem como me ajudar ? obrigado.
Muito bom esse blog, mais faltou uma coisaque todo mundo te, duvida >>>>>>>>
(x + 1)² + (x – 1)² + 2.(x + 1).(x-1)<<<<<<<<<<
Isso ai todos que conheço tem duvidas inclusive eu.
Pois matematica em termos é um bicho de 7 cabeças
Nuoossa MuitO legal Seu Blog ^^ Preodutos notáveis eh massa *-* ate xegar equação de 2° grau ¬¬ !!
Maix vlw ae Bom blog ^^
BOM diiimassssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssss!
gostei muito de saber algumas coisas a mais aqui assim da p ver que internet tambem serve p estudar e acabei aprendendo mais um pouco disso estou no 8 ANO BEJU A TODOS XAU.
Olá amigos matemáticos, por favor alguém sabe se existe uma demostração da propriedade do elemento absorvente da multiplicação. ou seja porque x.0=0 para todo x real
OTIMO ADOREI
valeu!!vocês são demais!!!bjs
Adorei me ajudou muito mesmo tava precisando disso pra relembrar matéria antiga que vou estudar novamente.
Muito bem explicado e criativo, seu blogo é muito bom
parabéns!
Ajuda bastante estou eswtudando produtos notaveis e estou apredendo tudinho de vez em quando eu me complico com algumas coisas mais queria saber mais sobre produtos notaveis ;]
*:
Eu gostei muito do site muito interessante,aprendi varias coisas . ;]
Vicor olha Nu caso eu armei fazendo a distributiva
(x+2) (x-1)=x ao quadrado -x +2x -2
Tomara qui eut enha lhi ajudado apesar ti ter encontrado resultados diferentesOlha sou 7 serie
Ola Td bem Sou Jovem de 13 anos curso a 7 serie
Gostaria De saber A formula direta dos produtos notaveis
eu amo matematica……..
nunca gostei tanto de uma materia…….
matematica no ensino medio é show…….
beijin da nathy……..
e estude muitoooooooooooo……………
pow demais esse site perfeito euto estudando produto notavel agora da hora
DESCULPE A GROSSERIA.
sera q da para vcs botarem uma coisa mais definida?????????????? sabe por que???? porque SOU DA QUINTA SERIE!!!
mtu bom,de grande auxilio para mim!!!!!
Chefe,
Ve essa ai pra mim. Estou quebrando a cabeca nas propriedades:
Se V(3-2x) = V(2x) + 1 entao 4x^2=
(a) 1
(b) 4
(c) 2-2x
(d) 4x-2
(e) 6x-1
Onde “V” eh raiz quadrada do numero entre parenteses e “^2″ eh elevado ao quadrado.
Valeu..
LEGAL AJUDA PRA CARAMBA, DA PRA RECORDAR MUITA COISA
Olá, preciso urgentemente encontrar uma aplicação para o quadrado da soma de dois numeros. Uma maneira de passar para o cotidiano dos alunos. Help-me please! Obrigado.
show
mais… e com frações ?
valewww
Moss…
muito mass isso bem explicativo.
gostaria de saber como se resolve:
(x² +1)². (x-1²)²
queria saber mais sobre isso..
deixe mais contas pra resolver!
oi
gostaria de obter as apostilas de marcio babosa
sig
gostaria que registrasem os objetivos gerais e especificos dos produtos notaveis
atenciosamente
cida
Bom dia tudo, bem!!!
Eu tenho uma dúvida sobre a fórmula de uma taxa de retorno da seguinte forma:
EU SEI A RESPOSTA POIS FIZ NA CALCULADORA HP-12C E ESTÁ CORRETA: 31,29%. PORÉM NÃO ESTOU SABENDO CHEGAR DE FORMA MANUAL QUERDO DESCOBRIR O R. E O R=31,29%. É ASSIM:
A pessoa investe 100 e tem ganhos de 70 – 50 e 40 – ou seja é um fluxo de caixa nessa sequência:
O desenvolvimento da fórmula é assim:
100/1=70/(1+r)^1+50/(1+r)^2+40/(1+r)^3
ou seja:
70/(1+r)^1+50/(1+r)^2+40/(1+r)^3-100/1=0
essa é a fórmula, se tivesse apenas três numeros eu conseguiria ou seja: (1+i)^2, porém não é.
VOCÊ POR FAVOR PODERIA ME AJUDAR???? POR FAVOR VÊ O QUE O SENHOR PODE FAZER, PELO MENOS UMA DICA.
Atenciosamente
e-mail: weliton@nanet.com.br ou weliton767@hotmail.com
Weliton dos Reis
alguem ou mesmo o proprio autor poderia fazer-me o favor de
indicar o endereço de uma livraria onde pudesse adquirir o li-
vro do Prof.Marcio Barbosa intitulado MANUAL DE CALCULOS
NOTAVEIS.Quando estive em Recife-PE telefonei para o numero
indicado por este professor,que se apresentava em um programa de televisão,porém fui informado que o mesmo tinha trocado de
numero.Quem souber, responda para o meu e-mail.
Obrigado.Prof.Kaioby
nossaaaaa…..
isso e muito massa cara …
continue assim…
quem conseguir resolver esta conta por favor me enviem.
mostre que:
A^n – B^n/A-B = A^n-1 + A^n-2 . B + A^n-3 . B^2 + … + B^n-1
Seu blog é sensacional!
Pode me dizer como meu professor achou o produto notavel de:
2
X + X – 2 ele achou ( X + 2 ) ( X – 1 )
Eu queria saber como detalhadamente.
Agradeço desde já;
PArabéns pelo blog é sensacional. Não sou bom em matemática, porém tenho me esforçado o bastante.Na ultima aula q tive o professor usou produto notaveis p/ a seguinte questão:
2
X +X-2 e achou (x+2)(x+1)
Poderia me dizer como ele fez para achar esse valor?
Ele falou q usou produto notáveis, mas fiquei com duvidas
A Matemática é simplesmente uma ciência fantástica tanto que esta muito presente no nosso dia a dia . Quem não precisa da matemática ?
o site me ajudou muito .tirou muitas duvidas muito obrigado
tipow, tudo bem?
sou de patos paraIBA, ADOREI MUITO o site, ate pq ajuda muito nao só as pessoa, mais tambem os alunos que gostam de estudar.
braço!!!!!111
Cara, cheguei no seu blog através do blog do Maujor.
Simplesmente adorei! Tema matemática para mim é muito legal. Só que na época da escola não fui um aluno muito estudioso, sempre mediano. Mas gosto muito de matemática.
Considere-me um visitante diário de seu blog. Abraços.
Bom dia amigo, Show de bola eim…
A Matemática é fantastica.