fev
Potenciação
Publicado por
Dentro do mesmo princípio adotado no post Passe de Mágica, em que muitas pessoas conhecem o fato, e o assumem como verdadeiro com uma naturalidade surpreendente, mas não o porquê do fato, dissertarei sobre conceitos e principais propriedades da potenciação visando demonstrar que a0 = 1, para a diferente de zero, muito embora não tenha significado como operação, em vista da definição de potenciação dada abaixo. Como se verá trata-se, como no caso do post mencionado acima, de uma demonstração muito simples (ou trivial no linguajar matemático).
I. DEFINIÇÕES
Vamos começar do começo – eita que frase arretada! – definindo, de maneira simples e direta, que potenciação de um número relativo a nada mais é do que a multiplicação reiterada de a por ele mesmo um número n de vezes, n inteiro e positivo. Ou seja:
onde se estabeleceu a notação (ou representação simbólica) an para indicar de forma resumida e simplificada (e, diga-se, criativa) esse produto, denominando-se a a base da potência e n o expoente ou grau da potência. Se lê a representação simbólica an como “potência n de a” ou “potência enésima de a” ou “a elevado a n“.
Potência de grau n de a é o produto de n fatores iguais a a. Assim:
- a0 é a potência de grau zero de a ou potência de expoente zero, a um número real diferente de zero;
- a1 é a potência de grau 1 de a, sendo igual ao próprio a. Neste caso é dispensável escrever o expoente;
- a2 é a potência de grau 2 de a, conhecida como quadrado de a ou a ao quadrado;
- a3 é a potência de grau 3 de a, conhecida como o cubo de a ou a ao cubo.
II. PROPRIEDADES DA POTENCIAÇÃO
a) A potência de grau n de um produto é igual ao produto das potências de grau n dos fatores deste produto. Ou seja:
[1] (abc)n = an.bn.cn [2]
A recíproca também é verdadeira.
Antes de apresentar a demonstração vale explicitar o que significa recíproca. Tomando a igualdade acima, a justificação da propriedade deve ser feita partindo-se de [1] para obter [2]. A recíproca (como o próprio nome diz) é feita partindo-se de [2] para obter [1].
Demonstração:[1] -> [2]
Por definição:
Como a ordem dos fatores de um produto não altera o produto, temos:
Reciprocamente ([2] -> [1]):
b) O produto de potências de uma mesma base é igual à potência desta base, cujo expoente é a soma dos expoentes dos fatores:
am.an = am+n
Em outras palavras, em um produto de potências com a mesma base, conserva-se a base e soma-se os expoentes. A recíproca é verdadeira.
Demonstração:
A recíproca deixo por conta do leitor.
c) O quociente de potências de um mesma base é igual à potência desta base, cujo expoente é a diferença entre os expoentes do dividendo e do divisor; isto é:
Em outras palavras, em um quociente de potências com a mesma base, conserva-se a base e subtrai-se os expoentes. A recíproca é verdadeira.
Demonstração:
Suponhamos que m > n. Então:
Eliminando o fator comum ao dividendo e divisor [(a.a ... a) n vezes], obtemos:
A demonstração da recíproca é fácil, como o de resto, e fica para o leitor se exercitar.
d) A potência n da potência m de um número relativo a é igual a potência de a cujo expoente é o produto dos expoentes m e n, ou seja:
A recíproca é verdadeira.
Se você chegou até aqui, obrigado pelo interesse. Em vez da demonstração aproveito para colocar algumas considerações:Matemática se aprende com o entendimento dos seus conceitos, de saber interpretar as questões, dos porquês da verdade de cada assertiva (as demonstrações) e, principalmente, muita transpiração. Por isso pratique e pratique, pois sómente assim você desenvolve melhor sua capacidade de raciocínio para solucionar problemas e fixar os conceitos.
É com este espírito que deixo como exercício a demonstração desta propriedade. Caso tenha dificuldades entre em contato ou deixe seu comentário. Estarei por aqui pronto para atendê-lo.
e) Potência de expoente negativo de um número relativo a diferente de 0:
A recíproca é verdadeira.
Demonstração:
Antes de demonstrar esta propriedade, farei a demonstração do fato que originou este artigo, i.é, a0 = 1, a diferente de zero. Vamos lá.
Por um lado temos que am/am = 1. E por outro, pela propriedade c) que am/am = am-m = a0 => a0 = 1. Trivial, não.
Agora, fica mais fácil demonstar a propriedade. Primeiro:
a-m = a0-m
Pela propriedade c:
a-m = a0/am = 1/am c.q.d. (como queríamos demonstrar).
A recíproca, mais uma vez deixo como exercício.
E, finalmente, sem entrar no mérito, apresento algumas regras de como proceder com o cálculo de potências em que a base é um número negativo.
- Se o expoente é par, o resultado é positivo;
- Se o expoente é ímpar, o resultado é negativo.
Faça seus comentários. Apresente sugestões e na medida do possível procurarei lhe atender.
[ATUALIZAÇÃO] 26/03/2006: Veja o artigo publicado sobre radiciação.
[ATUALIZAÇÃO] 24/04/2006: Veja o artigo publicado sobre Equações Exponenciais.
Referência: Abecedário de Álgebra de Darcy Leal de Menezes.
Recomendo fortemente a leitura do artigo Dificuldades para aprender Matemática, publicado no site Tecnociência por Domingos Verena.
Posts Relacionados
- Questionarious #1 – Potenciação e Radiciação
- Produtos Notáveis
- Exercícios Resolvidos #1 – Potenciação
- Logaritmo
- VICHE Responde #1
- Equações Exponenciais
- Radiciação
Posts relacionados trazidos a você pelo Yet Another Related Posts Plugin.
Imprima este artigo | Envie este artigo para um(a) amigo(a) | 221.512 views
- Bookmark :
- Digg
- del.icio.us
- Stumbleupon
- Redit it
349 Respostas para “Potenciação”
Brasileirão 2010 – Próximos Jogos
Os horários dos jogos estão em horário local. Por favor clique aqui para converter para seu fuso horário.
Dia: 31/07/2010 Data-Hora Jogos 31/07 18:30 
FLU -:- CAP 
31/07 18:30 
AGO -:- GFC 
31/07 18:30 
SPFC -:- CESC 
Dia: 01/08/2010 Data-Hora Jogos 01/08 16:00 
PAL -:- COR 
01/08 16:00 
ECV -:- BOTA 
01/08 16:00 
AVAÍ -:- GEC 
01/08 16:00 
INTER -:- GRE 
01/08 18:30 
AMG -:- CRZ 
01/08 18:30 
GPRU -:- SFC 
01/08 18:30 
FLA -:- VASCO 
Posts Recentes
Categorias
Tags
Posts View
Plugin bVGallery
World Cup 2010
Feeds
Visitantes
- 12 currently online
- 67 maximum concurrent
- 3188339 total visitors
Quanto a questao da Roseli, o resultado é 1.
Se entendi a pergunta, 2exp-2 . 16exp-2 / 4exp-5
fica 2exp-2 . (2exp4)exp-2 . (2exp2)exp5
em seguida:
2exp-2 . 2exp-8 . 2exp10 = 2exp (-2-8+10) = 2exp0 = 1
Como faço para resolver a seguinte questão: Escreva o resultado das expressões na forma de uma potencia::
a)16 . 8 elevado a três . 64 elevado a dois
b)81 . 9 elevado a três : (3 elevado a cinco)2
Site muito bom, muitos questões que foram dadas em aula , acabei tendo maior esclarecimento pelo site,
Só que não consegui resolver uma questão:
como faço para calcular base 2 expoente -2 . 16 com exp.-2 dividido pela base 4 com expoente -5 ???????????
refiz várias vezes e não consegui chegar ao resultado.
abraços
POXA ESSE SITE É MUITOOOOOOOO MASSA APRENDI PAKAS COISAS DE MAIS AQUUUUUEEEEEEE
queria saber como faço para calcular se a base for 0 (zero) ??
como resolver potencias fracionadas com expoentes elevados
gente eu estou na setima serie e preciso fazer um trabalho de matematica sobre potenciação calculo e resposta me ajundem pelo amor de deus esse trabalho e para amanha
(2 elevado a 7 : por2 elevao a 4) – 2 elevado a 2
ainda não consegui entender?
eu queria respontas simples e completas por que todo numero elevado ao expoente par o resultado é positivo
desculp + há um erro neça afirmação:
1)Se o expoente é par, o resultado é positivo;
2)Se o expoente é ímpar, o resultado é negativo.
* o erro estah na segunda opção… prest atenção noq vc dice..
“tdo expoent impar, o resultado eh negativo”.. eça afirmação eh falsa senão valeria dizer ece absurdo: 2 elevado a 3 negativo eh igual a menos 8.. o q eh totalment errado..
o cto seria dixer:
2)para tdo o expoent negativo, o sinal du resultado serah akele da base!!!!!!!!
PS.: fora isso, gostei mto em saber q + algm pensa q para c compreender a MATEMATIK, devemos sempre questionar o POR QUÊ.. q as koisas saum assim, de ond veio issu!!! ^^
flww aewww
como posso resolver uma expressão de potenciação?
desde já agradeço á compreensão.
é, precisa mesmo de exemplos, assim é meio difícil de entender
entendi alguma coisa, mas pq eu tenho dificuldade com matematica.
gostei sab mas eo qria as regras e algins exemplos!!!!!
Gostei muito obg graças a esse bloge me salvei
bom, gostei muito da explicação dissertada sobre potênciação, porém não achei o que procurava que era como reslver problemas com bases numéricas diferentes.
-Peço-lhes conselhos como resolver problemas com bases numéricas diferentes.
Gosteii da explicação muito resumiido…mas não tinha o que eu queria…gostaria que me enviasse isso : sobre potenciação,as regras e exemplos.
No Aguardo!!!!
Muitíssimo Obrigado!!!!
=)
obg obg………………………………………………….
me ajudem ñ é essa a materia que eu precisava,mas mesmo assim obrigada*****
gosteiiiiii muito dessa explicaçao, mas eu gostaria q me enviase issu abaixo: #potencia# propriedades, regras, exemplos e exercicios
muito obrigado valeuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu
coloquem mais coisas sre potencias
eu amei o site pena que não ajei o que queria
adorei a explicação. Bem resumida, sem muita enrolaçao e muito bem explicada no seu essencial.E sem contar com o humor do professor que deu para estabelecer uma relação de ‘amizade’.
Parabéns
Gostaria de que vcs manda um exercício com 50 questoes já respondido e exlpicando como de regra de tres.
Odeio essas contas mais precizo aprender…
Gostaria que vcs me ajudassem a equacionar e resolver alguns problemas, mas estou precisando com uma certa urgencia.
Se Possivel ainda para hoje.
A soma dos quadrados de dois numeros é 10. Qual sao os numeros?
Qual éh o numero inteiro cujo dobro adicionado ou triplo do quadrado é igual a 1?
O quadrado menos o quadruplo de um numero é igual a 5. Qual é esse numero?
Estarei nO aguardO.
Desde ja Obriigada.
gostaria de saber como se resolver melhor as potências de expoente negativo
gostaria de saber se existe uma história que conta o surgimento da potenciação e quem a descobriu.
aguardo resposta.
obrigada.
tenho provas a cada 5 dias e nao consigo resolver nem uma das questoes o que fazer nessa hora gostaria de pedir a opniao de quem participa do site valew
´´´´´´´´´´´´É MUITO BOM O SEU ARTIGO D+ AMEI MESMO ME AJUDOU PRA VALER
Observei no site a temática sobre a base negativa mas ainda me resta dúvida se uma base negativa elevada a zero será 1 positivo ou 1 negativo? Desde já agradeço pelo espaço concebido a nós leigos na matemática.
eu naum entendi nada… alias sou chamada de nerde na sala,,, mais esse site naum mostra nada
Olá por favor gostaria que me fornecer-se uma maneira mais simples de aplicar a potenciação, pois preciso aplicá-la em problemas de juros compostos.
Agradeço desde ja se possivel gostaria que me enviassse com uma certa urgencia.
Obrigado
outro e-mail: risomargusmao@ig.com.br
achei um maximo entendi o assunto aqui
bjosss e fiquem sempre assim
alguem pode me ajudar a elaborar uma situação problema que envolve o conceito de radiciação?
Olá pessoal! Alguém pode me ajudar como elaborar uma situação problema que envolve o conceito de potenciação?
como eu resolvo potencias de base e expoente diferentes?
essas potencias sao de 6ª serie
por favor me responda
obrigado
Como resolver?
Xis elevado á quatro mais xis elevado a quatro=
xis elevado á quatro mais y elevado á cinco=
queria saber como que faiz esse calculo
(x-3)¹²
muito ruim eu sou da sexta serie e nao tem nada da sexta
Há um erro na sua teoria, pois não existe divisão por 0.
0 elevado 0 é indeterminado porque, além de ser um caso impossível pelas propriedades abaixo, teria mais de um resultado:
*pela propriedade a^0=1, a diferente de 0, daria 1 e,
*pela propriedade 0^n=0, n diferente de 0, daria 0.
Por isso, 0 elevado 0 teria 2 resultados, isto é um exemplo do que chamamos de paradoxo da matemática.
Bom dia. Como resolver 32 ³/5 ?
Qual a solução para a questão:
abre parenteses, 1/2x – 4, fecha parenteses, elevado a segunda potência.
amei esse site pois é uma aula que eu estava precisando assim aprendi muito
não está especificado o que procuramos sempre aparece coisas que nem pedimos então só gastamos e nada encontramos
quero saber a forma de resolucionar uma equação do 1 e 2 grau.
esse site e tudo de bom eu viajei cheguei atrasada no colegio e só tava tirando notas baixissimas entao resolve me enfiltar mais estudar mais e pesquisar mais mesmo pq a 5 serie nao e facil nao!!;p
Bom queria saber quem foi que inventou Potenciação???
brigado espero a resposta!!
Oi… será q vc poderia explicar pra mim!
A potência 3 elevado a -2x+1 representa que expressão?
Obrigada!
uma empresa freta um avião com 100 lugares para grupos de turistas. cada passageiro deve pagar R$ 800,00 e mais R$ 10,oo para cada lugar vago. o numero de passageiros que da a maior rentabilidade à empresa em uma excursão é:
gostaria muuito que me ajudasse a resolver essa questão por favoor! :)
como se calcula 10 elevado à -6 menos 10 elevado à 5???
:D